Clase 5 Microeconomía I - Angel Garcia Banchs · de riesgo en lugar de incertidumbre? ¿Cuál es la diferencia fundamental?, y ¿Cuál es su implicación para la ciencia económica

Doctorado en Economía, yMaestría en T. y P. Económica AvanzadaFACES, UCV

Microeconomía I

Prof. Angel García [email protected]

Clase/Semana 5

Decisiones bajo condiciones de riesgo

¿Qué es el riesgo y qué es la incertidumbre?

¿Cuál es el supuesto (condición matemática) que nos permite hablar de riesgo en lugar de incertidumbre?

¿Cuál es la diferencia fundamental?, y

¿Cuál es su implicación para la ciencia económica y, en particular, para la teoría neoclásica, la contratación de mercancías para entrega a futuro, los seguros, etc.?


Los individuos pueden tomar decisiones diferentes a las que tomarían bajo condiciones de certidumbre, y tales diferencias se deberían a las preferencias en relación al riesgo

ocurra resultado el que de

adprobabilidla siendo ,1 y para todo 0 con ),...,(lista una es simplelotería La

F Bsde términosen expresado esté que menosa distintos, beneficio) o ión(satisfacc utilidad de nivelesa conducir no o puede

por tanto, y,bienes de ncombinacióuna implica cada

,...,1 de vanque premios ocias)(consecuen posibles resultados los todosde finito conjunto el es

1

n

ppnpppLL

n

n

NnC

nn n

nN

∑ =

≥=

=


)1,0,0(3p

)0,1,0(2p

)0,0,1(1p

),,( 321 pppL =


Loterías compuestas

kk

kkk

kk

kN

kk

L

,...,KkL

,...,KkppLK

α

α

αα

adprobabilid con simplelotería

la a equivale queriesgosa a alternativla es )1:,(

compuestalotería una ,1 con 0 adesprobabilidy

1 con ),...,( simples loterías de número un Dado 1

=

=≥

==

∑



)4/1,41,21(),,(

)83,81,21(),,(

)0,41,43(),,(

)83,83,41(),,(

)0,0,1(),,(:asociadas loterías 5

y )3,2,1( iasconsecuenc 3 con caso un eConsidéres :Ejemplo

... donde ),,...,(

simplelotería una existe )1:,(compuesta lotería cada Para

53

52

51

5

43

42

41

4

33

32

31

3

23

22

21

2

13

12

11

1

111

==

==

==

==

==

=

++==

=

pppL

pppL

pppL

pppL

pppL

C

pppppL

,...,KkLKn

knnN

kk

αα

α



)163,163,85()163,161,41()0,81,83(

)83,81,21(21)0,41,43(21

compuestalotería segunda la de caso el eny

)163,163,85()163,163,83()0,0,41(

)41,41,21(43)0,0,1(41

21 y 21 srespectiva adesprobabilid con y de

compuesta segunda la y 43 y 41 srespectiva adesprobabilid con

y decompuesta primera La .compuestas loterías 2 seconsidérenAhora

4433

5511

4343

51

51

=+=

×+×=+=

=+=

×+×=+=

==

==

LLL

LLL

LL

LL

IIC

IC

αα

αα

αα

αα



simples loterías a) reducirse mismo, lo es que lo (o, de términosen expresarse pueden lineales) nescombinacio (o

compuestas loterías las inclusive que es punto El

des)posibilida mismas las asignan que tantoen esequivalent (son

ejemplo, el En

IIC

IC LL =


Preferencias sobre loterías

LLLLLLLLL

LLLLLL

LLL

C

′′+′≥′′+

′≥∈∈′′′≥

′+≥′′∈

′′≥′+∈

∈′′′≥

≥

)-(1)-(1 si sólo si que tienese (0,1), y , ,,toda

para si ntesindependie son sobre Las:ntesIndependie .2

})-(1:[0,1]{})-(1:[0,1]{

:cerrados conjuntos son conjuntos siguientes los , ,,cualquier para si continuas son sobre Las:Continuas 1.

