Clase a Clase Tercero Ok

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2010

Claudio Alejandro Faúndez Rodríguez

30/11/2010

Unidad Didáctica Nivel Medio III: El Estudio de las Probabilidades

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Contenido

OBJETIVOS DE LA UNIDAD .............................................................................................................. 2

Objetivos Generales ........................................................................................................................ 2

Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 3

CONTENIDOS..................................................................................................................................... 3

Cognitivos ........................................................................................................................................ 3

Procedimentales .............................................................................................................................. 4

Actitudinales .................................................................................................................................... 5

Clase 1 de 21: Un poco de historia ..................................................................................................... 6

Clase 2 de 21: Experimento aleatorio y sus posibles resultados ...................................................... 12

Clase 3 de 21: Frecuencia absoluta y relativa .................................................................................. 17

Clase 4 de 21: Equiprobabilidad ....................................................................................................... 23

Clase 5 de 21: Sucesos de un experimento aleatorio....................................................................... 27

Clase 6 de 21: Repasando los sucesos ............................................................................................ 30

Clase 7 de 21: Control 1 Unidad del Estudio de las Probabilidades ................................................. 34

Clase 8 de 21: Probabilidad clásica .................................................................................................. 36

Clase 9 de 21: Probabilidad experimental ........................................................................................ 40

Clase 10 de 21: Continuando con las probabilidades ....................................................................... 44

Clase 11 de 21: Variables ................................................................................................................. 48

Clase 12 de 21: Probabilidad de sucesos ......................................................................................... 53

Clase 13 de 21: Relaciones entre sucesos ....................................................................................... 57

Clase 14 de 21: Sigamos con las probabilidades de sucesos .......................................................... 61

Clase 15 de 21: Probabilidad de diversos sucesos .......................................................................... 65

Clase 16 de 21: Control 2 Unidad del Estudio de las Probabilidades ............................................... 69

Clase 17 de 21: Regla del producto .................................................................................................. 72

Clase 18 de 21: Permutaciones ........................................................................................................ 75

Clase 19 de 21: Variaciones ............................................................................................................. 78

Clase 20 de 21: Combinaciones ....................................................................................................... 81

Clase 21 de 21: Control 3 Unidad del Estudio de las Probabilidades ............................................... 84

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Unidad Didáctica: El Estudio de las

Probabilidades

Tercer Año de Enseñanza Media

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Objetivos Generales

Distinguir con claridad que la palabra probabilidad es un término que,

perteneciendo al vocabulario corriente de las personas, se utiliza tanto para indicar

una creencia subjetiva como para realizar una estimación empírica, o para

designar una expresión teórica bien precisa.

Comprender y afianzar los conceptos de probabilidad y probabilidad condicionada

para preparar el trabajo con nociones de estadística inferencial en 4º año medio.

Construir e interpretar tablas y gráficos estadísticos, brindando una excelente

oportunidad para incentivar a los(as) estudiantes a iniciar debates respecto a

temas con incidencia en los aspectos valóricos, tales como las responsabilidades

en los accidentes de tránsito, la relevancia de la diversidad a través de datos

relativos a los pueblos originarios, la frecuencia y distribución de los incendios

forestales en Chile y sus consecuencias, entre otros.

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Objetivos Específicos

Reconocer e interpretar variables aleatorias de acuerdo a los contextos en que se

presentan.

Conocer la "ley de los grandes números" y relacionar la frecuencia relativa con la

probabilidad de un suceso.

Distinguir entre sucesos equiprobables y no equiprobables.

Resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad condicionada en

situaciones sencillas.

Distinguir cuando la situación problemática se resuelve con una permutación,

variación o combinación.

CONTENIDOS

Cognitivos

Nociones de probabilidad.

o Experimento aleatorio y espacio muestral.

o Frecuencia absoluta, relativa y porcentual.

o Equiprobabilidad.

o Suceso elemental, compuesto.

Probabilidades y probabilidades.

o Probabilidad clásica, experimental y subjetiva.

o Regla de Laplace.

o Variable aleatoria.

o Sucesos compatibles, mutuamente excluyentes e independientes.

o Probabilidad condicionada.

Combinatoria básica.

o Regla del producto.

o Permutaciones, variaciones y combinaciones.

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Procedimentales

Nociones de probabilidad.

o Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo,

presentes en diversos fenómenos cotidianos.

o Construyen tablas de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y

acumuladas, a partir de datos de experimentos aleatorios.

o Interpretan tablas de resultados de experimentos aleatorios y calculan

probabilidades de ocurrencia de sucesos.

o Modelan experimentos aleatorios haciendo uso de simulaciones

computacionales simples.

o Aplican los conceptos a situaciones concretas.

o Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).

Probabilidades y probabilidades.




o Resuelven problemas que requieran el cálculo de probabilidad

condicionada en situaciones sencillas.


Combinatoria básica.





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Actitudinales

Aumenta el interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento,

para su propio crecimiento y autoafirmación, permitiéndoles resolver desafíos con

grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades.

Generan un desarrollo en el pensamiento, en especial, relativo a habilidades de

investigación y de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través

de las actividades que suponen selección y organización de información y datos;

las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación

de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones

observadas, por otro. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico

contribuye a tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.

Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia así como de

flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y

aceptar consejos y críticas, aumentando su desarrollo personal y su entorno social

ligados al trabajo.

Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas

económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las

actividades propuestas en la unidad.

Perciben la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a

desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

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Clase a clase

Clase 1 de 21: Un poco de historia

Objetivos:

Objetivo General: conocer los fundamentos que iniciaron el estudio de las

probabilidades, a través de la revisión de la historia de los juegos de azar.

Objetivos Específicos:

Fomentar el aprendizaje histórico y epistemológico mediante la lectura de un

fragmento histórico y el análisis de árboles resumen de la historia tanto de

probabilidades como de azar.

Promover el aprendizaje individual, con textos y actividades complementarias, que

involucran la lectura y comprensión de textos, además de resúmenes

bibliográficos.

Desarrollar un análisis crítico de la información presentada, impulsando el

descubrimiento, a través de la exploración, de los orígenes de las probabilidades.

Además de realizar una etapa de comentarios y reflexión.

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Contenidos:

Procedimentales:

Conocen los orígenes del estudio de las probabilidades, a través de la revisión

histórica y epistemológica de diversos matemáticos relacionados con este tema.

Identifican diversos juegos de azar presentes a lo largo de la historia del ser

humano, además de diseñar un cronograma basado en el árbol histórico

presentado.

Realizan un aprendizaje autónomo a través de la lectura complementaria y el

desarrollo de diversas actividades de investigación biográfica de algunos

matemáticos relacionados con los orígenes del estudio de las probabilidades.

Actitudinales:

Aumenta el interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento,

para su propio crecimiento y autoafirmación.

Fortalecen la confianza y el respeto al emitir sus opiniones frente a sus demás

compañeros, durante las instancias desarrolladas en donde los alumnos pueden

participar en clases.

Perciben el estudio de la probabilidad como una rama de la matemática que

recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de diversos

ámbitos.

