clase 15

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Clase 15

15.1. MAGNETISMO EN LA MATERIA

Toroide es una bobina de muchas vueltas muy proximas sobre una geometrıa toroidal (rosqui-

lla). En este sistema se puede generar un campo magnetico aproximadamente uniforme en el interior.

Figura 15.1:

2 Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa

Figura 15.2:

Primero se aplica la Ley de Ampere. tenemos 3 casos:

(a) Camino r < b. No encierra corriente.

∮C1

~B · d~S = 0 (15.1)

(b) b < r < c . N loops de corriente cruzan el circuito de ampero, entonces NI es la corriente que

enlaza. Por otro lado a una distancia r el campo sera el mismo por simetrıa sobre el cırculo de radio

r y ademas sera tangencial al cırculo.

∮C2

~B · d~S = µ0NI (15.2)

B2πr = µ0NI (15.3)

B =µ0NI

2πr(15.4)

(c) Fuera del toroide tambien se cumple que∮C2

~B · d~S = 0. Dado que por simetrıa el campo

r < b y r > c es el mismo a una distancia r fija del centro diremos que la componente tangencial del

campo en el plano sera cero. Sin embargo existe un pequeno campo perpendicular al plano del toroide.

La corriente circula perpendicular al plano del toroide sobre cada espira, pero hay una pequena

corriente debido que la carga electrica fluye a lo largo del toroide. El toroide se comporta como una

Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa 3

espira.

Figura 15.3:

tal que hay una pequena corriente circulando por el toroide que genera un campo en el exterior

e interior, perpendicular al plano del toroide.

Solenoide es un conductor enrollado en forma de helice que permite generar un campo relativa-

mente uniforme en el interior. Pero un solenoide finito de espiras unidos, el campo tiene la distribucion

de lineas de campo parecido al de una espira.


Figura 15.4:

El solenoide ideal tendra infinitas vueltas, entonces tendra simetrıa a lo largo del eje del solenoide.

Figura 15.5:

El campo en cualquier punto equidistante del eje sera el mismo y su direccion a lo largo del eje.

En tal caso concluimos que ∮C1

~B · d~S = 0

.


Sobre el circuito 2, tendremos

∮C2

~B · d~S = µ0NI (15.5)

B =µ0NI

l= µ0nI (15.6)

donde n es la densidad de espiras N/l.

MAGNETISMO EN LA MATERIA

Hemos visto que una espira genera un campo magnetico a su alrededor. Tambien hemos visto que

le podemos asociar a una espira de corriente un momento magnetico, que tiende a alinearse con un

campo magnetico exterior

~τ = ~m× ~B (15.7)

Figura 15.6:

Un modelo para el magnetismo en la materia es suponer que la materia es suponer que la ma-

teria esta compuesta de diminutas espiras de corriente, como lo que podia ocurrir con un electron

orbitando un atomo.


Figura 15.7:

Nos podemos imaginar que el electron que orbita el nucleo con velocidad angular constante, tal

que cada cierto tiempo T da una vuelta podiamos definir una corriente

I =e

T(15.8)

pero

1

T= ν =

ω

2π=

v

2πr(15.9)

v = rω (15.10)

I =ev

2πr(15.11)

m = IA =evπr2

2πr(15.12)

m =1

2evr =

e

2mmrv (15.13)


Figura 15.8:

~m =e

2m~L (15.14)

Figura 15.9:

~m tiene direccion opuesta a vecL como si la corriente circula en sentido opuesto al movimiento

del electron.

El momentum angular de un electron orbitando respecto al nucleo se describe a traves de la

mecanica cuantica, tema fuera del alcance de este curso, sin embargo, es importante decir que: El

Momentum Angular es proporcional a ~ = h/2π, donde h es la constante de Plack 6,02× 10−34[Js],


por lo tanto, ~ = 1,05× 10−34[Js].

El menor valor que puede asumir L es√

2~, por lo cual el momento magnetico orbital puede

asumir el menor valor m =√

2e~/2me.