:de además ivas, y transitcompletas son loterías las sobre )(a preferenci de relaciones las que Asumiremos . iasconsecuenc de

conjunto al asociadasescoger a simples loterías las de conjunto el Sea

ααααα

αααααα

LL

LL

L

$1.000 $0 $0$0 $0 $10$0 $0 $0

$1.000 muerte $10


Contraejemplo: C = ($1.000, $10, muerte) con L ≥ L' ≥ L ' '

Experimento 1Lotería L Lotería L' Lotería L''

Premio Chance Premio Chance Premio Chance$1.000 100% $1.000 0% $1.000 0%

$10 0% $10 0% $10 100%muerte 0% muerte 100% muerte 0%

≥ ≥

¿Escogerían L ' ? Sin embargo, continuidad implica: LLL ′′≥′+ )-(1 αα

Valor $825 $0 $825 $0Esperado $1.584 $2.400 $0 $816

$0 $0 $0 $0$2.409 $2.400 $825 $816


Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)

Experimento 1 Experimento 2Lotería 1A Lotería 1B Lotería 2A Lotería 2B

Premio Chance Premio Chance Premio Chance Premio Chance$2.500 33% $2.500 0% $2.500 33% $2.500 0%$2.400 66% $2.400 100% $2.400 0% $2.400 34%

$0 1% $0 0% $0 67% $0 66%

> >

¿Cuál escogerían? ¿Por qué sería inconsistente con la teoría de la utilidad esperada?


Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)

Teoría de la utilidad esperada ¿Y, en la práctica?Lotería 1A ≥ Lotería 1B Lotería 1B ≥ Lotería 1ALotería 2A ≥ Lotería 2B Lotería 2A ≥ Lotería 2B

Si en la práctica la mayoría prefiere L1B (+ certeza) a L1A (+ rend.), entonces, para que se cumpla el principio de independencia, la mayoría también debería preferir L2B (+certeza) a L2A (+ rend.). Pero, sucede lo contrario: la mayoría prefiere L2A a L2B

Matemáticamente:

Entonces, aquí no se cumple la independencia

)2500($%33)2400($%34)0($%1)2400($%66)2500($%33)2400($%100

UUUUUU

×≥××+×+×≥×


Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):

),...,1:( también de lineal cióntransformacualquier Entonces,

. sobrea preferenci de relaciónuna representa ),...,1:(

si sólo si ),,...,( y ),...,(cada que talasociado

),..,(escalar un existe ,...,1 resultadocada para decir, es esperada; utilidad tipodel las de utilitaria ciónrepresentauna posible es

Entonces,cia.independen e dcontinuida de supuestos los satisfacenivasy transitcompletas)(a preferenciderelacioneslas que Supóngase

11

1

NnbauvVU

NnuU

upup

LLppLppL

uuuNn

nn

n

nn nnn n

NN

Nn

=+==

≥==

′≥

′≥′′=′=

==≥

≥

∑∑

L


Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):

?)0,...,0,1,0,...,0()0,...,0,,0,...,0(certeza con de se resultado

el quegarantiza quelotería la es si ),( de valor el es ¿Cuál

...)(

:que tenga se ),...,(cada para queforma tal de ),,...,1( resultadocada a asociada nsatisfacióla reflejan que ),...( escalares de asignaciónuna existe siesperada utilidad como expresiónuna tiene : Entonces

2211

1

==

+++=

∈=

==

ℜ→

nn

n

n

NN

N

Nnn

ppn

LU

upupupLU

ppLNn

uuuU

L

L

nn uLU =)(


Aversión al riesgo:

Normalmente, consideraremos resultados monetarios, de forma tal que claramente más es preferido a menos y los problemas de comparar manzanas y peras no están presentes. En este contexto, el escalar (nivel de utilidad o satisfacción) asociado a un resultado depende de una función del dinero o riqueza.