Preparación de Materiales:

Se diseñarán diversas diapositivas con la información necesaria para desarrollar las

situaciones propuestas en la clase.

Además se proporcionarán dos fichas históricas, una relacionada con el origen de las

probabilidades y otra respecto de la presencia del azar a lo largo de la historia.

Finalmente, tras realizar diversas actividades de indagación, se formalizará el concepto de

azar y se reforzará que éste se encuentra presenta en diversos juegos así como también

en el accionar diario del ser humano.

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Desde los juegos de azar a la teoría matemática

“Durante el siglo XVII aparecieron los primeros problemas relativos a los juegos de dados.

Para los franceses de esa época, los juegos de azar constituían uno de sus mayores

entretenimientos, pero las apuestas fueron aumentando y surgieron jugadores

empedernidos que querían cuantificar de alguna forma la ocurrencia de un suceso. Uno

de estos jugadores fue Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un miembro de la nobleza

francesa, apasionado por los juegos de azar y las apuestas, quien le escribió al

matemático a Blas Pascal, consultándole acerca de estos temas, a su vez Pascal le

escribió a Fermat para discutir acerca de los problemas propuestos por De Meré,

empezando así el desarrollo de la teoría de las probabilidades.

Pero la aplicación de las probabilidades no abarcaron solamente a los juegos de dados,

como muchas otras ramas de la Matemática, el desarrollo de la teoría de probabilidades

se vio estimulado por la variedad de sus aplicaciones, lo que, a su vez, provocó la

extensión de sus campos de aplicación, que recorren la estadística, la genética, la

psicología, la economía, la ingeniería, la física subatómica, la mecánica estadística y la

predicción del tiempo, por mencionar algunos”

Situación 1: basándote en el texto, reúnete en grupo y respondan las siguientes

preguntas.

a) ¿En que otros juegos está presente el azar? Haz una lista.

b) ¿Practicas algún juego que involucre el azar? Describe brevemente el

funcionamiento de ese juego.

c) ¿Conocías alguno de estos personajes? Realiza una breve biografía de ellos

(años de nacimiento y fallecimiento, aportes a la matemática)

d) ¿En que situaciones de la vida cotidiana usamos la probabilidad?

Revisa las páginas 190 y 191 del libro para complementar tu aprendizaje

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Situación 2: ve la historia de las probabilidades, diseña un cronograma y pasa los datos.

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Usamos la palabra azar para referirmos a acontecimientos

fortuitos, imprevisibles, casuales

En los juegos de azar más que una estrategia, lo que se necesita para

ganar es “suerte”

La lotería, las ruletas, los juegos con naipes y lanzar los dados son algunos ejemplos de

juegos de azar

Azar viene del vocablo árabe zahr, la aromática flor del naranjo, que se

solía pintar en una de las caras de un dado

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Situación 3: observa la historia del azar, diseña un cronograma y pasa los datos.

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Clase 2 de 21: Experimento aleatorio y sus posibles resultados

Objetivos:

Objetivo General: reconocer e interpretar variables aleatorias de acuerdo a los

contextos en que se presentan.


Comprender descripciones de los conceptos respectivos a experimento aleatorio y

espacio muestral, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en

la clase.

Conocer y aplicar los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral a

situaciones concretas presentes en las situaciones a desarrollar.

Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de

de recibir y aceptar críticas y consejos.

Aumentar el interés y la capacidad de conocer la realidad y usar el conocimiento,

basándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al

desarrollar diferentes actividades, en pro de su crecimiento y autoafirmación.

Contenidos:

Conceptuales: experimento aleatorio, espacio muestral.

Procedimentales:

Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con

experimento aleatorio y espacio muestral, presentes en diversos fenómenos

cotidianos.

Aplican los conceptos, relacionados con lo que es un experimento aleatorio y

espacio muestral, a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la

clase.

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Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la

clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean

formalizadas en conjunto.

Actitudinales:

Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,

desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.

Reflexionan sobre los errores cometidos al desarrollar diferentes actividades, para

identificarlo y modificarlo, aumentando el interés y la capacidad de conocer la

realidad y utilizar el conocimiento, en pro de su crecimiento y autoafirmación.

Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a

conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio

ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios

morales.

Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y

de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la

resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de

métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a

tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.


Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de

las diversas situaciones a tratar.

Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los

resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.

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Situación 1: resuelve individualmente lo siguiente.

Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres

veces una moneda al aire, y registrar cada vez el resultado obtenido.

Encuentra el espacio muestral registrando los resultados posibles

utilizando un diagrama de árbol.

Situación 2: consideremos el experimento aleatorio que consiste en extraer dos bolitas

de una caja que contiene 4 bolitas verdes y 3 rojas. Encuentra el espacio muestral de

acuerdo a la siguiente tabla.

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es aquel cuyo resultado, al ser repetido tantas veces como se desee en

condiciones similares, no puede ser predicho con certeza

por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, los resultados posibles son cara o

sello, pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir

al hacer rodar un dado de seis caras, el resultado puede ser que cualesquiera

de las caras que quede apuntando hacia arriba, pero no se tiene certeza sobre

cuál de ellas será

se denomina E al conjunto formado por todos los posibles resultados de un

experimento aleatorio

en el caso del lanzamiento de una moneda el espacio muestral es

E = {cara, sello}

cuando hacemos rodar un dado de seis caras es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Situación 3: reúnete con un compañero y describan el

espacio muestral de los siguientes experimentos

aleatorios:

a) Sacar al azar una ficha de una caja que contiene

9 fichas numeradas del 1 al 9.

b) Hacer rodar dos dados y anotar la suma de los

puntos obtenidos (usa la tabla anexa si lo

deseas).

Responder al azar dos preguntas, cuyas respuestas

posibles son verdaderas o falsas.

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Clase 3 de 21: Frecuencia absoluta y relativa

Objetivos:

Objetivo General: reconocer y utilizar tanto la frecuencia relativa como la

frecuencia absoluta de acuerdo a los contextos en que se presentan, además de los

conceptos que están ligados a este conocimiento.


Comprender los conceptos relativos a frecuencia relativa y frecuencia absoluta, a

través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.

Interpretar las diferentes tablas presentadas y desarrolladas durante el transcurso

de la clase, tanto las hechas por los alumnos como por las expresadas por el

profesor.

Desarrollar la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos durante la

participación de los estudiantes en discusiones.

Ampliar el interés y la capacidad de comprender la realidad y utilizar el

conocimiento, fundamentándose en la identificación y modificación de los errores

cometidos al hacer diferentes actividades, en pro de su progresión y

autoafirmación.

Contenidos:

Conceptuales: frecuencia absoluta, relativa y porcentual.

Procedimentales:

Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con

frecuencias, tanto relativas como absolutas, presentes en diversos fenómenos

cotidianos.

Construyen tablas de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas,

a partir de datos de experimentos aleatorios, que se presentan en problemas que

presentan cotidianamente los alumnos.

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Aplican los conceptos, relacionados con frecuencia absoluta, relativa y porcentual,

a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.




Actitudinales:

Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su

desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.



