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Clase 11

11.1. CAMPO MAGNETICO

La historia senala varios hitos relacionados con el magnetismo, la cual podemos destacar como

hechos fenomenologicos en algunos como:

Aguja magnetica se cree que fue utilizada ya por chinos en XII a.c.

Griegos en el 800 a.c tenian conocimiento del magnetismo. La magnetita (Fe3O4) atrae trozos de

hiero.

En 1269 Pierre de Maricourt constato que una aguja seguıa la direccion de circulo que envolvıan

a un iman natural de forma esferico y que las lineas pasaban por puntos diametralmente opuestos

de la esfera, lo que llamo Polos del iman.

En 1600 Willian Gilbert (1540-1603) expandio los experimentos de Maricourt a una diversidad

de materiales.

Establecio que la tierra misma es un gran iman permanente, que posee naturalmente la propiedad

del magnetismo.

2 Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa

Hans Cristian Oersted encontro la relacion entre Magnetismo y Electricidad. En 1819 encontro que

una corriente electrica que circula por un alambre genera magnetismo, dado que se produce la defe-

xion de una aguja cuando esta en su cercanıa.

Andre Ampere (1775-1836) formulo empıricamente la ley de fuerzas entre dos conductores por lo

cuales circula corriente electrica.

Y ası veremos que los otros efectos asociados con el efecto de corriente e conductores o efectos de

campo magneticos y electricos colimados, que veremos en esta parte del curso.

Campo Magnetico.

Hemos hablado hasta aquı del campo electrico, que es una cantidad fısica que nos permite carac-

terizar el espacio que rodea una distribucion de carga. Podemos decir que percibimos la existencia del

campo, puesto que si colocamos una carga alrededor de una distribucion de carga esta experimenta

una FUERZA.

La presencia del campo se conoce a traves del efecto sobre una carga electrica. En el caso del

magnetismo tambien podemos percibir la presencia de un efecto sobre una carga electrica debido al

movimiento de la misma.

Diremos que estamos en presencia de un campo magnetico cuando una carga q, que se mueve con

velocidad ~v experimenta una fuerza transversal a su movimiento.

La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v. Entonces fenomenologicamente diremos

Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa 3

Figura 11.1: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

|~F | ∝ |q||~v| (11.1)

La fuerza es proporcional a la carga y a la magnitud del vector velocidad.

|~F | = |q||~v| × (?) (11.2)

(?) debe ser perpendicular al vector velocidad ~v y debe ser perpendicular a ~F .

Definamos entonces que existe en el espacio un Campo Magnetico ~B cuando una carga q que se

mueve con velocidad ~v experimenta una fuerza ~F .

~F = q~v × ~B (11.3)


Figura 11.2: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

Supongamos que ~B sale del plano.

Figura 11.3:


Campo ~B entra al plano.

Figura 11.4:

Sumario: Una carga que se mueve con velocidad ~v y experimenta una fuerza perpendicular a

vecv esta esta en presencia de un campo magnetico que bautizamos como ~B.

Recordatorio.

| ~A× ~B| = AB sin θ (11.4)

si θ = 0, entonces

| ~A× ~B| = 0 (11.5)

si θ = π/2, entonces tendremos valor maximo

| ~A× ~B| = AB (11.6)


Fuerza Magnetica sobre un conductor.

Una corriente, como sabemos, es un flujo de carga electrica que se mueve a traves de un conductor.

Figura 11.5:

Figura 11.6:

Si tenemos una densidad n de portadores de carga por unidad de volumen.

La fuerza neta sobre el segmento de alambre ~F suma de la fuerza sobre todos los portadores.


~F = q(~vd × ~B)nAl (11.7)

pero recordamos que

I = nqvdA (11.8)

~F = nqvdA(Li× ~B) = I~L× ~B (11.9)

donde ~L es el vector que apunta en la direccion de la corriente y tiene magnitud el largo del

segmento.

Figura 11.7:

El pedacito de conductor tiene asociado un vector cuya magnitud es el tamano del pedacito.

La fuerza sobre el pedacito es

d~F = Id~S × ~B (11.10)

Si sumamos sobre todos los pedacitos desde el punto a a un punto b

~F = I

∫ b

a

d~S × ~B (11.11)


La suma de los pedacitos para un campo ( ~B = cte) es tal que

~F = I

(∫ b

a

d~S

)× ~B (11.12)

~F = I~L× ~B (11.13)

donde ~L es el vector que va desde a a b.