)(

:así expresarse puede de finito osubconjuntun un sobre como loterías

sobre esindividual aspreferenci las que talforma de ,: utilidad defunción una de existencia la implica contexto este a aplicado

esperada utilidad la de teoremaEl o.subconjunt ese sobre lotería una ),...( Sea }. ,...{ , de finito osubconjuntun eConsidéres

(riqueza) dinero de niveles distintosen consisteselección de conjunto el decir, es;C

:menteMatemática

N1N1

nn n wup

LU

pp Lww

∑

+

+

+

+

ℜℜ→ℜ

=ℜ

ℜ=



ingreso o riqueza la de esperada utilidad la es )(y esperado ingreso o riqueza la de utilidad la es )( donde

)()( si en riesgo del amante (ii)

)()( si en riesgo al neutral (ii)

)()( si en riesgo al averso (i):es que dice se individuo el Entonces,

).()(con ,:como define se esperada riqueza la , simple lotería una Para

nn n

nn n

nn n

nn n

nn nnn n

wupEwu

wupEwuL

wupEwuL

wupEwuL

wpuEwuwpEwL

∑

∑∑∑

∑∑

<

=

>

==



21

2211

y entreescoger de hora la a eindiferentsintiría se riesgo al neutral fuese que individuoun que implica cual lo50 a igual es casos ambosen riqueza o ingreso del esperadoValor

1/2 adprobabilidcon 100 vscertezacon 50 )21,21(y )0,100( vs)0,1(y )0,50( :Ejemplo

LL

LwLw ====



2

2

2

2

la jugarse nodesistir para F) Bs 60 :(ej F Bs 50 amayor montoun aceptar a dispuesto está sólo si mismo lo es que lo o F, Bs 50 de

cierto pagoun recibir a la jugarse prefiere si riesgo del amante es

la jugarse o F Bs 50 de cierto pagoun a frente eindiferent es si neutral es

todoperderlo de riesgo al la jugarse de en vez certeza,con recibirlo de con tal F) Bs 40 :(ej

F Bs 50 amenor montoun aceptar a dispuesto está si riesgo al averso es

L

L

L

L



-17%)60)/60-(50 %en o averso, 60,-(50 riesgo del amante del riesgo de descuento o

25%)40)/40-(50 %en o averso, 40,-(50 averso del riesgo de prima la es ecertidumbr de eequivalent ely esperado valor el entre diferencia

lay amante) F Bs 60 averso, F Bs (40 ecertidumbr de eequivalentel es riesgosa apuesta lajugar no para aceptaría individuo

el que dinero de cantidad la F, Bs 50 es esperado valor el ejemplo elEn 2

=

=

L



0 prima unapagar a dispuesto está por tanto, y, cóncava

)( utilidad defunción una exhibe riesgo al averso sea que individuoUn

)()(

ecertidumbr de eequivalent el es por tanto,

)()(:que tal, dinero de cantidad la es riesgo de prima la mente,Matemática

>

=

=−

=−

∑

∑

P

wu

wupECu

ECPEw

wupPEwuP

n

nn n

nn n

)(wu

)(w

)(wu



wwuwuw

wuwuw

www

wu

)()(-)ARR(y

)()(-)AAR(

:por dadas vienen Pratt) John W.y Arrow(Kenneth Pratt -Arrow riesgo al ))(ARR( relativay

))(AAR( absolutaaversión de medida la ,0algún en continua, forma de blediferencia doblemente sea que )( una Para

′′′

=′′′

=

>



edecrecient pero relativa riesgo alaversión una exhibe individuo el

que afirma se entonces ,ARR(,con decrece )ARR( si

edecrecient pero absoluta riesgo alaversión una exhibe individuo el

que afirma se entonces ,AAR(,con decrece )AAR( si

dwwdww

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0con

(AARC) creciente absoluta riesgo alaversión )( 3)(AARD) edecrecient absoluta riesgo alaversión )log()( 2)

(AARC) constante absoluta riesgo alaversión )( 1)

:funcionesdistintas de Ejemplos

2

>

−=

=

−= −

α

α

α

wwwuwwu

ewu w


Fin clase de hoy…

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