CIRCULO DE MOHR

INTRODUCCIÓN

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un

método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de

un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un

cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general

las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos

planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de

importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres

dimensiones.

1. TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA DOS DIMENSIONES

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas.

Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano x y (ver figura

1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este

(esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone

que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos

son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la

matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo

matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes

coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z

(normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ

respectivamente.

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.

Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

σx * Ax – τθ * AθSenθ + σθ * AθCosθ = 0 (1)

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

σy * Ay + τθ * AθCosθ + σθ * AθSenθ = 0 (2)

Considerando que Ax = AθCosθ y que Ay = AθSenθ, reescribimos las

ecuaciones 1 y 2:

σxCosθ – τθSenθ + σθCosθ = 0, donde Aθ ≠ 0 (1-1)

σySenθ + τθCosθ + σθSenθ = 0, donde Aθ ≠0 (2-2)

Multiplicando la ecuación (1-1) por Cosθ, la (2-2) por Senθ y sumando ambas

se llega a:

0 = − σxCos2θ − σySen2θ + σθ (3)

Y considerando las relaciones trigonométricas:

Cos2 θ = (1+ Cos2θ)/2

Sen2θ = (1−Cos2θ)/2

Senθ * Cosθ = (Sen2θ)/2

Se llega a:

σθ = (σx +σy)/2+ ((σx −σy)/2)*Cos2θ (5)

4

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:

Multiplicando la ecuación (1-1) por Senθ, la (2-2) por Cosθ, sumando ambas y

considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

τθ = − ((σx −σy)/2) * Sen2θ (6)

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes

cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy,

la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación

trigonométrica Sen2θ + Cos2θ = 1, entonces reemplazando en (5) y (6) se

obtiene:

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos

dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen

en el centro de la misma:

Y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene

valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones

sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

Figura 2

Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones

principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el

estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones

principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aquí es similar al que

haremos para un estado tridimensional de tensiones.

Pasos para la construcción del círculo de Mohr1:

1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con  σ como abscisa, positivo

hacia la derecha, y  τ como ordenada, positivo hacia abajo.

2. Localice el centro c del círculo en el punto con coordenadas

3-Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara

del elemento mostrado en la Fig. (1.31), marcando sus coordenadas

Note que el punto corresponde a = 0.

4. Localice el punto B que representa las condiciones de

esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la fig. (1.31), trazando sus

coordenadas. Observe que el punto B sobre el círculo corresponde a Θ = 90.

5. Dibuje una línea del punto A al B. Esta línea es un diámetro del círculo y

pasa por el

centro C. Los puntos A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90

uno del otro están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a

180 uno del otro sobre el círculo).

6. Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos A y B. El

círculo dibujado de esta manera tiene radio R

7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31)

Cálculo del ángulo Θ de la ec.

Cálculo del esfuerzo cortante máximo

Ejemplo Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D

Del estado de esfuerzos mostrado en la fig 1.32 determine: a) los esfuerzos,

direcciones principales y posibles planos de falla y b) el estado de esfuerzos a

un ángulo = 40◦ en dirección contraria a las manecillas del reloj:

Solución

a) Cálculo del centro

b) Cálculo del radio

Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.32)

Calculo del angulo „f de la ec. (1.65);

El esfuerzo cortante máximo ,corresponde al radio del círculo:

Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestran

2. TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADOS TENSIONALES

TRIDIMENSIONALES

Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el

cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un

plano oblicuo.

Figura 3

Sean las tensiones σi y las áreas Ai correspondientes a cada una de las i caras

del tetraedro. El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir

de la siguiente ecuación vectorial:

Como dAi = dA * νi , donde υi es el Coseno del ángulo entre los vectores

normales a los planos dA y dAi.

De esta manera la ecuación (a) se puede escribir de la forma:

Ahora la componente normal al plano oblicuo

de συ se puede obtener proyectando esta sobre la dirección ν:

Considerando que el vector ν tiene coordenadas cartesianas υi, entonces:

es el vector en la dirección Xi.

Considerando la ecuación (b) entonces la (c) se puede escribir como:

Luego la tensión total sobre el plano oblicuo se puede expresar en función de

sus componentes normal y coincidente con el plano oblicuo:

Ver figura 1

Figura 4

Entonces a partir de (b) y (d) se llega a:

Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los

principales (ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras

es máxima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un

elemento cúbico será:

Si queremos conocer el vector ν de un cierto plano, conociendo su estado

tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas

al cuadrado del vector ν es uno se obtienen las

siguientes ecuaciones:

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Suponga que las

tensiones principales tienen magnitudes tal que: σI > σII > σIII .

Las incógnitas de este sistema son:

Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando

los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores

de los mismos deben cumplir:

Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las

ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de

tensiones, las circunferencias son simétricas respecto del eje de ordenadas y

las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades

de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para

distintos planos, con distintas inclinaciones. Una gráfica a modo de ejemplo se

presenta a continuación:

Figura 5

Caso particular:

Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este

caso se denomina de tensiones hidrostáticas, en éste, el círculo de Mohr se

representa por un punto. Se llama así porque este caso se da cuando por

ejemplo un objeto cúbico diferencial se sumerge en un líquido, sus seis caras

están sometidas a la misma tensión y esta es normal a todas las caras, no

importa la inclinación de este objeto, las tensiones siempre serán normales.

EJEMPLO PRÁCTICO DE APLICACIÓN DE CIRCULO DE MOHR

El ejemplo a continuación es un ejemplo demostrativo (sin valores numéricos)

del análisis mediante el Circulo de Mohr.

Sea una viga empotrada con Presión Interna, Momento Torsión y una carga P

aplicada en el extremo libre.

Ejemplo 1

Sección:

Se desea conocer el tensor de tensiones para ciertos puntos del sistema dado,

según el estado de cargas. El tensor de tensiones será de la forma:

Punto 1:

Punto 2:

Punto 3:

Cabe destacar que tanto en el punto 1), como el 2), la tensión de corte esta

dada por el Momento Torsión. En cambio para el punto 3), la tensión de corte

esta dada por el Momento Torsión y la Carga aplicada en el extremo libre.

También se observa que en todos los puntos analizados la tensión σR es

principal.

CONCLUSIÓN

Si observamos con detenimiento todo lo descrito anteriormente podemos llegar

a la conclusión que el círculo de Mohr es un método grafico que nos ayuda

determinar de manera muy sencilla algunas de las características geométricas

de un cuerpo, tales como momentos de inercia y productos de inercia, es decir

ayuda a la determinación de esfuerzos principales.

Estas características geométricas se utilizan para determinar la resistencia de

una pieza a los esfuerzos.