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Resumen del libro Circuit analysis of AC Power System of Edith Clarke
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Por Moisés Vergara Ávila MVA V1.0
BANCO DE AUTOTRANSFORMADORES MONOFÁSICOS
El autotransformador tiene un devanado continuo, parte del cual es común a los dos circuitos
conectados a sus terminales. Ver Fig. 7(a). La porción del devanado entre L y N es común al
circuito del lado de alta y baja tensión y es llamado devanado común; la porción del devanado
entre H y L es llamado devanado serie; el devanado total entre H y N es el devanado serie-común.
Expresado en amperes, la corriente en el devanado serie es la misma que la corriente �� en el
terminal de alta tensión; la corriente en el devanado común en amperes es la diferencia entre las
corrientes �� e �� en los terminales de baja y alta tensión, respectivamente.
Autotransformadores para sistemas trifásicos pueden ser bancos de tres unidades monofásicas, o
autotransformadores trifásicos. La conexión más común es en Y; el neutro del Y puede estar
sólidamente aterrizado, aterrizado a través de una impedancia, o sin aterrizar. Existe
frecuentemente un tercer devanado conectado en Δ, llamado el devanado terciario; más de tres
devanados ocasionalmente son usados.
Banco de autotransformadores de tres unidades monofásicas idénticas. Cuando no hay falla o
asimetría dentro del banco, el circuito equivalente para un banco autotransformador, tal como un
banco de transformadores, es conveniente expresarlo en términos de impedancia por unidad (o
en por ciento), basado en los mismos kVA por fase y tensiones base en los devanados los cuales
son directamente proporcional al número de vueltas en los devanados. Circuitos equivalentes, con
corriente de excitación despreciada, será desarrollado para el banco de autotransformadores
mostrado en la Fig. 7(b) con devanados conectados en Y, el neutro aterrizado a través de una
impedancia ��, y un terciario conectado en Δ; y para el banco con neutro sin aterrizar con un Δ
terciario.
Las impedancias de dispersión entre devanados serán representado por los siguientes símbolos.
����� = Impedancia entre devanado serie-común y común.
����� = Impedancia entre devanados serie-común y serie.
����� = Impedancia entre serie-común y terciario
���� = Impedancia entre devanados común y terciario.
���� = Impedancia entre devanados serie y común
���� = Impedancia entre devanados serie y terciario.
��, ��, �� = Vueltas en devanado común, serie y terciario respectivamente.
�� + �� =Total de vueltas en devanado serie-común
donde las impedancias están en por unidad en la misma base kVA por fase y las tensiones base en
los devanados son directamente proporcional al número de vueltas en esos devanados. Esas
impedancias pueden ser obtenidas probando de manera similar al usado para obtener las
impedancias entre devanados de transformadores. La impedancia de corto circuito en por unidad
entre dos devanados es obtenida con el devanado terciario abierto y es la misma referida al otro
devanado.
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El circuito equivalente de secuencia positiva/negativa, el cual no es afectado por la conexión del
neutro, se indica en la figura 7(c). Este circuito equivalente es similar al del banco de
transformadores de tres devanados y es determinado de igual manera. (Volumen 1 página 42). Las
impedancias ��, ��, y �� serán insertadas en la figura 7(c) para obtener el circuito equivalente
de secuencia positiva/negativa, son:
�� =1
2∗ (����� + ���� − �����)
�� =�
�∗ (����� + ����� − ����) [20]
�� =�
�∗ (����� + ���� − �����)
Se observara que la corriente en el devanado común no se representa en la figura 7(c). Este valor
en amperes es la diferencia entre IL e IH cuando ambos están expresados en amperes. Si no hay
terciario Δ o no hay circuito conectado al terciario Δ, el punto T será un circuito abierto en las
redes de secuencia positiva/negativa y la impedancia entre L y H viene a ser
�� + �� = �����
El circuito equivalente es entonces similar al transformador de dos devanados con la corriente
magnetizante despreciada dado en la Fig 1(b), con ����� reemplazando a ���.
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Circuitos equivalentes de secuencia cero. La Figura 7(d) muestra un circuito equivalente de
secuencia cero para el banco de autotransformadores de la Fig. 7(b) en términos de �� , ��, y ��
los cuales serán evaluados. Este circuito equivalente fue primeramente evaluado por Summers y
McClure; la evaluación dada aquí no es la que usaron en sus desarrollos.