Pero la historia no termina aquı, puesto que los electrones poseen otro momentum angular dife-

rente del momentum angular angular y es llamado MOMENTO ANGULAR INTRINSECO o SPIN,

que tambien contribuye al moneto magnetico. Se le representa por ~S y se puede mostrar que el valor

de S para un electron es√

3~/2 del mismo orden que L y asociado con ~S se puede definir el momento

magetico de Spin ~ms

~ms = gse

2me

~S (15.15)

donde gs = 2, y es determinado experimentalmente. Entonces diremos que el momento magnetico de

un electron sera

~m = ~ml + ~ms (15.16)

donde las dos cantidades contribuyen al mismo orden.

Se puede definir

~ml =e~

2me~~L (15.17)

~ms = gse~

2me~~S (15.18)

la cantidad e~/2me = µB y recibe el nombre de magneton de Bohr.

Tanto el Momento magnetico Orbital como de spin, son multiplos del magneton de Bohr.

Los electrones confinados en los atomos poseen momentos magneticos que dan origen al campo

magnetico que exhiben ciertos materiales de forma natural.


Puede entenderse entonces el magnetismo en la materia como generados por pequenas espiras de

corriente cuyo origen esta en el movimiento orbital y el spin de los electrones.

No todos los atomos son magneticos, pues en algunos atomos con muchos electrones, el momento

magnetico puede ser cero o muy pequeno.

MAGNETIZACION EN LA MATERIA

En materiales, en los cuales el momento magnetico microscopico es nulo, se puede definir la

MAGNETIZACION del material ~M .

Figura 15.10:

La suma de todos los momentos magneticos en la porcion ∆V . Cada porcion ∆V posee un mo-

mento magnetico. Este momento magnetico es fuente de campo. Si el material esta en la presencia

de un campo externo ~B0. El momento magnetico dentro del material sera la suma del campo ~B0 mas


el campo asociado a la magnetizacion.

~B = ~B0 + ~Bm (15.19)

~Bm tiene origen en la magnetizacion ~M .Estos se relacionan segun ~Bm = µ0~M , determinado fenome-

nologicamente.

Como existen fuentes de campo asociados a corrientes en conductores y fuentes de campo asocia-

dos a la materia, se define la intensidad de campo magnetico ~H dentro del material, como

~H =~B0

µ0

(15.20)

~B = µ0~H + µ0

~M (15.21)

donde el primer termino corresponde a los efectos de la corriente de conduccion. El segundo termino

corresponde a los efectos de la corriente de magnetizacion.

~B = µ0

(~H + ~M

)(15.22)

salvo en el caso en que es posible conocer ~M teoricamente, en general, ~M debe medirse esperi-

mentalmente y se encuentra que se puede expresar ~M como

~M = χ ~H (15.23)

podemos observar que la magnetizacion es proporcional a la intensidad de campo magnetico y χ

corresponde a la Susceptibilidad magnetica. De modo que

~B = µ0 (1 + χ) ~H = µm~H (15.24)

donde µm es la permeabilidad magnetica del material.


Material χ

Aluminio 2,3× 10−5

Calcio 1,9× 10−5

Cromo 2,7× 10−4

Litio 2,1× 10−5

Platino 2,9× 10−9

Material χ

Cobre −9,8× 10−6

Oro −3,6× 10−5

Plata −2,6× 10−5

Tıpicamente las sustancias se clasifican de acuerdo con sus susceptibilidad magnetica.

Tabla 1: Sustancias Paramagneticas, donde la susceptibilidad magnetica χ es pequena y positiva.

Tabla 2: Sustancias Diamagneticas, donde la susceptibilidad magnetica χ es negativa.

Las sustancias ferromagneticas poseen µm >> µ0. presentan fuerte campo magneticos, por ejem-

plo, Hierro, Cobalto, Niquel.

Los momentos magneticos tienden a alinearse en la presencia de un campo externo.

Una vez alineados permanecer ası una vez que el campo externo es apagado.

La comprension de este fenomeno requiere de mecanica Cuantica.

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