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Conf #1
Asignatura: Análisis numérico
Horario y frecuencia: jueves III y viernes II-III Horario de consulta: Viernes 02:20-04:00 pm
Evaluación: 30% laboratorios (9) y 70% tareas (7)
Objetivos Generales:
Adecuar la formulación matemática de un problema para ser tratado numéricamente.
Aplicar algoritmos conocidos a la solución de un problema numérico.
UNIDADES
I Introducción a los métodos numéricos
II Errores.
III Sistemas de ecuaciones lineales
IV Ecuaciones no lineales
V Interpolación y aproximación de funciones
VI Diferenciación e integración numéricas
VII Ecuaciones diferenciales
VIII Optimización
Unidad I: Introducción a los Métodos Numéricos
Objetivos de la Unidad.
A. Conocer algunos conceptos e ideas básicas utilizadas en el análisis numérico.
1.1 Conceptos e ideas básicos: análisis numérico, método numérico, iteración, aproximación local de
una función.
Uso de los métodos numéricos en Ingeniería química
Área Ejemplo de problemas
Balance de materia y energía Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Transferencia de calor Problemas de valores de frontera
Transferencia de masa Problemas de valores de frontera
Diseño de reactores Optimización
Tarea: Investigar aplicaciones (Asignatura y en que problemas) del método numérico en la carrera
Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de
un sistema físico o proceso en términos matemáticos.
Vd = f (vi, p , f )
Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.
Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del
sistema será determinado.
P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.
Ejemplos: Ley de Newton F=ma
Pasos del modelo matemático
Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda
resolver mediante operaciones aritméticas. La descripción completa de las operaciones (aritméticas y
lógicas) utilizadas por un método numérico, se le llama algoritmo.
Iteración o aproximación sucesiva: Es la repetición de un patrón de acción o proceso.
X=F(X), X1=F(X0), X2=F(X1), …
Conf #2
Unidad II: Errores
Objetivos de la Unidad.
a. Conocer las fuentes de error en los métodos numéricos, las diferentes formas de expresar errores y algunos conceptos relacionados con los errores.
Las soluciones numéricas son, en su mayoría, aproximaciones de las soluciones exactas.
Cálculo del valor de la integral por aproximación:
( )
b
a
f x dx
Si utilizamos un número infinito de rectángulos, cada uno con largo y=f(x) para cada valor de x en el
intervalo [a,b] y ancho delta de x, nuestra área no será más una aproximación:
Error= Valor verdadero – Valor aproximado (calculado)
Fuentes de error:
Datos de entrada: Inadecuada mediciones o por truncamiento de los datos.
Redondeo durante el cálculo: se da durante los cálculos intermedios.
a) 42.37834 = 42.38
b) 382.154 = 382.2
c) 545.21 = 545.2
Truncamiento del método empleado: Se da cuando se realizan un número infinito de pasos se detiene
en un número finito de pasos.
Función en serie infinita 2 3 4
1 ...2! 3! 4!
x x x xe x
Una aproximación sería 2 3
12! 3!
x x xe x
Ejercicio Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en
forma polinomial:
Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 –0.15x3-
0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.
n = 0 orden
f(x1 +1) = f(xi) = -0.1x4 –0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2
f(x1 +1) = 1.2
n = 1er orden
f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h
f(x1 +1) =1.2 + (-0.4 x3-0.45x2-x-0.25) (1)
f(x1 +1) =1.- 0.25
f(x1 +1) = 0.95
n= 2do orden
f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2
2!
f(x1 +1) = 1.2-0.25+(-1.2x2-0.90x-1) (1)2
2!
f(x1 +1) = 0.95 –0.5
f(x1 +1) = 0.45
n = 3er orden
f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”’(xi)h3
2! 3!
f(x1 +1) = 0.45+ ( -2.4x-0.90 ) (1)3
6
f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”’(xi)h3 + .....fn(xi)hn 2! 3! n!
h(x1 +1- xi)
f(x1 +1) = .45 – 0.15
f(x1 +1) = 0.3
n = 4to orden
f(x1 +1) = 0.3 + f4 (xi) h4
4!
f(x1 +1) = 0.3 + (-2.4) (1)4
24
f(x1 +1) = 0.2
Ubicación de las fuentes de error en un proceso numérico
Tipos de errores:
Error absoluto: Es igual a la diferencia entre el valor verdadero (Vv) y el valor aproximado (Vc):
Ea Vv Vc
Error Relativo: Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:
Vv VcEaEr
Vv Vv
actual- previa
actual
Aprox AproxEr
Aprox Cuando no se conoce la respuesta verdadera
Error Relativo Porcentual: 100Ea
Er xVv
Ejemplo
Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08
x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:
EA = [0.10 x 102 – 0.08 x 102]= 2 = 0.2 x 101
ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%
0.10 x 102
Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una
magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.
