Ley de MaxwellEsta es la llamada ley de las deflexiones recprocas, y fue desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley de Betti. Dicha ley se enuncia as:

Para una estructura linealmente elstica, la deflexin en un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexin en j debida a una carga unitaria en i

Ley de BettiEs el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como: Para una estructura linealmente elstica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a travs de la deformacin causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q actuando a travs de la deformacin debida al sistema P

Matriz de rigidez-Coordenadas locales La estrategia para obtener la matriz de rigidez de un

elemento, consiste en identificar cules son los grados de libertad de los extremos del mismo. La posicin deformada de ste ser la superposicin de las posiciones deformadas debidas en cada grado de libertad. As como el mtodo de las deformaciones coherentes

permite definir coeficientes de flexibilidad, es posible obtener el inverso de stos: coeficientes de rigidez.

Matriz de rigidez-Coordenadas locales Los coeficientes de rigidez indican la fuerza o

momento que es necesario aplicar en el extremo de un elemento para obtener un desplazamiento o rotacin unitaria.

Obtencin de la Matriz de rigidez Definir el sistema de coordenadas locales del elemento Definir el nodo inicial y el nodo final Identificar los grados de libertad de cada nodo (esto es,

los desplazamientos posibles que puedan tener) Numerar cada desplazamiento, siguiendo la notacin

de poner el menor nmero en direccin x local, el que siga en direccin y local y el tercero en z local

Obtencin de la Matriz de rigidez Se aplica una traslacin o giro unitario en la misma

direccin de cada grado de libertad. Esto se hace a cada grado de libertad en forma independiente. Cuando se aplica un desplazamiento o giro unitario a un grado de libertad, se toman como cero los dems. Se calculan las fuerzas y momentos que se producen por la

traslacin o rotacin unitaria en los dems grados de libertad. Recuerde que un desplazamiento en un grado de libertad de un nodo afectar en forma indirecta a todos los dems grados. Para hallar tales fuerzas y momentos se usan algunas relaciones vistas en Resistencia de Materiales, Anlisis Estructural y Esttica

Obtencin de la Matriz de rigidez Los valores obtenidos en el punto anterior se llaman

coeficientes de rigidez, y se denotan como kij, donde j es el grado de libertad que se hace igual a 1, e i es el grado de libertad en donde se induce una fuerza o momento de acuerdo al desplazamiento unitario de j. De acuerdo con el teorema de Maxwell, se tiene que

kij=kji, por lo que la matriz de rigidez es simtrica. As, no se hace necesario calcular todos los trminos de la matriz. La matriz obtenida de la manera antes descrita

est en trminos de coordenadas locales

Matriz de rigidez-Armadura planaHiptesis Se desprecia el efecto del peso propio de los elementos La unin de las barras conforman nudos articulados sin friccin Las cargas se aplican en los nudos La seccin transversal de los elementos es pequea comparada

con la longitud, y por tanto su inercia se asume como nula Las barras soportan slo a fuerza axial, y no a momentos de

flexin

Matriz de rigidez-Armadura plana

La matriz de rigidez de este elemento tiene la forma:

Matriz de rigidez-Armadura planaLos componentes de la matriz de rigidez se calculan usando el mismo procedimiento antes descrito, y usando las expresiones:

Matriz de rigidez-Armadura planaMediante la aplicacin de las anteriores ecuaciones, se obtienen los coeficientes de rigidez de la matriz para armaduras planas en coordenadas locales:

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorHiptesis La viga no est sometida a carga axial No tiene cargas aplicadas entre sus apoyos. Slo las tiene

en sus extremos La viga slo est sometida a fuerza cortante y momentos flectores en sus extremos.

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara la viga considerada antes, los grados de libertad considerados son los mostrados en la figura

Matriz de rigidez-Viga sin carga en la luzDe acuerdo con lo anterior, la matriz de rigidez tendra esta forma:

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara determinar la matriz de rigidez del elemento se da un valor unitario a cada uno de los grados de libertad, manteniendo igual a cero los dems. Usando las ecuaciones de pendiente-deflexin se hallan las fuerzas y momentos inducidos en los otros.

Como puede verse, la matriz de rigidez de una viga sin carga en su luz es de 4 x 4.

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara u1=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara u2=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara u3=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorPara u4=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flectorFinalmente, se obtiene la matriz:

Matriz de rigidez-ColumnasEn un sentido ms general, deberan considerarse no columnas sino elementos sometidos a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Al igual que con las vigas, no se consideran cargas entre los nudos

Matriz de rigidez-ColumnasLa matriz de rigidez de un elemento de esta naturaleza tiene orden de 6 x 6, y tendra los siguientes trminos:

Matriz de rigidez-ColumnasLa obtencin de la matriz de rigidez de estos elementos puede obtenerse a partir de una superposicin de la de las vigas y las armaduras planas

Matriz de rigidez-ColumnasFinalmente, la matriz buscada es:

Matriz de transformacinLas ecuaciones de equilibrio hasta ahora obtenidas se han deducido para el sistema de coordenadas locales, en el cual el eje x coincide con el eje del elemento. Como la orientacin de los elementos vara en el espacio habr tantos sistemas de coordenadas como inclinaciones diferentes tengan los elementos. Trabajar en forma simultnea con tantos sistemas de coordenadas no es imposible, pero si es complicado y laborioso. Para facilitar esta labor, se suelen referir todas las deformaciones y las fuerzas a un nico sistema de coordenadas global. Para esto es necesario establecer relaciones entre ambos sistemas.

Matriz de transformacinEl objetivo primario de la transformacin de coordenadas es se esquematiza en la siguiente figura:

Matriz de transformacinEs importante identificar el ngulo que se forma entre los dos sistemas de coordenadas. Este ngulo se mide del sistema local de coordenadas al sistema global de coordenadas. De esto depende su signo.

Matriz de transformacinLa deduccin de las matrices de transformacin es similar para todos los tipos de estructuras. Bsicamente se fundamenta en la descomposicin de vectores de fuerza en componentes ortogonales paralelas a los respectivos ejes de coordenadas locales. La idea detrs de esto es encontrar un sistema equivalente de fuerzas en coordenadas globales.

Por lo general suele calcularse no el ngulo entre elementos, sino que a partir de sus coordenadas se calculan los valores de sus funciones trigonomtricas de seno y coseno. Para estructuras espaciales, se suelen calcular los cosenos directores de los elementos.

Matriz de transformacin Armaduras planas:

Vigas: Al ser horizontales no es necesario transformar Prticos planos:

Matriz de transformacin Entramados o parrillas:

Referencias1. URIBE,

Escamilla Jairo. Anlisis de estructuras. Segunda edicin. Editorial ECOE. Bogot. Ao 2000. Awad Roberto. Anlisis matricial de estructuras. Texto editado por la Universidad EAFIT en el ao de 1993.

1. ROCHEL,

2. KASSIMALI, Aslam. Anlisis Estructuras. Editorial

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Referencias5. LEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne M.

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7. HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson.