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Clase 25
ÁLGEBRA LINEAL
COMPLEMENTOS YPROYECCIONESORTOGONALES
ComplementosortogonalesDefinición: Supongamos que W es un subespacio de Rn .El complemento ortogonal de W se define por:
W⊥ = {v ∈ Rn | v · w = para todo w ∈ W } .
En otras palabras, W⊥ contiene todos los vectoresque son ortogonales a W .
ComplementosortogonalesDefinición: Supongamos que W es un subespacio de Rn .El complemento ortogonal de W se define por:
W⊥ = {v ∈ Rn | v · w = para todo w ∈ W } .
En otras palabras, W⊥ contiene todos los vectoresque son ortogonales a W .
_
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
{[xy
]∈ R
∣∣∣∣ y = x
}
= gen
{[ ]}.
En este caso tenemos que
W⊥ =
{[xy
]∈ R
∣∣∣∣ y = −x
}= gen
{[
−
]}.
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
{[xy
]∈ R
∣∣∣∣ y = x
}= gen
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En este caso tenemos que
W⊥ =
{[xy
]∈ R
∣∣∣∣ y = −x
}= gen
{[
−
]}.
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
{[xy
]∈ R
∣∣∣∣ y = x
}= gen
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En este caso tenemos que
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∣∣∣∣ y = −x
}= gen
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−
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E.HA = o
×t y= o y
e n
!
. . .
!"
Ejemplos
x
W
W⊥
y
v.fi)^
⇐ EI.
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
= gen
,
.
En este caso tenemos que
W⊥ = gen
−
.
- =
2 -= X t y.
H t Est
#
t i
9 1
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
= gen
,
.
En este caso tenemos que
W⊥ = gen
−
.
-.
.
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"
[¥)-[ffo y-17--0 y
"
.
Et-ETE)
Ejemplos
Ejemplo: Sea
W =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
= gen
,
.
En este caso tenemos que
W⊥ = gen
−
.
Ejemplo
W
W⊥
y
z
x
µ"
'
_ µ
ComplementosortogonalesEn general, si W es un subespacio de Rn dado por
W = gen{u , u , ..., uk},
entonces W⊥ contiene todos los vectores v ∈ Rn talesque
v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .
En otras palabras
W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.
ComplementosortogonalesEn general, si W es un subespacio de Rn dado por
W = gen{u , u , ..., uk},
entonces W⊥ contiene todos los vectores v ∈ Rn talesque
v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .
En otras palabras
W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.
-
ComplementosortogonalesEn general, si W es un subespacio de Rn dado por
W = gen{u , u , ..., uk},
entonces W⊥ contiene todos los vectores v ∈ Rn talesque
v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .
En otras palabras
W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.
✓ v v
1 -
Preguntas
Teorema
Teorema: Supongamos que que W ⊂ Rn es unsubespacio, entonces W⊥ también es un subespacio deRn .
Prueba:
Teorema
Teorema: Supongamos que que W ⊂ Rn es unsubespacio, entonces W⊥ también es un subespacio deRn .
Prueba: Supongamos queVilvewt
Esto significa que v i .u s o , v i v o paratodo
✓ c -W . Dsl ( K t h ) -✓= y.
#
Vz} ?
0 .
por todo n e w , por l o tanto vituzewt.
Por otro lado, a cepo y v .e n t ,entono
(cu).w = Cl i f f= 0 . p o r todo ✓ E W .
Por l o tanto cuent.
Propiedades
Propiedades: Supongamos que W ⊂ Rn es un subespacio.Entonces:
(W⊥)⊥ = W .
W ∩W⊥ = { }.
dim(W ) + dim(W⊥) = n.
-
Propiedades
Propiedades: Supongamos que W ⊂ Rn es un subespacio.Entonces:
(W⊥)⊥ = W .
W ∩W⊥ = { }.
dim(W ) + dim(W⊥) = n.
Propiedades
Propiedades: Supongamos que W ⊂ Rn es un subespacio.Entonces:
(W⊥)⊥ = W .
W ∩W⊥ = { }.
dim(W ) + dim(W⊥) = n.
Preguntasñ"
SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:
- Col(A) ⊂ Rm .
- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .
- Nul(A) ⊂ Rn .
- Nul(AT ) ⊂ Rm .
-
SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:
- Col(A) ⊂ Rm .
- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .
- Nul(A) ⊂ Rn .
- Nul(AT ) ⊂ Rm .
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SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:
- Col(A) ⊂ Rm .
- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .
- Nul(A) ⊂ Rn .
- Nul(AT ) ⊂ Rm .
SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:
- Col(A) ⊂ Rm .
- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .
- Nul(A) ⊂ Rn .
- Nul(AT ) ⊂ Rm .
AxeO
KEY
=
SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:
- Col(A) ⊂ Rm .
- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .
- Nul(A) ⊂ Rn .
- Nul(AT ) ⊂ Rm .
AT→ n i m
SubespaciosfundamentalesLos subespacios fundamentales asociados a una matrizestán relacionados de la siguiente manera.