40072 ( 5 c.s. )
3.001 ( 4 c.s. )
0.000203 ( 3. c.s. )
Ejercicio: Redondear a 4 cifras significativas:
42.37834 = 42.38
382.154 = 382.2
545.21 = 545.2
Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero.
Precisión.- Se refiere a
que tan cercano esta un
valor individual medido
o calculado con respecto
a los otros.
Conf #3
Unidad III: Sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos de la Unidad.
a. Aplicar métodos directos e iterativos a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, calcular el error en la solución y explicar las ventajas y desventajas del uso de estos métodos.
Para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales
a11 x1 + a12 x2 + **** a1n xn = b1 E1
a12 x2 + a21 x2 + **** a2n xn = b2 E2
*
am1 x1 + am2 x2 + **** ann xn = bn En
En forma matricial Ax=b. La matriz aumentada A es :
a11 a12 ***** a1n X1 b1
A = a21 a22 ***** a2n X2 = b2
a31 a32 ***** a3n xn bn
La solución se da cuando det (A) es diferente a cero. Es un sistema no singular. Si es igual a cero, el
sistema tiene infinitas soluciones.
La solución es: X=A-1b
Métodos directos
Se da cuando después de cierto número finito de pasos da la solución del problema.
A. Eliminación Gaussiana
Es el método de mayor uso para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Se aplica cuando el
sistema es no homogéneo (Al menos uno de los términos independientes tiene que ser diferente de cero).
Si el sistema es homogéneo, brinda una respuesta trivial (igual a cero).
Procedimiento:
Transformar una matriz A en un sistema triangular superior: eliminación hacia adelante. El procedimiento
para encontrar la solución: sustitución hacia atrás.
Ejercicios
Reducir el sistema de ecuaciones:
X1 +X2 +X3 +3X4 = 4
2 X1 +X2 -X3 +X4 = 1
3X1 -X2 -X3 +2X4 = -3
-X1 +2X2 +3X3 -X4 = 4
Use la eliminación de Gauss para resolver:
Efectuando los cálculos con 6 cifras significativas
Conf #4
Tema: Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial
Cuando algunos elementos de la diagonal principal se hacen cero durante el proceso de eliminación hacia
adelante, es necesario aplicar la técnica llamada PIVOTEO: Consiste intercambiar las filas en la matriz
ampliada Ab. Tienen la siguiente ventaja:
Evita que los elementos de la diagonal principal sean ceros.
Disminuye el error de redondeo. Aplicando que el coeficiente de la diagonal principal tenga la
mayor magnitud en valor absoluto que los coeficientes por debajo de él.
El intercambio de filas se realiza entre la fila de referencia y alguna de las filas que están por debajo de
ella.
Resolver
2 3
1 2 3
1 2 3
10x +x =2
x +3x -x =6
2x +4x +x =5
0 10 1 2
1 3 -1 6
2 4 1 5
2 4 1 5 f2-1/2 f1
1 3 -1 6
0 10 1 2
2 4 1 5
0 1 -3/2 7/2
0 10 1 2
2 4 1 5
0 10 1 2 f3-1/10f2
0 1 -3/2 7/2
2 4 1 5
0 10 1 2
0 0 -8/5 33/10
Resolver
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x + x +x =1
x +x +2x =2
x +2x +2x =1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1.334E-4x + 4.123E+1x +7.912E+2x -1.544E+3x =-711.5698662
1.777x +2.367E-5x +2.070E+1x -9.035E+1x =-67.87297633
9.188x -1.015E+1x +1.988E-4x =-0.961801200
1.002E+2x +1.442E+2x -7014E+2x +5.321x =13824.12100
Resolver sin y con pivoteo:
4 9
3 2 6 2
5 3 1
x y z
x y z
x y z
Conf #5
Tema: Factorización LU y factorización PLU
Se aplica cuando se tiene un sistema de ecuaciones que tiene los mismos coeficientes pero diferentes
términos independientes.
Factorización LU se aplica cuando en el proceso de eliminación hacia adelante no se aplicó
PIVOTEO.
