Medidas de Tendencia Central

• Son parámetros estadísticos que indican valores cuyo objetivo es resumir la información para un conjunto de datos.

Media Aritmética o Promedio

Datos no tabulados: se define como el cociente que se obtiene al dividir la suma de todos los datos por el n° de observaciones.

Su fórmula es la siguiente:

Ejemplo

• Si se considera el número de hijos de 7 familias con los siguientes resultados:

1, 2, 2, 4, 5, 5, 6

La media aritmética es:

1+2+2+4+5+5+6 = 25/7 = 3,6

Media Aritmética para datos tabulados

• La media aritmética para datos agrupados: se calcula multiplicando la marca de clase de cada intervalo (Yi), con sus respectivas frecuencias absolutas (ni), se suman los resultados obtenidos y este total se divide por el número total de datos (n).

• k es el número de intervalos.

Ejemplo

• Un inversionista tiene 1.200 acciones cuyo valor promedio es $34 y 800 acciones cuyo valor promedio es $45. El valor promedio de las 2.000 acciones es:

Mediana

Se define como el valor central de un conjunto de datos ordenados de manera creciente o decreciente. En el caso que el número de datos sea par, la mediana corresponde a la media aritmética de los dos valor centrales.

Datos no tabulados: se ordenan las observaciones de menor a mayor y se ubica el valor central. Si la constante de datos (n) es par, se promedian los 2 valores centrales. En cambio, si n es impar habrá solo un valor en el centro.

Ejemplo N° 1

• Las notas de 6 alumnos de un curso de estadística son las siguientes:2,0 ; 3,0 ; 3,0 ; 4,0 ; 4,0 ; 5,0El número de observaciones es par, por lo tanto la mediana es: 3 + 4 / 2 = 3,5

Ejemplo N° 2

Supongamos que se toman los datos del número personas que viven en una casa tenemos:

3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 8 , 8 , 8, 10 n = 9 (impar)

En este caso la mediana es 6

Mediana para datos agrupados

• Si los datos están tabulados no es posible individualizar el valor de la mediana, pero si es factible determinar el

intervalo donde se encuentra.• La fórmula para encontrar la mediana es:

Ejemplo

Salarios semanales de 40 personas en miles de pesos.90 62 102 85 92 106 110 95 105 112108 86 110 68 118 99 98 74 91 8080 100 79 93 93 104 77 106 98 7395 85 91 83 67 119 108 115 74 88

• Se busca el valor mínimo y el valor máximo Xmín = 62 Xmáx = 119

• ii) Se calcula el rango: 119 – 62 = 57.• iii) La cantidad de intervalos no debe ser menor de 5 ni

mayor de 18. Por lo general tiene el mismo ancho. • iv) Se calcula la amplitud de cada intervalo c = rango / k

= 57 / 6 = 9.5 ≈ 10

Tabla

• Para encontrar el intervalo donde está “Me”, se debe calcular n/2 y buscar en la columna Fi, el valor que sugiere n/2.

• En el tabla anterior n/2 = 40/2 = 20• En la columna Fi, el 4° intervalo supera a 20. El cálculo

de Me es el siguiente:

Me = 90 + 10 ( 40 / 2 - 15 )

11

Me = 94,54 sueldo medio

Su interpretación es el 50% inferior de la muestra, gana menos de $94.540 y el otro 50% gana mas de $94.540

Moda

Es aquel dato que tiene la mayor frecuencia.

Para datos no tabulados:

Ejemplos:3 , 5 , 5 , 5, 3 , 4 , 7 Moda 56 , 3 , 3 , 6 , 5 , 8 , 4 Moda 3 y 6

Para datos tabulados

En este caso no es fácil visualizar el valor con mayor frecuencia ya que se encuentra dentro de un intervalo. Para

buscar la moda se usa la siguiente fórmula:

Cálculo del ejemplo anterior

Para el mismo ejemplo anterior:

Mo = 90 + 10 ( 11 – 7 )

(11-7)+(11+8)

Mo = 90 + 10 ( 4 )

4 + 3

Mo = 90 + 10 · 0,57

Mo = 90 + 5,7

Mo = 95,7

Luego 95,7 es el valor más repetido.