En la Fig. 7(d), el terminal de �� es cortocircuitado a la barra de potencial cero (ZERO-POTENTIAL
BUS); donde no hay conexión entre el circuito equivalente y el terminal T para el Δ. Las corrientes
�� , �� e �� son corrientes de secuencia cero en los terminales H y L y en el Δ, respectivamente, en
por unidad de corrientes de base en sus respectivos circuitos. Se asume arbitrariamente la
dirección del flujo de corriente siendo indicado por flechas. Visto desde los terminales, la dirección
del flujo de corriente en H y L (ya sea hacia los autotransformadores y su circuito equivalente o
hacia los circuitos externos) será la misma en el actual, en el circuito equivalente. Con la corriente
magnetizante despreciada, la dirección de �� será tal que la suma algebraica que los amperes-
vuelta en cada una de los autotransformadores monofásicos sea cero; en el circuito equivalente, la
suma de las corrientes fluyendo hacia un punto (aquí el neutro del equivalente Y) debe ser cero.
En la Fig. 7(b), los ampere-vueltas resultantes de IL fluyendo de L hacia N está balanceado por los
ampere vueltas resultantes de IH fluyendo de N a H, más ese resultante de �� en la misma
dirección de H. Por lo tanto el circuito equivalente en por unidad de la Fig. 7(d), �� = �� + ��.
Las tensiones en H y L son en por unidad tensiones de secuencia cero referidas a tierra. Dejemos
��� y ���= tensiones al neutro en H y L en por unidad, base alta tensión y baja tensión,
respectivamente.
�� , ��=Corriente en el neutro y tensión en el neutro en por unidad con corriente de línea como
base y base tensión línea neutro respectivamente., en el circuito de baja tensión.
�� =��
��= impedancia de neutro en por unidad, ohm base en el circuito de baja tensión.
��, �� , y �� aquí son arbitrariamente definidas en términos de las cantidades base en el circuito
de baja tensión; ellos pueden también estar definidos en términos de cantidades base en el
circuito de alta tensión.
Dado que el circuito equivalente tiene tres terminales, tres ecuaciones deben ser escritas
relacionando las impedancias incógnitas definidas ��, �� y �� del circuito equivalente propuesto a
las impedancias conocidas en el circuito real:
1. Con los terminales de alta tensión abiertos en Fig. 7(b), la impedancia de secuencia cero en
por unidad del banco autotransformador visto desde los terminales de baja tensión es ���� +
3��. Con el punto H abierto en el circuito equivalente de la Fig. 7(d), la impedancia vista desde L
es �� + ��. La ecuación que relaciona la impedancia de secuencia cero el circuito equivalente y el
del banco de autotransformador para esta condición es:
�� + �� = ���� + 3�� [21]
2. De forma similar, con los terminales de baja tensión abiertos en Fig. 7(b) y el terminal L
abierto en la Fig. 7(d), la impedancia de secuencia cero vista desde H es:
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�� + �� = ����� + 3 ∗ �� ∗ ���
������
�
[22]
Donde el segundo término en el lado derecho de la ecuación da la impedancia en el neutro en
por unidad de impedancia base de alta tensión.
3. Con el terciario Δ abierto o removido, la corriente en por unidad es la misma en los
terminales de alta y baja tensión.
�� = �� = � [23]
Donde I es la corriente en ambos devanados en por unidad con corriente base de cada devanado.
La impedancia en por unidad entre H y L en el circuito de Fig. 7(b) con el Δ abierto es (�� − ��) �⁄ .
La impedancia en por unidad del circuito equivalente de Fig. 7(d) entre H y L con �� desconectado
de la barra de potencial cero y circuito abierto es �� + ��. Por lo tanto,
�� + �� =�����
� [24]
donde (�� − ��) �⁄ se va a evaluar.
Con el terciario Δ abierto o removido, las tensiones en H y L referidos al neutro son
independientes de las tensiones respecto a tierra del neutro. En por unidad, con dirección del flujo
de corriente como se indica en Fig. 7(b) por flechas,
��� − ��� = ������ [25]
La corriente �� en amperes es tres veces la diferencia entre las corrientes en baja y alta tensión
cuando ambos están expresados en amperes. En por unidad con corriente de base del circuito de
baja tensión, con �� en por unidad de corriente de base del circuito de alta tensión multiplicado
por �� (�� + ��)⁄ referido a la corriente base del circuito de baje tensión.
