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CLASE 10 – Parámetros de líneas y máquinas
Líneas
Simplificaciones asociadas al cálculo de líneas
- Conductores rectilíneos, paralelos e infinitos - Conductores cilíndricos con densidad de corriente uniforme - La presencia de tierra no afecta la inducción magnética a 50 Hz - La presencia de tierra puede afectar al campo eléctrico
Parámetros asociados al campo eléctrico
Campo debido a conductores cilíndricos Se sabe que para dos conductores filamentarios cargados a +ζ y –ζ, el potencial en un punto M es la suma de los potenciales debidos a cada conductor.
CabC
baVM +=+
−+= ln
21ln
21ln
2 πξτ
πξτ
πξτ
Se tendrá una equipotencial para b/a. Según el teorema de Appolonius, ese lugar geométrico es un círculo. Para dos conductores cilíndricos equipotenciales se puede sacar la posición del eje de carga n,m:
Para el 1: xrxrd
ab
−−−
=
Para el 2: xrxrd
ab
+−+
=
de igualarlos:
22
22rddx −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±= , con – para el n y + para el m
Cuando la distancia entre conductores es grande frente al radio, estas diferencias entre eje geométrico y el eje de carga no merecen tenerse en cuenta.
xrdxr
xrxrdVVV
−−−
−−−−
=−= ln2
ln23113 πξ
τπξτ
y si d>>r, x
Campo debido a líneas cargadas frente a un plano conductor
Para un punto M:
.........ln2
1ln2
1..........2
22
1
11321 ++=+++=
M
M
M
MMMMM a
babVVVV
πξτ
πξτ
Coeficientes de potencial Si el punto M se pone en el conductor 1, VM=V1, b1M=2h1, a1M=r1, bM2=b12, etc.
.........ln2
1ln2
12ln2
1
13
133
12
122
1
111 +++=
434214342143421CPCPncialCoefdePote
ab
ab
rhV
πξτ
πξτ
πξτ
V1=ζ1 α11 + ζ2 α12 + ζ3 α13 + ............. V2=ζ1 α21 + ζ2 α22 + ζ3 α23 + ............. V3=ζ1 α31 + ζ2 α32 + ζ3 α33 + ............. con αkm= αmk y la unidad es [m/F] A este grupo de ecuaciones a veces se lo llama Primer Conjunto de Ecuaciones de Maxwell (no confundir con las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo).
Puede asociarse un sentido físico si se pone ζ1=1 en el conductor 1 y cero en el resto y resulta V1=α11
Coeficientes de capacitancia (2º grupo de ecuaciones de Maxwell) Resolviendo el sistema anterior para las cargas ζ 1= β11 V1 + β 12 V2 + β 13 V3+ ............. ζ 2= β 21 V1+ β 22 V2 + β 23 V3 + ............. ζ 3= β 31 V1+ β 32 V2 + β 33 V3 + .............
DDkn
kn =β
β: coeficiente de capacitancia βkn = βnk βii resultan positivos
Capacidades parciales (3º grupo de ecuaciones de Maxwell) Reescribiendo en función de las diferencias de potencial (entre conductores y a tierra)
∑=
≠=
+=nm
kmmkmkkkk VV
1
ββζ
Capacidad de servicio V1=α11ζ1+ α12ζ2+ α13ζ3 V2=α21ζ1+ α22ζ2+ α23ζ3 V3=α31ζ1+ α32ζ2+ α33ζ3 Pero la sumatoria Σζi=0 para el sistema de conductores (si no, dado la longitud infinita resultaría carga neta infinita) ζ1 + ζ2 + ζ3 = 0 y si se trata de un sistema equilibrado:
V1 + V2 + V3 = 0 V1 - V2 = ζ1 (α11 – α21) + ζ2 (α12 – α22) + ζ3 (α13 – α23) V2 - V3 = ζ1 (α21 – α31) + ζ2 (α22 – α23) + ζ3 (α23 – α33) V3 – V1 = ζ1 (α31 – α11) + ζ2 (α32 – α12) + ζ3 (α33 – α13) Reemplazando a partir de Σζi=0 V1 - V2 = ζ1 (α11 – α12 - α13 + α23 ) + ζ2 (α21 – α22 -α13 + α23) V2 - V3 = ζ2 (- α21 + α22 +α13 – α23 ) + ζ3 (-α21 – α33 +α31 + α32) V3 - V1 = ζ3 (α33 + α12 - α31 - α32 ) + ζ1 (-α11 + α12 + α13 - α23) V1 - V2 = ζ1 αS1 – ζ2 αS2 V2 - V3 = ζ2 αS2 – ζ3 αS3 V3 – V1 = ζ3 αS3 – ζ1 αS1
Caso de conductor simple, línea simétrica, sin tierra
Caso de conductor simple, línea asimétrica, subconductores múltiples
Parámetros asociados al campo magnético (de apunte manuscrito 101099 desde pág 8)
b) con o sin simetría geométrica (del libro de Carter)
VIDEOS MIT:
Demo 4.7.1 Carga inducida en plano de tierra por un conductor aéreo
Demo 8.6.1 Corrientes superficiales inducidas en plano de tierra por un conductor aéreo
Máquinas
Inductancia de transformador a partir de la geometría
32143421 dvol
t
HB
hdxH
W
EnergíasidemHH
tx
hiN
hF
HiNtxF
hF
HiNiNF
12
:1
0
2
21
01
12
1
111111
11
3322113
⋅=
=
==⇒=
=⇒==
∫ μ
( )
( )
( )3
2110
3
230
3
22
2202
12
110
0
2
1
12
1101
222
32
322
1
thiN
thH
vBHW
thiN
W
thiN
dxtx
hhiN
Wt
μμ
μ
μμ
=⋅⋅==
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫
La inductancia total de dispersión referida al primario es:
( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
=++
==mHt
tthN
iWWW
iWL 3
212
102
1
3212
11 3
22 μ
Inductancia de bobinados de máquina eléctrica
a) Suponiendo distribución de corriente uniforme 10.3 de Carter en Complementos de Teoría
b) Suponiendo distribución de corriente no uniforme NP p 270 a 273 para distribución de corriente y desarrollar cálculo