Reflexionan sobre los errores cometidos al desarrollar diferentes actividades, para

identificarlo y modificarlo, aumentando el interés y la capacidad de conocer la

realidad y utilizar el conocimiento, en pro de su crecimiento y autoafirmación.



actividades propuestas en la clase.

Construyen el pensamiento crítico a través del cuestionamiento de las

conclusiones obtenidas durante la resolución de las situaciones propuestas.

Perciben la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a





Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y

conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, en las tablas

correspondientes.

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Situación 1: resuelve individualmente la siguiente problemática relacionada con las notas

de un curso universitario, luego comparemos los resultados.

En un curso universitario al que asisten 10 estudiantes, la primera evaluación arrojó las

siguientes notas:

a) Confecciona una tabla de frecuencias

(utiliza la tabla anexa si lo deseas).

b) ¿Cuántos estudiantes han obtenido una

nota igual a 6?

c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de esa

nota?

d) Expresa en porcentaje la frecuencia

relativa encontrada en c).

e) Construye un gráfico de barras,

ubicando en el eje x las notas obtenidas

por los(as) alumnos(as) y en el eje y los

valores de la frecuencia relativa.

Los resultados de un experimento se pueden

registrar y el experimento se puede

repetir bajo las mismas condiciones todas las veces que se desee

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La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ocurre ese resultado

La frecuencia relativa de un resultado es el

cociente entre su frecuencia absoluta y el

total de resultados observados

Si se hace rodar 500 veces un dado y en 37 ocasiones se obtiene un 4

La frecuencia absoluta de 4 es f = 37

Es la frecuencia relativa de 4

La frecuencia relativa también se puede expresar como frecuencia

relativa porcentual

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Situación 2: resuelve en grupo los siguientes problemáticas, luego comparemos los

resultados.

1. Lanza una moneda al aire 50 veces y completa la siguiente tabla de frecuencia:

2. Se reunieron 10 estudiantes y cada uno(a) hizo 50 lanzamientos de una moneda y

el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno

obtenía “cara”. La tabla resume los resultados obtenidos.

a) ¿Cómo se obtienen los valores de la tercera, cuarta y quinta columna?

b) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total?

c) Explica a qué corresponde el valor 0,504 en la última línea.

d) Grafica la frecuencia relativa acumulada en función del número de

lanzamientos acumulados.

e) Comenta la forma de la gráfica al unir los puntos obtenidos.

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Situación 3: realiza el siguiente trabajo de investigación, organizándote

en un grupo de tres compañeros(as) para estudiar las tendencias del

curso en sus preferencias deportivas.

a) Selecciona los siguientes deportes: fútbol, básquetbol, ping pong.

b) Considera las siguientes posibilidades de ámbitos donde practicar tales

deportes: en el liceo como parte de las actividades deportivas, en los recreos,

en los barrios donde viven los(as) estudiantes.

c) Formulen una encuesta con esas preguntas y tabulen los resultados para

mujeres, para varones y para el total de los(as) estudiantes.

d) Analicen los siguientes temas:

i. ¿En qué ámbito los varones tienen más inclinación por el fútbol?

ii. ¿En qué deporte las mujeres tienen más preferencias que los hombres

y en qué ámbitos?

iii. ¿Cuál es el deporte preferido por los varones en los recreos? ¿Y por

las mujeres?

iv. ¿Se pueden proyectar estos resultados a otros cursos? ¿A otras

ciudades?

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Clase 4 de 21: Equiprobabilidad

Objetivos:

Objetivo General: reconocer e identificar el concepto de equiprobabilidad, de

acuerdo a los contextos en que se presenta, distinguiendo entre sucesos equiprobables y

no equiprobables.


Comprender los conceptos relativos a equiprobabilidad, a través de los diferentes

ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.

Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de

recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en

las discusiones.

Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,

fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al

trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.

Contenidos:

Conceptuales: sucesos equiprobables y no equiprobables.

Procedimentales:

Identificar si los resultados de algunos experimentos aleatorios son equiprobables

o son no equiprobables, dependiendo de la situación planteada que refleja un

fenómeno cotidiano.




Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos de un experimento aleatorio,

a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.

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Actitudinales:












conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar

las resoluciones de cada alumno o grupo.


las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.

Situación 1: reúnete con tu compañero y decide si los resultados son equiprobables, en

cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Se extrae una bolita al azar de una bolsa que

contiene 50 bolitas negras, 50 blancas y 50 grises

todas del mismo tamaño e indistinguibles al tacto.

b) En una bolsa hay 50 bolitas negras, 25 blancas y

10 grises de la cual se saca una bolita al azar.

c) Se selecciona al azar una carta de una baraja

española, y se registra si la carta es numerada o

es figura (sota, caballo o rey), sin importar la pinta.

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Situación 2: en qué caso(s) los resultados de cada experimento son equiprobables.

Justifica tus respuestas.

a) Se elige un(a) estudiante al azar y se anota su sexo, en un colegio donde hay 750

estudiantes matriculados, de los cuales 500 son del sexo femenino.

b) Se lanzan dos dados (no trucados) y se registra la suma que se obtiene al sumar

sus puntos.

c) Se abre la guía telefónica residencial en una página al azar y se registra la letra

inicial de los apellidos de las personas que aparecen en la página.

• Si al realizar un experimento se verifica que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener

Equiprobable

• lanzar una moneda

• hacer rodar un dado

• dejar caer una bolita en una ruleta (dividida en partes iguales) que gira

Por ejemplo

En la medida que los objetos aludidos

estén funcionando normalmente

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• Si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles

tienden a estabilizarse en valores notoriamente diferentes entre

ellas

No equiprobables

• un dado trucado (o cargado)

• una moneda defectuosa

• una ruleta dividida en partes de diferentes áreas

Por ejemplo

Moneda defectuosa

Dado truncado

Ruleta dividida en partes de diferentes

áreas

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Clase 5 de 21: Sucesos de un experimento aleatorio

Objetivos:

Objetivo General: reconocer e identificar los sucesos de un experimento aleatorio,

de acuerdo a los contextos en que se presenta, distinguiendo entre suceso elemental y

suceso compuesto.


Comprender los conceptos relativos a suceso elemental y compuesto, a través de

los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.



las discusiones.




Contenidos:

Conceptuales: sucesos elemental y compuesto.

Procedimentales:

Diferenciar los sucesos elementales de los compuestos, dependiendo de la

situación planteada que refleja un fenómeno cotidiano y cercano a los alumnos.




Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos elementales y compuestos, a

situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.

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Actitudinales:
















Situación 1: resuelve individualmente en tu cuaderno la siguiente

problemática de un alumno como tú (utiliza la tabla anexa si lo deseas).

Un estudiante responde al azar a dos preguntas, cuyas alternativas de

respuesta son verdadero o falso.

a) Encuentra el espacio muestral.

b) Escribe el suceso “responder verdadero a la primera pregunta”.

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Situación 2: un turista recorre una ciudad doblando a la izquierda o doblando a la

derecha al azar, cada dos esquinas. Después de completar cuatro virajes, se detiene a

sacar fotografías.

a) Escribe el espacio muestral de uno de estos episodios.

b) Escribe el suceso “doblar a la izquierda solo en una oportunidad”.

c) Escribe el suceso “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades”.

