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Clase 14 Geometría de Proporcion I
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1Geometra2010
Propiedad Intelectual Cpech
Clase N 14 Geometra de Proporcin I
PPTCANMTGEA04014V1
APRENDIZAJES ESPERADOS
Identificar tringulos congruentes y semejantes.
Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armnicamente o en seccin urea.
Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de tringulos.
Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
Propiedad Intelectual Cpech
1.Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definicin
1.2 Tringulos Congruentes
3.1 Definicin3.2 Tringulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homlogos3.4 Razn entre reas y permetros
Propiedad Intelectual Cpech
3.5 Postulados de semejanza
4.1 Divisin Interior
4.2 Divisin Exterior4.3 Divisin Armnica
4. Divisin de un segmento
4.4 Seccin urea o Divina
Propiedad Intelectual Cpech
1. Figuras congruentes ( )1.1 Definicin
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin.
Ejemplos:
Propiedad Intelectual Cpech
A
C
B D
F
E
1.2 Tringulos congruentesPara determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son:
1 Lado, lado, lado (L.L.L.)Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
Propiedad Intelectual Cpech
22 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
Propiedad Intelectual Cpech
3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
Propiedad Intelectual Cpech
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma rea.
Ejemplo:El cuadrado de lado 2 , es equivalente al crculo de radio 2 de la figura:
rea = 4 rea = 4
Propiedad Intelectual Cpech
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definicin
Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y
2 que sus lados homlogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.
Propiedad Intelectual Cpech
A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Adems, estn en razn 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homlogos, como tambin lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Propiedad Intelectual Cpech
Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales.
3.2 Tringulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homlogos estn en razn: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homlogo a DEBC es homlogo a EFAC es homlogo a DF AB
DEBCEF
ACDF
13
= = = = k
Propiedad Intelectual Cpech
3P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomlogosLos lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Adems, los elementos que cumplen la misma funcin en cada tringulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, tambin son homlogos y proporcionales.
= k
Propiedad Intelectual Cpech
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hChR
Adems, =hChR
2,4
4,8=
12
= k
Propiedad Intelectual Cpech
Recuerda: Teorema de Euclides
hC =a b
c
La razn entre los permetros de dos tringulos semejantes, es igual a la razn entre sus elementos homlogos.
3.4 Razn entre reas y Permetros
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC PPQR
=12
24=
1
2= k
Propiedad Intelectual Cpech
La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, es igual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos.
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k5
10= 1
2
AABC APQR
=6
24=
1
4= k2
Propiedad Intelectual Cpech
3.5 Postulados de semejanza1 Postulado AA.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdems
Propiedad Intelectual Cpech
ABC ~ DFE por AA
2 Postulado LLL.
Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
ABC ~ FDE por LLLA B
C
E
F
D
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
Propiedad Intelectual Cpech
43 Postulado LAL.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABC ~ FED por LAL
Adems BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
4 10Q
R
P
6
Solucin:
10QR
46
= 60 = 4QR 15 = QREs decir:
ABPR
10QR
46
= =
Los tringulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que ABC ~ PRQ , entonces:ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razn de semejanza
Propiedad Intelectual Cpech
4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior
CA B
Si el punto C divide interiormente al segmento AB en razn m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= mn
Si Q divide interiormente al segmento AB en la razn 3:5, y QB= 45, entonces, cunto mide AB?
Propiedad Intelectual Cpech
QA B
45
AQQB
= 35
Solucin:
AQ45
= 35
AQ =345
5AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
Propiedad Intelectual Cpech
4.2 Divisin exteriorSi el punto D divide exteriormente al segmento AB en razn m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= mn
Si D divide exteriormente al segmento AB en la razn 5:2, y AD = 20, entonces, cunto mide BD?
Propiedad Intelectual Cpech
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
2025
BD = 8
BA D812
20Solucin:
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54.3 Divisin armnicaDividir el segmento AB armnicamente en razn m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn.
Ejemplo:
mACCB = = n
ADBD
Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2, cunto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
Propiedad Intelectual Cpech
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
12+y y
Solucin:
x y
ACCB
= 32
= 32 3x = 2(12 - x) 12- x x
3x = 24 - 2x5x = 24
ADBD
= 32
= 32 24 + 2y = 3y
365
x = 245
24 = y
245
24A C B D
12 - x
12
Propiedad Intelectual Cpech
4.4 Seccin urea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en seccin urea, si el trazo mayor es media proporcional geomtrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX =
AXBX
(AX)2 = ABBX
En la figura, P divide al segmento AB en seccin urea, con AP > PB. Cul es la ecuacin que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5
Propiedad Intelectual Cpech
Solucin:
(AP)2 = (AP + 5)5(AP)2 = 5AP + 25(AP)2 - 5AP - 25 = 0
5
PA B
(AP)2 = ABPB
Propiedad Intelectual Cpech
Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las pginas 273, 274 y 276.
Propiedad Intelectual Cpech Propiedad Intelectual Cpech
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.
Equipo Editorial: Patricia ValdsOlga OrchardPablo Espinosa