Teorema: Supongamos que A es una matriz de tamañom × n, entonces
(Col(A))⊥ = Nul(AT ),
(Nul(A))⊥ = Col(AT ) = Ren(A).
SubespaciosfundamentalesLos subespacios fundamentales asociados a una matrizestán relacionados de la siguiente manera.
Teorema: Supongamos que A es una matriz de tamañom × n, entonces
(Col(A))⊥ = Nul(AT ),
(Nul(A))⊥ = Col(AT ) = Ren(A).
SubespaciosfundamentalesLos subespacios fundamentales asociados a una matrizestán relacionados de la siguiente manera.
Teorema: Supongamos que A es una matriz de tamañom × n, entonces
(Col(A))⊥ = Nul(AT ),
(Nul(A))⊥ = Col(AT ) = Ren(A).
EjemplosEjemplo: Sea
W = gen
,
.
Encontrar una base para W⊥ .
Solución:
EjemplosEjemplo: Sea
W = gen
,
.
Encontrar una base para W⊥ .
Solución: Notemos que WeCollAl, donde
A -ftp.I?.AsrwtccokAnt
= M¥7
W
"
Nul lAt l A I [10101 1 10]
[' o
'010s -o]
#
L Í
$$ !$#
l i b re
De la segunda fila y
"
O ,
De la primer x t t e o . X I - 7 .
Asi W t contiene los vectores
¥7
!
HEAT"
Por lo tanto
* off
$
1911.
"a l
$
I i
- -
Un bar porw t a f - {[!),[§)}
-
Preguntas
EjemplosEjemplo: Sea
V =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
.
Encontrar una base para V⊥ .
Solución:
EjemplosEjemplo: Sea
V =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
.
Encontrar una base para V⊥ .
Solución:Notemos q e VENDIA
D-= [ 1 2 - I ) .
✓t e lNullAH I CollÁl-_Coll
!
1)Htt.
Una base para V t estar dada
µ f - FLIA.
Preguntas
TareaTarea: Encontrar una base para W⊥ si
W =
xyzw
∈ R
∣∣∣∣∣∣∣∣x + y + z − w = , z + x + w = .
.
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. Entonces el vector v se puededescomponer de la forma
v = w + w⊥,
con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos
w = proyW (v),
w⊥ = perpW (v) = proyW⊥(v).
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. Entonces el vector v se puededescomponer de la forma
v = w + w⊥,
con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .
Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos
w = proyW (v),
w⊥ = perpW (v) = proyW⊥(v).
→
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. Entonces el vector v se puededescomponer de la forma
v = w + w⊥,
con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ .
En este casoescribimos
w = proyW (v),
w⊥ = perpW (v) = proyW⊥(v).
- -
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. Entonces el vector v se puededescomponer de la forma
v = w + w⊥,
con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos
w = proyW (v),
w⊥ = perpW (v) = proyW⊥(v).
÷ :
ProyeccionesortogonalesPor lo tanto, si v ∈ Rn es un vector y W ⊂ Rn es unsubespacio tenemos que
v = proyW (v) + perpW (v) = proyW (v) + proyW⊥(v).
y ademásproyW (v) ∈ W proyW⊥(v) ∈ W⊥.
- -
"
⇒
Proyeccionesortogonales
Proyeccionesortogonales
(
Proyeccionesortogonales
¡
$"
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.
Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:
v =
(v · vv · v
)v +
(v · vv · v
)v + · · ·+
(v · vkvk · vk
)vk ,
es decir,
v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:
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(v · vv · v
)v +
(v · vv · v
)v + · · ·+
(v · vkvk · vk
)vk ,
es decir,
v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).
0
ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:
v =
(v · vv · v
)v +
(v · vv · v
)v + · · ·+
(v · vkvk · vk
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es decir,
v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).
$
' 0 0 O
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F É
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ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:
v =
(v · vv · v
)v +
(v · vv · v
)v + · · ·+
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es decir,
v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).÷ : - #
Nota
Nota: La fórmula de proyección de v sobre W dada por
v =
(v · vv · v
)v +
(v · vv · v
)v + · · ·+
(v · vkvk · vk
)vk ,
solamente funciona si B = {v , v , ..., vk} es una baseortogonal para W .
proywll
Preguntas
EjemploEjemplo: Sean
W = gen
,
−
y v =
. Calcular proyW (v) y proyW⊥(v).
Solución:
- -
EjemploEjemplo: Sean
W = gen
,
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y v =
. Calcular proyW (v) y proyW⊥(v).
Solución:s iufff),ufff],entonces
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baseortogoral
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LÍ.)
Preguntas
EjemploEjemplo: Sean
W =
xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
y v =
. Calcular proyW (v) y proyW⊥(v).
Solución:
= - - -
& dera d . tarea
EjemploEjemplo: Sean
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xyz
∈ R
∣∣∣∣∣∣x + y − z =
y v =
. Calcular proyW (v) y proyW⊥(v).
Solución:
Preguntas