Cada uno de los resultados que conforman el espacio muestral

O bien, "obener cara" al lanzar una moneda al aire

Subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos

elementales

Por ejemplo, al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3

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Clase 6 de 21: Repasando los sucesos

Objetivos:

Objetivo General: reconocer e identificar los sucesos de un experimento aleatorio,

de acuerdo a los contextos en que se presenta.


Comprender los conceptos relativos a los sucesos de un experimento aleatorio, a

través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.



las discusiones.




Contenidos:

Conceptuales: sucesos imposible, seguro, elemental y compuesto.

Procedimentales:

Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos de un experimento, a


Identificar los diferentes sucesos de un experimento aleatorio, dependiendo de la

situación planteada que refleja un fenómeno cotidiano y cercano a los alumnos.




31

Actitudinales:
















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• Suceso sin resultados, es decir, un evento con probabilidad de ocurrencia nula

• Ejemplo: “Obtener 7” al hacer rodar un dado normal de seis caras

Suceso imposible

• Es un suceso con probabilidad 1

• Ejemplo: “Obtener cara o sello” al lanzar una moneda al aire

Suceso seguro

• Hace referencia a cada uno de los resulatdos que conforman el espacio muestral

• Ejemplo: "Sacar 5" al tirar un dado de seis caras

Suceso elemental

• Es un subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos elementales

• Ejemplo: "Obtener un número impar" al hacer girar la manecilla de una ruleta con números del 1 al 30

Suceso compuesto

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Situación 1: en un experimento que consiste en hacer rodar dos dados de seis caras y

registrar la suma de los puntos obtenidos se han definido los sucesos A, B, C, D y E.

Escribe el conjunto de resultados que define a cada uno de ellos y anota qué tipo de

suceso se trata.

a) A: “la suma es igual a 2”

b) B: “la suma es igual a 1”

c) C: “la suma es número primo”

d) D: “la suma es un número entre 2 y 12”

e) E: “la suma es menor o igual que 9”

Situación 2: se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas con los

números

Define en este experimento un suceso:

a) Seguro

b) Imposible

c) Elemental

d) Compuesto

OJO: se ha establecido una diferencia entre suceso y resultado

Por ejemplo, al lanzar un dado, el suceso A: “que salga un número

par” = {2, 4, 6}. Si al lanzar el dado el resultado es 2, significa que

el suceso A ocurre, mientras que si al lanzar el dado el resultado

es 3, significa que el suceso A no ocurre

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Clase 7 de 21: Control 1 Unidad del Estudio de las Probabilidades

Objetivos:

Objetivo General: tomar las determinaciones adecuadas para asignar una

calificación a cada alumno que manifieste la medida de objetivos adquiridos en los

contenidos abordados hasta el momento en la unidad didáctica.


Determinar si el alumno posee los niveles mínimos necesarios para abordar los

siguientes contenidos de la unidad didáctica.

Diagnosticar las dificultades de aprendizaje de los alumnos e indicar los resultados

obtenidos al final del aprendizaje.


Se diseñará una evaluación de acuerdo a las diferentes situaciones estudiadas durante

las clases.

Situación 1: una caja contiene miles de clavos, algunos de los

cuales son defectuosos. Si la probabilidad de extraer al azar

uno defectuoso es 0,02, calcula cuál es la probabilidad de que:

a) al extraer uno al azar no sea defectuoso

b) al extraer dos al azar ambos sean defectuosos

c) al extraer dos al azar uno sea defectuoso y el otro no

Situación 2: en una bolsa hay 1.000 bolas numeradas de 1

a 1.000. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que la suma de sus cifras sea 7?

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Situación 3: en un librero hay 5 libros de Biología, 3 de

Química y 4 de Física. Determina de cuántas maneras

diferentes pueden disponerse en el librero si:

a) no hay un orden preestablecido

b) todos los de la misma disciplina deben estar siempre

juntos

Situación 4: hay un banco de preguntas constituido por 30 de

Biología, 25 de Química, 35 de Física y 10 de Matemática.

Determina la probabilidad de que al elegir 5 preguntas al azar

estas correspondan a:

a) Biología

b) Física

c) Química

d) Matemática

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Clase 8 de 21: Probabilidad clásica

Objetivos:

Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de probabilidad a través de

la resolución de diversos problemas que requieren el cálculo de probabilidad en



Comprender los conceptos relativos a probabilidad clásica, además de la regla de

Laplace, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.

Calcular la probabilidad de que un determinado sucesos ocurra, de acuerdo a

situaciones concretas presentes en los problemas a desarrollar.



las discusiones.




Contenidos:

Conceptuales: probabilidad clásica y regla de Laplace.

Procedimentales:

Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con probabilidad,

presentes en diversos fenómenos cotidianos y calculan la probabilidad de

ocurrencia de estos sucesos.




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Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad de un suceso, a


Actitudinales:














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Situación 1: individualmente, calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras

numeradas del 1 al 8, se obtenga:

a) el número 6

b) un número par

Situación 2: reúnete en grupo, responde lo que se pregunta a continuación y luego

preséntalo a tus compañeros.

a) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número “menor que 5”.

b) Si una bolsa contiene 5 bolitas azules y 3 rojas, indistinguibles al tacto, calcula la

probabilidad de extraer una bolita roja.

c) Calcula la probabilidad de “sacar un as” al extraer una carta al azar de la baraja

española

d) (40 cartas).

e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado “salga un número primo”?

f) Calcula la probabilidad de comprar el único número ganador de una lotería, si se

han impreso 30.000 boletos, cada uno con un número diferente a todo el resto.

g) Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan tres sellos.

• Se basa en la idea de que es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado resultado antes de realizar el experimento (a priori)

• La forma teórica de obtener una probabilidad se calcula aplicando la Regla de Laplace

Probabilidad clásica

39

Para aplicar la Regla de Laplace, el experimento aleatorio debe cumplir algunas condiciones:

El número de resultados posibles tiene que ser

finito y conocido

Todos los resultados tienen que tener la misma probabilidad de ocurrencia

Regla de Laplace

Si un experimento aleatorio tiene un número finito n de

resultados y todos ellos son equiprobables, entonces:

La probabilidad de ocurrencia

de uno de tales resultados es:

La probabilidad de ocurrencia de

un suceso A que consta con k de

dichos resultados es:

O bien:

Lanzamiento de una moneda al aire

Una moneda tiene solo dos lados: cara y sello

La probabilidad de obtener una de ellas, digamos “sello”, es:

40

Clase 9 de 21: Probabilidad experimental

Objetivos:





Comprender los conceptos relativos a probabilidad experimental, a través de los

diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.

Calcular la probabilidad de que un determinado sucesos ocurra, de acuerdo a

situaciones concretas presentes en los problemas a desarrollar.






las discusiones.

Contenidos:

Conceptuales: probabilidad experimental.

Procedimentales:

Reconocen y resuelven situaciones problemáticas referentes a conceptos

relacionados con la probabilidad experimental, presentes en diversos fenómenos

cotidianos y calculan la probabilidad de ocurrencia de estos sucesos.

Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad experimental de un

suceso, a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.

41

Actitudinales:














Situación 1: respondamos en conjunto las siguientes preguntas:

a) ¿Es siempre posible definir a priori el número de casos favorables en un

experimento aleatorio?

b) Consideremos el experimento aleatorio consistente

en elegir al azar una ampolleta dentro de un lote

de 2.000 ampolletas aparentemente idénticas.

i. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “elegir

una ampolleta defectuosa”?

ii. ¿Es posible conocer el número de

ampolletas defectuosas que hay entre las

2.000 sin probarlas?

42

Situación 2: se tiene una caja que contiene cerca de 8.000 bolitas rojas y bancas,

indistinguibles al tacto. Se saca una bolita al azar y se devuelve. Al

realizar el experimento 100 veces, se obtuvo 21 veces una bolita

roja y 79 veces una de color blanco. Calcula la probabilidad de:

a) extraer una bolita roja

b) extraer una bolita blanca

Situación 3: observa cada una de las cajas.

Determina en cuál de las cajas:

a) es equiprobable sacar una bolita azul o una roja.

b) es más probable sacar una bolita roja que sacar una azul.

c) es más probable sacar una bolita azul que sacar una roja.

Probabilidad experimental

Se evalúa realizando numerosas veces el

experimento en cuestión, registrando cada uno de sus

resultados

Se define como el cociente entre el número delos casos favorables y el número de

casos observados

43

Situación 4: observa la tabla que muestra los resultados obtenidos al lanzar un dado 345

veces:

a) ¿Consideras estos resultados dentro de lo esperado? ¿O piensas que el dado

tiene algún defecto?

b) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado.

c) Calcula la probabilidad de ocurrencia de cada resultado.

Situación 5: calcula la probabilidad experimental en los siguientes experimentos

aleatorios:

a) se lanzó una moneda al aire 100 veces y los resultados que se

obtuvieron fueron 70 veces “cara” y 30 veces “sello”. Compara la frecuencia

relativa de cada resultado con la probabilidad teórica.

b) al lanzar 240 veces un dado de ocho caras iguales (octaedro)

numeradas de 1 al 8, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Compara la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.

Un dado trucado de seis caras es no que ha experimentado la alteración de una o varias de las

simetrías propias de un cubo

44

Clase 10 de 21: Continuando con las probabilidades

Objetivos:





Resolver ejercicios que involucran los conceptos relativos a probabilidad, clásica,

experimental y subjetiva, presentes en los diferentes ejemplos y situaciones

dispuestas en la clase.



las discusiones.

Interpretar los diferentes resultados y decisiones obtenidas durante el transcurso

de la clase, tanto las elaboradas por los alumnos como por las enunciadas por el

profesor.

Contenidos:

Conceptuales: probabilidad experimental, teórica y subjetiva.

Procedimentales:






Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con probabilidad,



45

Actitudinales:









Se diseñarán diferentes diapositivas con las definiciones pertinentes a la clase, además

de las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.




46

Es la probabilidad de que suceda un evento especifico, que es asignada por

una persona basándose en cualquier información disponible

Se realiza cuando existe poca o ninguna posibilidad en la cual se pueda

basar una probabilidad

Predecir el resultado de un partido de fútbol entre dos equipos que se van a

enfrentar sólo una vez durante la temporada que nos interesa

Estimar la probabilidad de que el Chile gane la próxima copa del mundo

Estimar la probabilidad de que saquen 7 en matemáticas en cuarto medio

Asignarle a la ocurrencia del suceso un valor numérico que refleja nuestra

propia percepción respecto a la factibilidad del mismo

47

Situación 1: se lanza un dado 18 000 veces; se obtienen los

resultados consignados en la siguiente tabla, agrupados de

acuerdo al número de tiradas.

Nº de

tiradas

Resultados posibles

1 2 3 4 5 6

20 5 4 2 4 2 3

60 6 6 6 11 9 22

300 47 40 43 58 39 73

600 89 84 82 111 104 130

1200 174 166 185 203 207 265

2400 362 345 387 396 407 503

6000 946 885 1002 993 941 1233

18000 2940 2841 2823 2757 2816 3823

a) Calcula las frecuencias relativas para los datos de dos filas y de dos columnas.

b) ¿Qué deducción se puede plantear a partir del análisis de estos resultados?

Situación 2: en una reunión hay 60 personas, 20 son mujeres y

40 hombres. Entre ellas, 20 hombres son fumadores y 8 mujeres

son fumadoras. Encontrar:

a) La probabilidad de que al elegir una persona al azar sea no

fumadora.

b) Si se elige al azar una persona fumadora, la probabilidad

de que sea hombre.

Situación 3: una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge

un comité de 3 al azar, hallar la probabilidad de:

a) Selecciona 3 niños.

b) Selecciona exactamente 2 niños y 1 niña.

c) Seleccionar por lo menos 1 niño.

d) Seleccionar exactamente 2 niñas y 1 niño.

48

Clase 11 de 21: Variables

Objetivos:

Objetivo General: comprender y fortalecer el concepto de variable, además de los

algunos tipos de variables, a través de la resolución de diversos problemas que requieren

el cálculo de probabilidad en situaciones sencillas.


Interpretar los diferentes resultados y decisiones obtenidas durante el transcurso

de la clase, tanto las elaboradas por los alumnos como por las enunciadas por el

profesor.



las discusiones.

Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a


Contenidos:

Conceptuales: variable aleatoria, cuantitativa, continua y discreta.

Procedimentales:

Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con las variables,



Analizan información estadística recolectada con propósitos bien definidos, para

mostrar el cálculo de ciertas probabilidades a partir de ella.




49

Actitudinales:

Establecen un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su


Cooperan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,


Aumentan su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas




Se diseñarán diferentes diapositivas con las definiciones pertinentes a la clase, además

de las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.




• Es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resultados del espacio muestral

Variable aleatoria

• Si el experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados y registrar su suma, la variable aleatoria toma todos los valores enteros entre 2 y 12

Por ejemplo:

50

Situación 1: trabajemos en conjunto para indicar la variable aleatoria en cada uno de los

siguientes experimentos aleatorios.

a) elegir al azar una semana y contabilizar los minutos de espera del microbús

durante esa semana.

b) extraer al azar una carta de la baraja inglesa (52 cartas, 4 pintas) y registrar su

valor.

c) registrar el color de ojos de las personas que entran a una farmacia durante

una mañana.

d) lanzar 100 veces una moneda al aire y registrar las veces que salió sello.

e) registrar en una tabla los milímetros de agua caída en tu ciudad durante los

meses de invierno de los últimos 5 años.

Situación 2: resuelve individualmente en tu cuaderno lo

siguiente, para luego discutirlo como curso.

Describe cuál es el experimento aleatorio que determina el valor

de cada una de las siguientes variables aleatorias:

a) la suma de los puntos que muestran las caras de tres

dados (de seis caras) que se lanzan al azar.

b) el número de patentes de vehículos terminadas en 5 que pasan por la calle

mientras esperas el microbús.

c) el número de compañeros y compañeras que faltaron a clases durante un mes.

d) el número de accidentes de tránsito ocurridos durante los fines de semana de un

año.

e) el número de veces que un vaso plástico cae boca arriba cuando se deja caer

desde una mesa hasta el suelo.