�� = 3 ∗ ��� − �� ∗ ���
������� [26]
Reemplazando �� e �� en 26 por I desde 23
�� = 3� ���
������ [27]
En por unidad de tensión base circuito baja tensión,
�� = ���� = 3��� ∗��
����� [28]
�� = �� + ��� = 3��� ∗��
�����+ ��� [29]
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En por unidad de tensión base el circuito de alta tensión, con �� en [28] multiplicado por
�� (�� + ��)⁄ expresado en su tensión base,
�� = ����
�����+ ��� = 3���
����
(�����)� + ��� [30]
Sustituyendo [29] y [30] en [24], con ��� − ��� reemplazado por ������ de [25], da
�� + �� =�����
�= ����� + 3�� �
��
������
�
[31]
La solución simultánea de [21], [22] y [31] da los valores de ��, �� y �� siendo sustituidas en el
circuito equivalente de la Fig. 7(d):
�� =�
�(����� + ���� − �����) + 3��
��
�����
�� =�
�(����� + ����� − ����) + 3��
����
(�����)� [32]
�� =�
�(����� + ���� − �����) + 3��
��
�����
Si �� = 0, ��, �� y �� son los mismos que ��, �� y �� respectivamente, dado por [20].
El circuito equivalente de Fig. 7(d) puede ser usado para reemplazar el banco de
autotransformador en una red de secuencia cero para cualquier condición de operación
desbalanceada donde la corriente magnetizante puede ser despreciada y la asimetría está fuera
del banco. De esto, pueden ser obtenidas las corrientes y tensiones de secuencia cero en los
terminales L, H y en el Δ (tensión de secuencia cero a través de los devanados Δ es cero) en por
unidad, de corriente y tensión base en el circuito de alta, baja o terciaria, respectivamente.
El neutro de Y no está representado en el circuito equivalente: por lo tanto la corriente
fluyendo al neutro y el voltaje a tierra no están dados directamente. La corriente de secuencia
cero en el devanado común es la diferencia entre la corriente de secuencia cero, en los terminales
de baja y alta tensión cuando ambos están expresados en amperes. La corriente fluyendo en la
impedancia del neutro es tres veces la corriente se secuencia cero en amperes en el devanado
común. La tensión respecto a la tierra del neutro en volts es el producto de la corriente fluyendo a
través del neutro a tierra en amperes y la impedancia en ohm.
Con el neutro sólidamente aterrizado, �� = 0, y el circuito equivalente de secuencia cero,
con o sin terciario Δ, son el mismo que el circuito correspondiente a secuencia positiva, excepto
que la impedancia equivalente �� del terciario Δ es cortocircuitado al potencial cero en la red de
secuencia cero, donde en la secuencia positiva este puede ser conectado al circuito trifásico o
dejado abierto.
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Sin terciario, la impedancia �� en Fig. 7(d) es desconectada de la barra de potencial cero, y
el circuito equivalente para el banco autotransformador en la res de secuencia cero se reduce a la
impedancia entre L y H dado por [31].
El banco de transformadores Y-Y y el banco Y-Y-Δ con neutros aterrizados a través de una
impedancia común �� e impedancia magnetizante despreciada pueden ser reemplazada en la red
de secuencia cero por un circuito similar a aquellos para el banco autotransformador con neutro
aterrizado a través de ��, con o sin un terciario Δ, respectivamente. La impedancia de dispersión
en por unidad entre los devanados de anta y baja tensión serán reemplazados por ����� en [31] y
[32], y la impedancia en por unidad entre el terciario y los devanados de alta y baja tensión,
respectivamente serán reemplazados por ����� Y ���� en [32].
En el banco autotransformador con neutro sin aterrizar y Δ terciario, �� = ∞; y las tres
impedancias ��, �� y �� del equivalente Y de la Fig. 7(d) dado por [32] se vuelve infinito. Un
circuito equivalente de secuencia cero para un banco autotransformador puede ser obtenido
convirtiendo el equivalente Y a un equivalente Δ antes de evaluar �� en infinito. Un
procedimiento más directo es evaluar los elementos del equivalente Δ directamente del circuito
actual. Figura 7(e) muestra el Δ asumido con las impedancias definidas como ���, ��� y ���, las
cuales serán evaluadas.