Para un conductor formado por una espira cerrada en un campo ~B uniforme

~F = I

(∮d~S

)× ~B = 0 (11.14)

Ejemplo: Espira Semicircular

Figura 11.8:

~F = I

∫d~S × ~B0j (11.15)

donde

d~S = rdθθ (11.16)

~F = I

∫ π

0

B0rθ × j +

∫ r

−ridx×B0j (11.17)

~F = −IB0r

∫ π

0

sin θk + 2rIB0k (11.18)

~F = −2IB0r + 2rIB0 = 0 (11.19)


Un conductor que transporta corriente experimenta una fuerza

~F = I

∫d~S × ~B (11.20)

Una espira en un campo ~B = cte, entonces la fuerza neta sobre la espira es nula (~F = 0).Sin

embargo veremos que la espira puede experimentar un torque

Figura 11.9:

Veremos que sobre las lineas 1 y 3

~F1 = I(−bi)× ~Bi = 0 (11.21)

~F3 = I(bi)× ~Bi = 0 (11.22)

Sobre las lineas 2 y 4

~F2 = I(−aj)× ~Bi = IaBhatk (11.23)

~F4 = I(aj)× ~Bi = −IaBhatk (11.24)


Miremos la espira desde abajo.

Figura 11.10:

~F2 y ~F4 tienen direcciones opuestas y no estan dirigidas a lo largo de la misma lınea de accion.

Supongamos que la espira tuviese un pivote en el punto O. La espira girarıa respecto a O debido

a las fuerzas ~F2 y ~F4. Estas fuerzas ejercen un torque respecto a O

~τ2 =

(− b

2

)× ~F2 = − b

2i× IaBk = I

ab

2Bj (11.25)

~τ4 =

(b

2

)× ~F4 = − b

2i× IaB−k = I

ab

2Bj (11.26)

~τ = τ1 + τ2 = IabBj = IABj (11.27)


Si la espira se coloca de modo que el plano de la espira sostiene un angulo con el campo magnetico.

Figura 11.11:

Figura 11.12:

Mirando desde el lado 2 hacia el lado 4.


La Fuerza ~F2 y ~F4 seran

~F2 = Ia(

cos(π

2− θ)− sin

(π2− θ))×Bi = Ia cos θk (11.28)

~F4 = Ia(− cos

(π2

+ θ)

+ sin(π

2− θ))×Bi = −Ia cos θk (11.29)

~F2 y ~F4 son opuestas, pero no ejercen torque.

~F1 = Ibk ×Bi = IbBj (11.30)

~F3 = Ibk ×Bi = −IbBj (11.31)

Pero ~F1 y ~F3 son opuestos, pero no actuan a lo largo de la misma lınea

~τ1 =a

2

(− cos

(π2− θ)i+ sin

(π2− θ)j)× IbBj = −I ab

2B sin θk (11.32)

~τ2 =a

2

(cos(π

2− θ)i− sin

(π2− θ)j)×−IbBj = −I ab

2B sin θk (11.33)

~τ = τ1 + τ2 = −IabB sin θj = −IAB sin θj = I ~A× ~B (11.34)

donde I ~A es el momento magnetico ~mu

Reescribiendo

~τ = ~mu× ~B (11.35)

Un campo magnetico actua sobre una espira de modo de alinear el momento magnetico con el

campo magnetico.

Fuente de Campo Magnetico.

En 1819 Oersted descubre que la aguja de una brujula era desviada por un conductor que trans-

porta corriente. La aguja de la brujula es sensible a los campos magneticos. Por ejemplo, a un


conductor que trasporta corriente. Las corrientes electricas son la fuente de un campo magnetico.

Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1844) midieron la fuerza ejercida por una co-

rriente electrica sobre un iman cercano. ellos lograron establecer los siguientes hechos experimentales.

donde d ~B es una porcion del campo magnetico en el punto P , perpendicular al vector ~r y d~S.

Figura 11.13:

|d ~B| ∝ 1

r2(11.36)

donde r es la distancia de d~S al punto P .

|d ~B| ∝ I (11.37)

|d ~B| ∝ |d~S| (11.38)

|d ~B| ∝ sin θ (11.39)

Entoncesµ0

4πId~S × rr2

(11.40)


donde µ0 es la permeabilidad magnetica en el vacıo (µ0 = 4π ∗ 10−7 [Tm/A])

~B =µ0I

4π

∫d~S × rr2

(11.41)

Campo Magnetico total en el punto P debido a todas las porciones de corriente.

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