Variable que puede tomar cualquier valordentro de un

intervalo dado

51

Situación 3: consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas

al aire, responda lo siguiente.

a) Determine el espacio muestral.

b) Sea la variable aleatoria definida de la siguiente forma: a cada elemento del

espacio muestral le asignamos un número real tal que corresponde al número

de caras. Completa la siguiente tabla indicando el suceso, el valor de (número

de caras en el suceso) y la probabilidad de que tal suceso ocurra.

Variables que solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado

y no admiten valores intermedios

El tiempo que tardo en ir de mi trabajo a mi casa.

Puedo demorar 28 minutos; 32,5 minutos,

etc

El número de estudiantes de un colegio es una

variable discreta. Puede haber 643 estudiantes o 328, pero no puede haber

722,3 estudiantes

Por ejemplo:

52

Situación 4: basándote en la siguiente información

estadística del cuadro, calcula la probabilidad de que al

elegir al azar un habitante de nuestro país, este sea:

a) Mapuche.

b) Mujer aimara.

c) Hombre rapanui.

• son las que toman valores númericosVariable

cuantitativa

• son variables que no tienen una representación numérica

• se expresan por una cualidad

Variable cualitativa

53

Clase 12 de 21: Probabilidad de sucesos

Objetivos:

Objetivo General: resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad de

sucesos en situaciones sencillas, además de interpretar los resultados obtenidos en los

diferentes problemas.


Comprender descripciones de los conceptos respectivos a la probabilidad de

sucesos, además de su aplicación en las diferentes situaciones contextualizando

los resultados al problema planteado.

Interpretar las diferentes probabilidades calculadas durante el transcurso de la

clase, tanto los desarrollados por los alumnos como por los expresados por el

profesor.



Contenidos:

Conceptuales: sucesos compuestos, complemento de un suceso, sucesos

compatibles y mutuamente excluyentes.

Procedimentales:

Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con la

probabilidad de sucesos.

Interpretan los resultados del cálculo de las diferentes probabilidades, presentes

en los problemas planteados durante la clase.




54

Actitudinales:






morales.











55

Situación 1: determina individualmente lo siguiente, sabiendo que lanzamos un dado de

ocho caras.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado o suceso elemental?

c) ¿Qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número par”?

d) ¿Qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número impar”?

e) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del suceso “obtener un número mayor que

3”?

Situación 2: un experimento aleatorio consiste en

extraer una carta al azar de una baraja de naipe

español (40 cartas, 4 palos: oro, copa, espada y

basto). Definimos el suceso A como “sacar oro”.

Calcula.

a) P(A)

b) La probabilidad del suceso “sacar una carta

que no sea oro”.

• Se calcula sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen

Probabilidad de un suceso compuesto

56

Situación 3: reúnete en grupo, resuelve lo siguiente y luego discutámoslo como grupo

curso; sabiendo que se extrae una carta al azar de la baraja

española y se define el suceso A: “sacar una figura” (sota, caballo

o rey).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A?

c) ¿Cuál es el significado de tal suceso?

Situación 4: al lanzar tres monedas al aire se definen los siguientes sucesos:

A: “que se obtengan tres caras”

B: “que se obtengan dos caras y un sello”

Determine la probabilidad de ocurrencia de:

a) A

b) El complemento de A

c) B

d) El complemento de B

• Es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral E, que no están incluidos en el suceso A

Complemento de un suceso

57

Clase 13 de 21: Relaciones entre sucesos

Objetivos:

Objetivo General: conocer los diferentes tipos de sucesos y resolver problemas

que requieren el cálculo de probabilidad de éstos en situaciones sencillas.


Comprender descripciones de los conceptos respectivos a las relaciones de

sucesos, además de su aplicación en las diferentes situaciones contextualizando

los resultados al problema planteado.



profesor.



Contenidos:

Conceptuales: sucesos compatibles y mutuamente excluyentes.

Procedimentales:


probabilidad de sucesos.






58

Actitudinales:











morales.






59

Situación 1: consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de seis

caras. Definamos los siguientes sucesos:

A: “Obtener 4”

B: “Obtener un múltiplo de 2”

C: “Obtener un número par”

D: “Obtener un número menor que 4”

F: “Obtener 6”

a) Encuentra los conjuntos que definen el espacio muestral E y los sucesos A, B, C,

D, F.

b) Analiza las relaciones de compatibilidad y exclusión entre los diferentes sucesos

definidos.

Situación 2: resuelve individualmente y determina lo siguiente, sabiendo que se hace

rodar un dado y se definen los siguientes sucesos: A: “obtener el número 5”, B: “obtener

un número impar” y C: “obtener un número menor que 6”; determina:

a) el espacio muestral

b) el suceso A, B y C

c) la relación que existe entre los sucesos A y B

d) el(los) resultado(s) que permite(n) asegurar que ocurran A y B simultáneamente

• Cuando dos sucesos, A y B, tienen algún suceso elemental

• Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común

Sucesos compatibles

• Cuando dos sucesos, A y B, no tienen ningún elemento en común

• Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles

Sucesos mutuamente excluyentes

60

Situación 3: se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se definen

los siguientes sucesos:

A: “Sacar un rey”

B: “Sacar un oro”

C: “Sacar una copa”

Determina:

a) el número de resultados posibles de cada suceso

b) los sucesos que ocurren si se extrae un rey de copas

c) los sucesos mutuamente excluyentes

Situación 4: se extrae una bola de una bolsa que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8.

Se definen los siguientes sucesos:

A: “obtener un número primo mayor que 2”

B: “obtener un número par”

Determina:


b) el suceso A

c) el suceso B

d) la relación entre los sucesos A y B

Situación 5: de una baraja inglesa se extrae al azar una carta. Considera los siguientes

sucesos:

A: “sacar un corazón”

B: “sacar un trébol”

C: “sacar un as”

Determina:


b) el suceso A y el suceso B

c) el(los) suceso(s) que ocurre(n) si se extrae un as de trébol

d) las relaciones que existen entre estos sucesos

61

Clase 14 de 21: Sigamos con las probabilidades de sucesos

Objetivos:






algunos sucesos y las relaciones existentes entre éstos, además de su aplicación

en las diferentes situaciones contextualizando los resultados al problema

planteado.



profesor.



Contenidos:

Conceptuales: probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes y de sucesos

independientes.

Procedimentales:


probabilidad de sucesos y las relaciones existentes entre sucesos.






62

Actitudinales:











morales.


Se diseñarán diferentes diapositivas con la información y las diversas situaciones a

desarrollar durante la clase.



Probabilidad de sucesos incompatibles

Recordemos: que cuando dos sucesos, A y B,

no tienen ningún elemento en común son

sucesos incompatibles (mutuamente

excluyentes)

63

Situación 1: trabajemos en conjunto y consideremos un experimento consistente en

sacar una bola de una urna que contiene 1 bola roja, 3 bolas azules y 6 bolas blancas. Se

debe calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos:

a) R: “Que salga una bola roja”.

b) A: “Que salga una bola azul”.

c) B: “Que salga una bola blanca”.

d) “Que salga una bola roja o blanca”.

e) “Que salga una bola azul o blanca”.

f) “Que salga una bola que no sea roja”.

