CLASE A DISTANCIA N° 3

Distribución de probabilidadDistribución normal

Desde este MATERIAL en adelante, mientras estemos trabajando adistancia, cada nivel estará a cargo de un solo profesor o profesora, en laasignatura de matemática. Esto nos ayudará a evitar confusiones entrelos estudiantes y que el material en confección y corrección estén acargo de una sola persona.

En el caso de 4° medio (A, B, C y D), el profesor a cargo es Joel Valenzuela. Deben contactarse con él para sus dudas y enviar sus trabajos al correo jvalenzuela@emprender.cl

IMPORTANTE

Objetivos

■ AE 09: Interpretar el concepto de variable aleatoria continua.

■ AE 10: Aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad, en el caso de una variable aleatoria continua.

Instrucciones generalesPara lograr un adecuado proceso de aprendizaje a través de estas “clases a distancia” seránecesario que tome apuntes de lo que va leyendo. No es necesario que escriba todo ni querealice los gráficos en su cuaderno, pero si considere que esta en una clase real y si sucuaderno esta en blanco una vez terminada la clase es por que seguramente no ha aprendidomucho.

Es un desafío inmenso lograr aprendizajes a distancia y requiere habilidades que puede queno tengamos en este instante, pero eso no quiere decir que no podemos desarrollarlas.

Se les invita poner todo de su parte para aprender estos nuevos contenidos, este nuevoproceso de clases a distancia se necesita calibrar e ira mejorando clase tras clase.

Se ha habilidad el correo: jvalenzuela@emprender.cl para que podamos interactuar demanera mas fluida.

Distribución Normal■ Ya conocemos la distribución binomial y como nos ayuda al calculo de

probabilidades en situaciones donde tenemos una dualidad de resultados (éxito o fracaso). Sin embargo aun es limitante, por esto se nos hace necesario conocer otro tipo de distribución y la más utilizada es la Distribución Normal.

Algunas de las características de la distribución normal son:

– Que muchas variables continuas comunes en el mundo de los negocios tienen distribuciones que se asemejan estrechamente a la distribución normal.

– La distribución normal sirve para acercarse a diversas distribuciones de probabilidad discreta, como la distribución binomial y la distribución de Poisson.

– La distribución normal proporciona la base para la estadística inferencial clásica por su relación con el teorema de límite central.

Tipo De Variables

■ En muchas ocasiones hemos hablado de que existen dos tipos de variables, discreta y continua, pero generalmente no se detalla mucho mas, para este contenido es muy importante tener clara las similitudes y diferencias entre ellas.

■ Variable Aleatoria Discreta (VAD): Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, la cantidad de hormigas en su patio.

■ Variable Aleatoria Continua (VAC): Se denomina variable aleatoria continua a aquella que puede tomar un número infinito de valores entre un intervalo dado. Por ejemplo, la densidad de una sustancia o la altura de un árbol.

Tipo De Variables■ Veamos algunos ejemplo:

1° Supongamos que tenemos la variable aleatoria: “Numero de personas en una fila para comprar en el supermercado”.

En esta situación tenemos una variable aleatoria discreta, pues pueden haber entre 0 y 10, 100 o 1000 personas en esa fila, pero siempre serán números enteros, no podemos pensar en ningún decimal, por lo tanto ninguno número racional ni un número real.

2° La variable aleatoria: “Tiempo de espera de las personas en una fila para comprar el supermercado”

En este caso el tiempo de espera puede ser cualquier valor numérico desde 0 en adelante, por lo tanto seria una variable aleatoria continua.

3° La variable aleatoria: “Tiempo de espera, en minutos, de las personas en una fila para comprar el supermercado”

Distribución Normal■ Una vez dejado el tema de las variables aclarado estamos más cerca de comenzar con

la distribución normal, pero primero debemos hacer ciertas aclaraciones.

■ La DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (tema de las clases anteriores) se relaciona con la variable aleatoria discreta.

■ En el caso de las variables discretas las relacionamos con una función de probabilidad y está función nos da la probabilidad de un valor particular.

■ En el caso de las variables continuas las relacionaremos con una función de densidad de probabilidad, la gran diferencia es que ahora no sabremos directamente el valor de la probabilidad de un valor en particular, si no de un intervalo de valores.

Distribución NormalDesglosemos la última parte de la pagina anterior.

■ “Si una variable continua X se le asocia una función de densidad f (x), la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [a, b] esta dada por el área bajo la curva de f entre a y b.”

