Circunferencia

Escrito por:Guillermo Miranda

ManriqueJuan Carlos Cuadros

Herrera.

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CIRCUNFERENCIA

Medida de la circunferencia

Posición de una recta y dos circunferencias

TEOREMAS

exteriortangente

Circunferencias secantesCircunferencias exteriores

secante

Circunferencias tangentes exterioresCircunferencias tangentes interiores

Circunferencias concéntricasCircunferencias interiores

PITOT

PONCELET

EJERCICIOS

Medida de la Circunferencia

Medida Angular: 360º

Medida Lineal:2.r

X+Y+Z=360ºMedida de arcos

en una circunferencia

Medida de una Circunferencia

•Medida Angular: la medida angular de una circunferencia es igual a 360º. No interesa la longitud de su radio.

• Medida Lineal: La longitud lineal de una circunferencia es igual a 2p Si interesa cuanto mide su radio, pues a mayor radio, mayor longitud.

Medida de una arco

• Tanto la circunferencia como un arco, se mide en unidades angulares, específicamente en grados sexagesimales.

• Entonces, la medida de un arco será una fracción de 360º

Suma de arcos en una Circunferencia

• Si una circunferencia se divide en varios arcos, la suma de todos estos arcos es igual 360º

POSICIÓN DE UNA RECTA Y CIRCUNFERENCIA;POSICIÓN DE DOS

CIRCUNFERENCIAS.

Exterior

• Es exterior cuando la recta no toca la circunferencia

Tangente

• Esta se llama tangente porque solo toca un punto de la circunferencia

Secante

• Se llama secante porque la recta cruza la circunferencia

Posición de dos circunferencias

•En posición de dos circunferencias solo existen seis casos que son los siguientes

Circunferencias exteriores

• Cuando la suma de sus radios es menor que la distancia entre los centros

• No tiene punto común

r R

R + r es menor que la distancia entre sus centros

Circunferencias secantes

•Cuando se cortan y tienen dos puntos comunes

R r

R – r es menor la distancia de los centros y estos son menores que R + r

Circunferencias tangentes exteriores

• Cuando tienen un punto común y una se encuentra fuera de la otra

• Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios

R r

La suma de sus centros es iguala R + r

Circunferencia tangentes interiores

• Cuando tiene un punto común y una se encuentra fuera de la otra

• Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios

R

r

La distancia de sus centros es Igual a R - r

Circunferencias interiores

• Cuando no tiene punto común y esta dentro de la otra

• Aquí la distancia entre sus centros es menor que la diferencia entre sus radios

Sus centros son menores que R - r

R r

Circunferencia concéntricas

• Cuando tienen el mismo centro

• Ahí se cumple que la distancia entre sus centros es nula

La distancia de sus centros es 0

TEOREMAS

Teorema de Pitot

• En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de lados opuestos tiene un mismo valor

A

C

D

B

BA + CD = AD + BC

Teorema de Poncelet

• En todo triangulo rectángulo , la suma de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita

C A

B

r

c

b

a

a + b = c + 2r

PROPIEDADES ASOCIADAS A LOS ELEMENTOS

Ejercicios Propuestos

•1.- Hallar “x”

Por un punto exterior a una circunferencia solo se pueden

trazar dos tangentes, los segmentos determinados por

sendas tangentes son congruentes

A

B

C

AB = AC

El radio es perpendicular a la tangente

O

A

L

Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes

A

C D

B

CD //ABAC ≡ DB

A arcos congruentes le corresponde cuerdas

congruentes

B

DA

C

AB ≡ CDAB ≡ CD

EJERCICIOS

•2.- Hallar la medida de la circunferencia si su diámetro es 5 cm.

•3.- Hallar la longitud de la parte rayada:

•4.- Hallar “x” si:•A= 35º•C=120º•D=20º

L

Q

F

9

40

41

Utilizamos el teorema de Poncelet la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa mas 2r

rrr

CALCULAR “r”

r= 4

9+40=41+2r 49=41+2r

8=2r

11 CM

20CMX

R

Q

QS=SR

AB-SR=RL

20-11=X

X = 9

CALCULAR “X”,si AB=SL

SA

BL

AC = 7, AB = 8 BC = 9 CALCULA AP

A

B

C

MN

P

•x+z=7, z+y=9, x+y=8

•x+z=7

•z+y=9 z=9-y

•x+y=8

2x+2y+2z=24

X+y+z=12

X+y+9-y=12

X=3

xz

yy

x z

• Hallar la medida de la circunferencia cuyo radio es 5

RPTA : 10

5

PROBLEMAS

• C: r• C: )• C: 10

• Se tiene los puntos ABCD, Halla el arco menor AB= X ; si BC=7x, CD= 7X, AD =3X • 7X + 7X + 3X + X

=360• 18X = 360• X =20A

B

X

7XRPTA : el arco AB mide 20°

C

D

7X

3X