Situación 2: resolvamos grupalmente el siguiente problema.

Una ruleta está dividida en seis sectores de igual tamaño

numerados del 1 al 6, dos verdes y cuatro amarillos (como se ve

en la figura). Consideremos el experimento aleatorio de hacer

girar la ruleta dos veces consecutivas y registrar los colores de

los sectores que indica la flecha al detenerse.

a) Compara el total de resultados posibles de este experimento con el total de

resultados posibles cuando hacemos girar la ruleta solo una vez.

b) Calcula las probabilidades de ocurrencia de los siguientes sucesos:

i. caer en verde las dos tiradas.

ii. caer en amarillo las dos tiradas.

iii. caer en verde en la 1ª tirada y en amarillo en la 2ª tirada.

iv. caer en amarillo en la 1ª tirada y en verde en la 2ª tirada.

v. caer una vez en verde y otra vez en amarillo.

• Si la ocurrencia de A no afecta la probabilidad de ocurrencia de B y viceversa

• Al lazar dos dados los resultados son independientes

Sucesos independientes

64

Situación 3: el siguiente cuadro muestra la población de la Región Metropolitana (RM)

según el grupo étnico al que pertenece.

Se elige al azar un habitante de la Región Metropolitana. Calcula la probabilidad de que la

persona seleccionada sea mapuche o aimara.

Situación 4: Analicemos el experimento consistente en extraer al azar dos bolas, una

después de la otra, de una urna con 7 bolas, 3 verdes y 4 rojas (como lo indica la figura).

a) Consideremos en primera instancia el experimento con

reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas

verdes?

b) Consideremos ahora el experimento sin reposición. ¿Cuál

es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?

65

Clase 15 de 21: Probabilidad de diversos sucesos

Objetivos:






algunos sucesos y las relaciones existentes entre éstos, además de su aplicación

en las diferentes situaciones contextualizando los resultados.



profesor.



Contenidos:

Conceptuales: probabilidad condicionada, con reemplazo y sin reemplazo, sucesos

dependientes e independientes.

Procedimentales:


probabilidad condicionada y los conceptos de sucesos dependientes e

independientes.






66

Actitudinales:











morales.


Se diseñarán diferentes diapositivas con la información y las diversas situaciones a

desarrollar durante la clase.



• Ocurrencia de un suceso A, sabiendo que también ocurre otro suceso B

Probabilidad condicionada

Se lee “la probabilidad de A dado B”

67

Situación 1: individualmente resuelve el siguiente problema.

Consideremos una urna que contiene 5 bolas: 3 bolas rojas

y 2 azules. Se extrae, sin mirar, una bola.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola

roja, devolverla y en seguida sacar una bola azul?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola

roja, no devolverla y en seguida sacar una bola azul?

Situación 2: seleccionamos al azar una carta de la baraja

española. Se definen los sucesos:

A: “Sacar una figura”

B: “Sacar oro”

¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea figura sabiendo que salió un

oro?

Situación 3: hacemos rodar un dado de seis caras y queremos

calcular la probabilidad del suceso “obtener 2”, sabiendo que ha

salido un número par.

• Si A y B son dos sucesos

• Y P(A) = P(A/B), o bien, P(B) = P(B/A)Sucesos

independientes

• Si A y B son dos sucesos

• Y P(A) ≠ P(A/B), o bien, P(B) ≠ P(B/A)Sucesos

dependientes

68

Situación 4: se extraen dos cartas de una baraja española, una

después de la otra sin devolución. Calcula la probabilidad que

la segunda carta sea un rey (A), dado que la primera carta fue

rey de bastos (B). Comenta acerca de la relación entre A y B.

Situación 5: se eligen al azar estudiantes de un liceo, recogiendo información sobre su

sexo y el uso de transporte colectivo para llegar de su casa al liceo, elaborando la tabla

siguiente.

a) Calcula la probabilidad de que el (la) estudiante elegido(a) sea hombre, dado que

usa transporte colectivo.

b) Calcula la probabilidad de que el (la) estudiante elegido(a) sea mujer, dado que

usa transporte colectivo.

69

Clase 16 de 21: Control 2 Unidad del Estudio de las

Probabilidades

Objetivos:











las clases.

70

Situación 1: considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar

de la baraja inglesa. Se definen los sucesos:

• A: “Sacar figura

• B: “Sacar diamante”

Calcula:

a) la probabilidad de cada evento.

b) la probabilidad de que la carta seleccionada sea diamante, sabiendo que fue

figura.

Situación 2: se lanzan 4 monedas al aire a la vez.

a) ¿Cuántos resultados posibles pueden darse?

b) ¿Cuántos resultados podrán obtenerse con 4, 3, 2, 1 o 0 caras?

Situación 3: los estudiantes de un curso debían elegir un idioma entre inglés y francés, y

un deporte entre básquetbol y vóleibol. La elección de los(as) jóvenes fue registrada en la

siguiente tabla:

Observa la tabla y responde.

a) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron inglés?

b) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido

inglés?

c) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido

francés?

d) ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un(a) estudiante al azar, éste (ésta) haya

elegido inglés y vóleibol?

e) calcula la probabilidad de “elegir francés, habiendo elegido vóleibol”.

f) calcula la probabilidad de “elegir inglés, habiendo elegido básquetbol”.

71

Situación 4: se hace rodar un dado de seis caras y se definen los sucesos:

• A: “Que salga un número par”

• B: “Que salga un número mayor que 2”

Calcula:

a) la probabilidad de cada evento.

b) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número

mayor que 2.

c) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número

menor que 4.

d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

Situación 5: un(a) profesor(a) universitario(a) de cálculo toma las

dos primeras pruebas del semestre y un 25% de los estudiantes

tuvo nota de aprobación (mínimo 4) en ambas, mientras que un 42%

igualó o superó el 4 en la primera prueba.

¿Qué porcentaje de los(as) estudiantes que aprobaron la primera

prueba (suceso A) también aprobaron la segunda (suceso B)?

Situación 6: determina la probabilidad de que al hacer rodar un

dado dos veces:

a) en ambos lanzamientos caiga en 2

b) en el primer lanzamiento caiga en 5 y en el segundo

caiga en 3 o en 1

72

Clase 17 de 21: Regla del producto

Objetivos:

Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de combinatoria a través

de la resolución de diversos problemas que requieren la utilización de la regla del

producto.


Comprender los conceptos relativos a combinatoria, además de la regla del

producto, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.



las discusiones.




Contenidos:

Conceptuales: regla del producto.

Procedimentales:

Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con combinatoria

básica, presentes en diversos fenómenos cotidianos.

Aplican los conceptos enseñados al resolver situaciones problemáticas referentes

a ejercicios propuestos en la clase, tanto individual como grupalmente, para que

finalmente sean formalizadas en conjunto.