Se necesitan tres ecuaciones para relacionar las tres impedancias en el circuito equivalente a las
impedancias en el banco autotransformador, correspondiente a las tres condiciones de operación
asumidas:
1. Ya sea con los terminales de alta o baja tensión del banco autotransformador abierto y
tensiones de secuencia cero aplicados a los otros terminales, no fluirá corriente. Le impedancia del
circuito equivalente para esta condiciones debe ser por lo tanto infinita, o
���(�������)
�����������= ∞ [33]
Ecuación [33] es satisfecha si
��� + ��� + ��� = 0 [34]
Con ��� + ��� + ��� = 0, el Δ no puede ser reemplazado por un equivalente Y de impedancias
finitas. Un Δ equivalente en cual la suma de las tres ramas es cero es llamado Δ resonante.
2. Si las tensiones de secuencia cero son aplicadas a los terminales de baja tensión del banco
autotransformador con los terminales de alta tensión cortocircuitados a tierra, o viceversa, las
corrientes de secuencia cero fluirán en los tres devanados series y en el terciario Δ, pero no fluirán
corrientes en los tres devanados comunes. La corriente fluye en los devanados serie y terciario
encontrándose con la impedancia ����, que, tal como se define, es la misma en por unidad
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referida a cualquiera de estos devanados, las tensiones base en los devanados son directamente
proporcional al número de vueltas en los devanados. Para referir ���� en por unidad al devanado
de baja tensión, este se multiplica por �ns
nc�
2
; para referir este al devanado de alta tensión este se
multiplica por [�� �� + ��⁄ ]�;.
Con los terminales de alta tensión cortocircuitados a tierra, y tensión de secuencia cero VL
aplicado a los terminales de baja tensión, en por unidad,
��
��= ���� �
��
���
�
[35]
En el circuito equivalente, para esta condición,
��
��=
��� ���
������� [36]
De [35] y [36],
��� ���
������� = ���� �
��
���
�
[37]
3. La educación correspondiente, con los terminales de baja tensión cortocircuitados y
tensiones de secuencia cero �� aplicados a los terminales, es
��� ���
������� = ���� �
��
������
�
[38]
Solución simultanea de las ecuaciones [34]. [37] y [38] da
��� = ���� ���
��(�����)�
�
��� = −������
�� [39]
��� = ������
�����
Ecuación [39] da la impedancia a ser insertada en el Δ equivalente de Fig. 7(e). Con el Δ
equivalente reemplazado en el banco autotransformador en la red de secuencia cero, las tres
redes de secuencia pueden ser definidas en el analizador de redes AC y conectados para satisfacer
las condiciones de operación; o, en soluciones analíticas, las impedancias del circuito equivalente
pueden ser combinadas con otro sistemas de impedancias en la manera usual de obtener la
impedancia de secuencia cero del sistema visto desde algún punto afuera del banco
autotransformador. Con uno de los tres terminales H, L o T abiertos, la impedancia del circuito
equivalente es infinita cuando las corrientes magnetizante son despreciadas.
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La discusión dada en el capítulo siguiente de conductores abiertos en circuitos alimentando
banco de transformadores no aterrizados, puede ser aplicada por analogía a los circuitos
alimentando banco de autotransformadores no aterrizados.
La tensión de un neutro no aterrizado respecto a tierra no puede ser obtenida directamente
del circuito equivalente de Fig. 7 (e), pero en un sistema de estudio, después de que las corrientes
y tensiones de secuencia cero en por unidad en los terminales de un autotransformador L y H han
sido determinadas, el circuito equivalente de Fig. 7(f) con �� cortocircuitado al neutro N y ��, ��
y �� definido por [20] puede ser usado como un circuito auxiliar para determinar en por unidad las
tensiones al neutro ��� y ��� en L y H respectivamente. Entonces, restando ��� de �� (o ��� de
VH, la tensión respecto a tierra del neutro es obtenido en por unidad con base en el circuito de
baja (o alta), tensión. De este modo, de Fig. 7(f),
��� = ���� + ����
�� = �� − ��
y en por unidad en base de baja tensión, la tensión respecto a tierra del neutro �� es
�� = �� − ��� = �� − ���� − ���� [40]
Si �� en [40] es reemplazado por �� − �� ,
�� = �� − ��(�� + ��) + ���� [41]
Ecuación [41] es independiente de �� ; �� e �� son corrientes en por unidad en las direcciones
indicadas por flechas en Fig. 7(f); con cualquiera �� o �� en la dirección contraria, el signo
precedente �� o �� en [41] debería ser contraria.