■ Para que hablemos de una función de densidad de probabilidad debemos cumplir las siguientes condiciones:

1. 푓 푥 ≥ 0,푝푎푟푎 푡표푑표 푣푎푙표푟 푑푒 푥

2. 퐸푙 á푟푒푎 푏푎푗표 푙푎 푐푢푟푣푎 푑푒 푓 푒푛 푠푢 푑표푚푖푛푖표푑푒푏푒 푠푒푟 푖푔푢푎푙 푎 1∗

En el grafico vemos que la parte pintada se encuentra entre los valores de a y b,

eso es un intervalo. El área bajo la curva es la figura pintada que se forma entre

f(x) y el eje x

En el grafico vemos que la parte pintada se encuentra entre los valores de a y b,

eso es un intervalo. El área bajo la curva es la figura pintada que se forma entre

f(x) y el eje x

Esto es similar a que la probidad de éxitos y fracasos debe sumar 1 o a que todas las probabilidades sumadas deben dar el 100%

Esto es similar a que la probidad de éxitos y fracasos debe sumar 1 o a que todas las probabilidades sumadas deben dar el 100%

■ Cuando hablemos de P(X=x) el resultado será cero por utilizar una igualdad en una función de densidad.

■ Si queremos calcular el P(X) de un valor fuera del intervalo [a,b] también será cero

Distribución Normal■ Tomemos un ejemplo para entender lo anterior.

■ La función que vemos puede ser una función de densidad de variable aleatoria continua pues cumple las condiciones anteriores:

■ 푓 푥 ≥ 0 para cualquier valor de x

■ El área bajo la curva de f en su dominio debe ser igual a 1

En este caso el dominio de f es el intervalo [0, 2]. Esto significa que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre 0 y 2 es 1, es decir, un 100 %.

Aquí vemos que se formó un triangulo de base 2 y altura 1, si calculamos el área a ese

triangulo tenemos que su área vale 1

Aquí vemos que se formó un triangulo de base 2 y altura 1, si calculamos el área a ese

triangulo tenemos que su área vale 1

La función f(x) esta representada por la línea verde que en este caso

forma un triangulo

La función f(x) esta representada por la línea verde que en este caso

forma un triangulo

Distribución NormalTratemos de darle sentido a lo que estamos haciendo

■ Supongamos que estamos midiendo el tiempo de una carrera de 100 metros planos y que consideramos la variable aleatoria el tiempo que demora una persona en recorrerlos.

Sabemos que será una variable aleatoria continua pues el tiempo que demore puede tomar cualquier valor.

Si hablamos de probabilidades tiene poco sentido preguntar que tan probable es que alguien demore 13 segundos, pues difícilmente alguien demorará exactamente esa cantidad, puede que demore 13,1 segundos o 12,8 o 12,99, 12,999, 13,0001 etc.

En está necesidad de tener un resultado más acorde con la realidad es que hablamos de intervalos, si consideramos el intervalo de 12 y 14 segundos la pregunta seria ¿Cuál es la probabilidad de que alguien demoré entre 12 y 14 segundos?

Distribución NormalTratemos de darle sentido a lo que estamos haciendo

■ Continuemos con el ejemplo anterior de los 100 metros planos y las condiciones de función de densidad de probabilidad.

– 풇 풙 ≥ ퟎ para cualquier valor de xEse x indica que para cualquier tiempo que demore una persona en recorrer los 100 metros planos, su probabilidad debe ser positiva. No importa cuanto demore siempre habrá un % de probabilidad positivo a cual asociarlo.

– El área bajo la curva de f en su dominio debe ser igual a 1Si graficáramos los tiempos y su probabilidad nos quedará una figura cerrada y si tendremos que todos esos valores sumados deben ser el 100% pues todos juntos hacen el evento completo.

Distribución Normal: Ejercicio resuelto

■ Para el siguiente grafico de la función 푓(푥) definida entré [−0,5; 1]

a) Determinar si se puede asociar la grafica a una función de densidad de probabilidad

b) Calcular la probabilidad de: 푷 푿 = ퟎ,ퟓ ; 푷 푿 < ퟎ ;푷 ퟎ,ퟓ < 푿 < ퟏ ;푷 푿 > ퟐ ;

■ Determinar si se puede asociar la grafica a una función de densidad de probabilidad.

■ Veamos la primera condición

풇 풙 ≥ ퟎ para cualquier valor de x

Si se cumple pues, entre -0,5 y 1 que es el dominio de la función la curva de f(x) se mantiene mayor o igual que cero, lo vemos en la línea naranja marcando como se mueve la función.

■ Veamos la segunda condición

El área bajo la curva de f en su dominio debe ser igual a 1

Separamos las figuras que se forman bajo f(x) en un triangulo y un rectángulo, ahora debemos sacar el área de ambas figuras y ver si sumadas nos dan 1.

Distribución Normal Ejercicio resuelto

La curva de f(x) se encuentra por sobre el eje x, por esto hablamos de que su valor

es mayor o igual que cero

La curva de f(x) se encuentra por sobre el eje x, por esto hablamos de que su valor

es mayor o igual que cero

■ Primero vemos que el rectángulo tiene un largo de 1,5 y un alto de 0,5. Ahora calculamos su área, basta multiplicar el largo y alto.