73

Actitudinales:














Situación 1: resuelve en tu cuaderno la siguiente problemática.

a) Un experimento consiste en seleccionar dos

fichas al azar de una caja que contiene 5

fichas numeradas de 1 a 5. Determina la

probabilidad de que ambas fichas extraídas

tengan números:

i. pares.

ii. Impares

b) Repite el experimento con una caja con 100 fichas numeradas del 1 al 100.

74

Situación 2: analicemos las placas patentes de los

automóviles en nuestro país. En la actualidad una

patente tiene una combinación de 2 letras y de 4

números (salvo los vehículos más nuevos), donde el

primero de éstos no puede ser cero.

Supongamos que se usan 23 letras del abecedario (se excluyen la I, la Ñ, la O y la W).

a) ¿De cuántas maneras se puede escoger la primera letra?

b) ¿De cuántas maneras se puede escoger la segunda letra?

c) ¿Cuántas son las combinaciones de letras posibles?

d) ¿Cuántas combinaciones de números son posibles?

e) ¿Cuántas patentes se pueden diseñar?

Situación 3: Eduardo ha elegido su ropa de trabajo y de fin de semana, de manera que

cualquier elección que haga entre sus 2 pares de zapatos, 3 pantalones, 3 chaquetas, 5

corbatas y 4 camisas le satisface estética y funcionalmente. ¿Cuántas tenidas diferentes

puede lucir?

Situación 4: reúnete en grupo y responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden escribir con los

números del 1 al 5?

b) Se quiere pintar la fachada de una casa de 3 colores diferentes,

elegidos de una paleta de 7 colores que combinan entre sí. ¿Cuántas

alternativas de elección de colores existen?

• Para disponer elementos en dos posiciones, y se cuenta con n elementos para la primera posición y con m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m

Regla del

producto

75

Clase 18 de 21: Permutaciones

Objetivos:

Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de permutación a través de

la resolución de diversos problemas.


Comprender los conceptos relativos a permutación, a través de los diferentes







las discusiones.

Contenidos:

Conceptuales: permutación, factorial.

Procedimentales:

Aplican el factorial de un número natural cualquiera al resolver situaciones

problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la clase, tanto individual como

grupalmente, para que finalmente sean formalizadas en conjunto.

Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con permutación,


Aplican los conceptos, relacionados con permutaciones, a situaciones concretas,

propuestas durante la realización de la clase.

76

Actitudinales:














• Sea un conjunto cualquiera de n elementos

• Es una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones

• El número de permutaciones de n elementos es

Permutación

77

Situación 1: si tenemos que acomodar 8 libros en un anaquel, ¿Cuántas

son las formas diferentes de distribución de los 8 libros en línea?

Situación 2: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar en línea tres libros

(uno rojo, uno azul y uno verde) en un estante?

Situación 3: se quiere distinguir a 5 estudiantes del liceo en virtud a

sus méritos, para lo cual se cuenta con 5 premios distintos. ¿De

cuántas maneras diferentes es posible asignarlos?

Situación 4: el jefe de una repartición

decide enviar a 6 funcionarios a visitar 6

localidades para difundir un programa de ayuda social. Cada

uno debe visitar una localidad. ¿De cuántas maneras es posible

asignar las destinaciones?

78

Clase 19 de 21: Variaciones

Objetivos:

Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de variación, a través de la

resolución de diversos problemas.


Comprender los conceptos relativos a variación, a través de los diferentes







las discusiones.

Contenidos:

Conceptuales: variación.

Procedimentales:

Resuelven diversas situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos

en la clase, tanto individual como grupalmente, para que finalmente sean


Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con variación,


Aplican los conceptos, relacionados con variaciones, a situaciones concretas,


79

Actitudinales:















• Es una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones

• El número de variaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es:

Variación

80

Situación 1: para su cumpleaños, Alejandra invitó a sus amigas

a tomar helados. En la heladería había 4 sabores frutales: piña,

frutilla, mora y damasco. La celebrada ofreció a todas sus

invitadas helados de dos sabores (que eran servidos uno sobre

el otro), en todos los ordenamientos posibles y no hubo dos

combinaciones iguales. ¿Cuántas personas había?

Situación 2: calcula cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números

De acuerdo a las siguientes condiciones:

a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

Situación 3: en un curso de 25 estudiantes se van rotando los 4

cargos directivos (presidente, vicepresidente, secretario y

tesorero), de modo de compartir responsabilidades y experiencias.

¿Cuántas directivas distintas es posible formar?

• Lista ordenada de r elementos de un conjunto de n elementos, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera

Variación con repetición

81

Clase 20 de 21: Combinaciones

Objetivos:

Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de combinación, a través

de la resolución de diversos problemas.




las discusiones.

Comprender los conceptos relativos a combinación, a través de los diferentes





Contenidos:

Conceptuales: variación.

Procedimentales:

Resuelven diversas situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos

en la clase, tanto individual como grupalmente, para que finalmente sean


Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con combinación,


Aplican los conceptos, relacionados con combinaciones, a situaciones concretas,


82

Actitudinales:














83

Situación 1: Alex tiene la convicción de que se mantiene

en forma gracias a que todos los días su colación

consiste en tres frutas diferentes y cada día el surtido

cambia respecto al del día anterior. Además, tiene la

fortuna de abastecerse de ellas en su propia huerta, de la

que recolecta naranjas, manzanas, peras, ciruelas y

duraznos. Calcula el número de colaciones distintas que

puede formar.

Situación 2: calcula el número de grupos de 5 cartas que se

pueden formar con una baraja española de 40 cartas sin que

importe el orden en que se elige los componentes.

Situación 3: calcula el número de posiciones que pueden adoptar

10 personas alrededor de una mesa, si los puestos son

indistinguibles unos de otros.


• Es una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones

• El número de combinaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es

Combinación

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Clase 21 de 21: Control 3 Unidad del Estudio de las

Probabilidades

Objetivos:











las clases.

Situación 1: en una jaula hay 5 ardillas negras, 3 blancas y

6 jaspeadas. Determina la probabilidad de que al abrir la

puerta salgan:

a) 2 blancas o 3 jaspeadas

b) 3 negras y 2 jaspeadas

Situación 2: el inspector del colegio ha elegido a

20 estudiantes para organizar un desfile y les

solicita que formen una fila. ¿De cuántas maneras

diferentes pueden formar la fila, si el más pequeño

debe ir siempre en el primer lugar y el más alto en

el último?

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Situación 3: en una urna hay 5 bolitas blancas, 6 azules y 7

rojas. Si se hacen 2 extracciones de 3 bolitas cada una, y no

hay devolución de las bolitas extraídas. ¿Cuál es la

probabilidad de que en la primera extracción las 3 bolitas sean

rojas y en la segunda, las 3 sean blancas?

Situación 4: en un curso de 30 alumnos(as) el

40% son mujeres y un tercio de ellas tienen ojos

verdes. Si 9 personas de este curso tienen ojos

verdes, calcula la probabilidad de que:

a) al elegir una persona al azar sea hombre y

no tenga ojos verdes

b) al elegir 2 personas, éstas sean mujeres y

una tenga ojos verdes y la otra no

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