Medidas de Posición o Localización

Nos indica el lugar donde se ubica un valor de la variable dentro de un conjunto ordenado de valores

Cuartiles

Son tres valores que dividen al conjunto de observaciones ordenadas en cuatro partes iguales. Por lo tanto el primer cuartil (Q 1) es el valor por debajo del cual, o el cual, se ubica el 25% de todos los valores, el segundo cuartil (Q 2) es el valor por debajo del cual se ubica el 50% de todos los valores, y el tercer cuartil (Q 3) es el valor por debajo del cual se ubica el 75% de todos los valores.

Q 1 Q2 Q3

___________________________

Ejemplo

Cálculo para datos agrupados

• Donde :

i = Cuartil 1,2,3

Li = Límite inferior del intervalo que contiene el cuartil.

fi-1= frecuencia acumulada del intervalo anterior que contiene el cuartil.

c = tamaño del intervalo donde está el cuartil.

fi = frecuencia absoluta del intervalo que contiene el cuartil.

n = tamaño de la muestra.

Ejemplo• Para el mismo ejemplo, calcularemos el primer cuartil:

Primero calculamos: i . n/4 = 1 . 40/4 = 10

Buscamos la columna que supere a 10, en este caso es el intervalo n° 3

Apliquemos la fórmula:

Q1 = 80 + 10 ( 10 – 8 )

7

Q1 = 80 + 10 . 0,28

Q1 = 80 + 2,8

Q1 = 82,8

Luego el 25% de las personas gana menos de $ 82,5 y el 75% gana más de $82,5.

Deciles

• Los deciles corresponden a nueve valores que dividen al conjunto de observaciones ordenadas en 10 partes iguales.

______________________________

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Para datos agrupados

• Donde :

i = Decil 1,2,3, ……, 10

Li = Límite inferior del intervalo que contiene el cuartil.

fi-1= frecuencia acumulada del intervalo anterior que contiene el Decil.

c = tamaño del intervalo donde está el decil.

fi = frecuencia absoluta del intervalo que contiene el decil.

n = tamaño de la muestra

D = Li + C ( i. n + Fi-1)

10

fi

Ejemplo

• En el mismo ejemplo, calcular el decil 8

Primero calculamos: i . n/10 = 8 . 40/10 = 32

Buscamos la columna que supere a 32, en este caso es el intervalo n° 5

Apliquemos la fórmula:

D8 = 100 + 10 ( 32 – 11 )

8

D8 = 100 + 10 . 0,75

D8 = 100 + 7,5

D8 = 107,5

Luego el 80% de las personas gana menos de $ 107,5 y el 20% gana más de $107,5.

Percentiles

• Corresponden a 99 valores que dividen al conjunto de observaciones, ordenadas en cien partes iguales.

Para datos agrupados

• Donde :

i = Percentil 1,2,3, ……, 100

Li = Límite inferior del intervalo que contiene el percentil.

fi-1= frecuencia acumulada del intervalo anterior que contiene el Percentil.

c = tamaño del intervalo donde está el percentil.

fi = frecuencia absoluta del intervalo que contiene el percentil.

n = tamaño de la muestra

P = Li + C ( i. n + Fi-1)

100

fi

Ejemplo• En el mismo ejemplo, calcular el percentil 85

Primero calculamos: i . n/10 = 85 . 40/100 = 34

Buscamos la columna que supere a 34, en este caso es el intervalo n° 6

Apliquemos la fórmula:

P85 = 110 + 10 ( 34 – 8 )

6

P85 = 110 + 10 . 0,75

P85 = 110 + 4,3

P85 = 114,3

Luego el 90% de las personas gana menos de $ 114,3 y el 10% gana más de $107,5.