퐴 = 1,5 ∙ 0,5 = 0,75

■ Vemos que el triangulo tiene una base de 1 y una altura de 0,5. Para calcular debemos multiplicar la base con la altura y dividirla por 2.

A = ∙ , = 0,25

■ Sumando 퐴 + 퐴 = 1Tenemos que cumplimos las dos condiciones, entonces la grafica si representa una función de densidad de probabilidad, ahora procedemos a calcular los porcentajes.

Distribución NormalEjercicio resuelto

1,5

0,5

1

0,5

■ Calcular la probabilidad de: 푷 푿 = ퟎ,ퟓ ; 푷 푿 < ퟎ ;푷 ퟎ,ퟓ < 푿 < ퟏ ;푷 푿 > ퟐ

■ 푷 푿 = ퟎ,ퟓ = ퟎ, esto lo sabemos pues no se puede calcular valores exactos en la función de densidad de probabilidad.

■ 푷 푿 < ퟎ , vemos en la grafica que para x<0 nos estamos refiriendo al intervalo entre [−0,5; 0]. Basta que calculemos el área de esa figura y tendremos la probabilidad. (un cuadrado de lado 0,5 y un triangulo de base y altura 0,5)

푨ퟏ = ퟎ,ퟓ ∙ ퟎ,ퟓ = ퟎ,ퟐퟓ 푨ퟐ =ퟎ,ퟓ ∙ ퟎ,ퟓ

ퟐ= ퟎ,ퟏퟐퟓ

푷 푿 < ퟎ = ퟎ,ퟑퟕퟓ

Distribución NormalEjercicio resuelto

퐴 + 퐴 = 0,25 + 0,125 = 0,375

■ 푷 ퟎ,ퟓ < 푿 < ퟏ , vemos en la grafica que para 0,5 < 푥 < 1 nos estamos refiriendo al intervalo entre [0,5; 1]. Basta que calculemos el área de ese cuadrado de lado 0,5

푨ퟏ = ퟎ,ퟓ ∙ ퟎ,ퟓ = ퟎ,ퟐퟓ

푷 ퟎ,ퟓ < 푿 < ퟏ = ퟎ,ퟐퟓ

■ 푷 푿 > ퟐ = ퟎ, como la grafica de la función solo esta definida entre [−0,5; 1] no le asociamos el valor de 0 cuando consideramos cualquier X fuera de ese intervalo, en este caso X>2

Distribución NormalEjercicio resuelto

Distribución NormalCrear gráficos a partir de una definición

■ Supongamos que tenemos las siguientes definiciones de funciones, lo primero que necesitamos es traducir el enunciado a un lenguaje que podamos entender.

a) 푓 푥 = 1, 푥 ∈ 0,1

b) 푓 푥 = 푥 − 1, 푥 ∈ 1,3

c) 푓 푥 = −1,푥 ∈ 0,1

La función tendrá valor de 1 para cualquier numero

entre 0 y 1

La función tendrá valor de 1 para cualquier numero

entre 0 y 1

La función resta 1 a los valores de x. Los

valores de x están entre 1 y 3.

La función resta 1 a los valores de x. Los

valores de x están entre 1 y 3.

La función tendrá valor de -1 para

cualquier numero entre 0 y 1

La función tendrá valor de -1 para

cualquier numero entre 0 y 1

Relación entre funciones y gráficos

푓 푥 = −1, 푥 ∈ 0,1

푓 푥 = 1, 푥 ∈ 0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

푓 푥 = 푥 − 1, 푥 ∈ 1,3

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Actividad y Entrega

■ En la siguiente pagina encontrará 3 ejercicios de los contenidos que acabamos de revisar, debe enviar la resolución de estos por correo electrónico a jvalenzuela@emprender.cl se aceptará en cualquier formato (Foto, Word, PDF, etc)

Distribución normalactividad

1. Determinar en cual o cuales de las siguientes funciones (las 3 que vimos anteriormente) se puede asociar una función de densidad de probabilidad, en cuales no y explicar el por que de su respuesta.a) 푓 푥 = 1, 푥 ∈ 0,1b) 푓 푥 = 푥 − 1,푥 ∈ 1,3c) 푓 푥 = −1,푥 ∈ 0,1

2. Mencionar tres ejemplos de variable aleatoria continua y tres de variable aleatoria discreta.

Distribución Normalactividad

3. El siguiente grafico muestra una función densidad de probabilidad f(x) en el intervalo [0, 2], Calcular las siguientes probabilidad.

a) 푷 푿 < ퟎ, ퟖ

b) 푷 푿 = ퟎ. ퟖ

c) 푷 ퟏ.ퟔ < 푿 < ퟐ

d) 푷 푿 < ퟏ. ퟔ

e) 푷 푿 < ퟏ

f) 푷 푿 < ퟐ