Relaciones entre impedancias del autotransformador. Aunque se han listado y definido seis
impedancias entre devanados para el banco autotransformador con Δ terciario, sólo tres son
independientes cuando las corrientes magnetizante son despreciadas. Las impedancias
usualmente dadas son �����, ����� y ����; las otras tres impedancias pueden ser determinadas a
partir de estas, si es requerido.
La impedancia ����� puede ser determinada aplicado una tensión �� al devanado serie-común
con el devanado común cortocircuitado tal como en la Fig. 8(a) y midiendo la corriente �� en los
terminales de alta tensión, la razón ��/�� da la impedancia �����. Si �� e �� están el volts y
amperes respectivamente, ����� estará en ohm referido al devanado serie-común; si �� e �� están
en por unidad de tensión y corriente base, respectivamente, en el circuito de alta tensión, �����
estará en por unidad. Una vez que ����� esté en por unidad es la misma referida al otro devanado,
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Fig. 8 Circuitos para determinar las impedancias de dispersión del autotransformador y
relaciones entre ellos.
este puede ser determinado también aplicando una tensión �� al devanado común, con el
devanado serie-común cortocircuitado, y midiendo la corriente �� en L, la razón ��/�� da
����� = ����� en por unidad.
De la Fig. 8(a), puede verse que, con el devanado común cortocircuitado, la tensión �� en volts
aplicado al devanado serie-común es también la tensión �� a través del devanado serie, y la
corriente �� en amperes en el terminal de alta tensión es también la corriente �� en el devanado
serie. En la Fig. 8(a) la razón ��/��, conde �� e �� están en volts y amperes respectivamente,
puede ser usado para determinar la impedancia ���� en ohm entre el devanado serie y común
referida al devanado serie:
(��/��) = ��/��
= ����� en ohms referido al devanado serie-común
= ���� en ohms referidos al devanado serie
En por unidad en la misma base kVA por fase y con las tensiones base directamente
proporcional al números de vueltas en sus respectivos devanados,
���� = ���� = ����� ������
���
�
[42]
En Fig. 8(b), con �� aplicado al devanado serie-común y el devanado serie cortocircuitado, la
razón ��/�� donde �� e �� están en volts y amperes respectivamente, da ����� y ���� en ohms.
Por lo tanto, en por unidad,
����� = ���� ���
������
�
[43]
Sustituyendo [42] en [43] da
����� = ����� ���
���
�
[44]
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Como las impedancias entre cualquiera de dos devanados es medido con los otros devanados
abiertos, la presencia de un terciario Δ no afecta [42]-[44].
La impedancia ����, es cual es solo la impedancia requerida para construir el Δ resonante para
reemplazar el banco autotransformador sin aterrizar con terciario Δ en la red de secuencia cero,
puede ser expresada en términos de las impedancias �����, ����� y ����. Con �� aplicado al
devanado serie y el devanado terciario cortocircuitado, como indica la Fig. 8(c), y todas las
cantidades en por unidad de sus respectivas cantidades base,
���� =��
�� [45]
�� = �� [46]
En volts, �� = ��� − ���; y en amperes, �� = �� y �� − �� = 0, ya que la corriente en el
devanado común es cero. Esas ecuaciones expresadas en por unidad son
�� = ��������
��− ���
��
�� [47]
�� = �������
�� 48]
�� = ����
�����= ��
��
�� [49]
De [48], [49] y [46]
�� − �� = �� = �� [50]
El circuito equivalente de Fig. 7(f), entre H,L, Y N, con �� cortocircuitado al neutro N e
impedancias en por unidad ��, �� y �� definida en [20], puede ser usado para determinar las
tensiones en H y L referidos al neutro en términos de �����, ����� y ����. Para satisfacer [50], las
direcciones de �� a �� en Fig. 7(f), deben ser invertidas. Entonces
��� = ���� + ���� [51]
��� = ���� − ���� [52]
Si �� , �� e �� en [51] y [52] son reemplazados por sus valores en por unidad en términos de IS
de [46], [48] y [49], respectivamente, y ��, ��, y �� por sus valores dados en [20] y si [51] y [52]
son entonces sustituidas en [47], es obtenido �� en términos de ��. Sustitución de ��/�� en [45] da
���� = ����������
��− ����
��
��+ �����
��(�����)
��� [53]
También, de [53] y [42]
����� = ������
�����− ����
��
�����− ����
����
(�����)� [54]