Factorización PLU se aplica cuando en el proceso de eliminación hacia adelante se aplicó PIVOTEO.
Algoritmo para factorización LU
Aplicar el procedimiento de eliminación hacia adelante sólo a la matriz A.
Resolver los sistemas de ecuaciones
Ly=b
Ux=y
Matriz L se forma con igual número de filas y columnas que la matriz A
21
31 32
1 0 0
1 0 Multiplicadores del proceso de eliminación hacia adelante
1
ijL I I
I I
Matriz U es la matriz A que queda después de aplicarle la eliminación hacia adelante
11 12 13
22 23
33
0
0 0
u u u
U u u
u
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
1 1
2 2
3 3
7 2 3 12 10
2 5 3 ; b= 20 y b= 20
1 1 6 26 16
x b
x b
x b
7 2 -3 A 2 5 -3 f2-0.28571f1 1 -1 -6 f3-0.14286f1 7 2 -3
0.0000 4.4286 -2.1429 0.0000 -1.2857 -5.5714 f3-0.29032f2
7 2 -3 0.0000 4.4286 -2.1429 0.0000 0.0000 -6.1935 1 0 0 L -0.2587 1 0 0.1429 -0.2903 1
Ly=b 1
2
3
1 0 0
0.2587 1 0
0.142
12
20
9 0.290 1 23 6
y
y
y
1
2
3
12
16.571
29.097
y
y
y
Ux=y
1 1
2 2
3 3
12 0.71870
16.571 1.4686
29.097 4.967
7 2 3
0.0000 4.4286 2.1429
0.0000 0.0000 6 9.1935
x x
x x
x x
Para
10
20
16
b
Ly=b 1 1
2 2
3 3
10 10
20
1 0 0
0.2 17.143
16 19.
587 1
54
0
0.1429 0.2903 1 8
y y
y y
y y
Ux=y 1 1
2 2
3 3
10 0.59374
17.143 2.3438
19.548 3.156
7 2 3
0.0000 4.4286 2.1429
0.0000 0.0000 6 2.1935
x x
x x
x x
Cuando se aplica pivoteo durante el proceso de eliminación hacia adelante, la matriz A se factoriza en
A=PLU
Algoritmo para factorización PLU
Aplicar el procedimiento de eliminación hacia adelante sólo a la matriz A.
Resolver los sistemas de ecuaciones
Pz=b
Ly=z
Ux=y
Matriz L se forma como el proceso de descomposición LU, colocando los multiplicadores según el
orden en que quedaron las filas después de aplicar el pivoteo.
Matriz U es la matriz A que queda después de la eliminación hacia adelante.
Matriz P es la matriz permutación, se forma intercambiando las filas de la matriz identidad en la
misma forma que se intercambiaron las filas de la matriz A durante la eliminación hacia adelante.
Resolver el sistema de ecuaciones
1 1
2 2
3 3
2 5 1 12 16
1 3 1 ; b= 8 y b= 2
3 4 2 16 5
x b
x b
x b
3 -4 2 A -1 3 -1 f2+0.33333f1 2 -5 1 f3-0.66667f1 3 -4 2
0.0000 1.6667 -0.3333 0.0000 -2.3333 -0.3333 3 -4 2 0.0000 -2.3333 -0.3333 0.0000 1.6667 -0.3333 3 -4 2 0.0000 -2.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.5714 f3-0.71431f2
1 0 0 L 0.6667 1 0 -0.3333 -0.71431 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 se intercambio f2 y f3 0 0 1
0 0 1 0 1 0
P
Pz=b 1
2
3
1 0 0 16 16
0 0 1 8 12
0 1 0 12 8
z
z z
z
Ly=z 1 1
2 2
3 3
16 16
12
1 0 0
0.66 1.3333
8
67
1.7143
1 0
0.3333 0.71431 1
y y
y y
y y
Ux=y 1 1
2 2
3 3
3 4 2
0.0000 2.3333 0.3333
0.0000 0.0000 0.5714
16 2
1.3333 1
1.7143 3
x x
x x
x x
Para
16
b= 2
5
Pz=b 1
2
3
1 0 0 16 16
0 0 1 2 5
0 1 0 5 2
z
z z
z
Ly=z 1 1
2 2
3 3
16 16
12
1 0 0
0.66 1.3333
8
67
1.7143
1 0
0.3333 0.71431 1
y y
y y
y y
Ux=y 1 1
2 2
3 3
16 13.5
5.6667 3.2501
3.2856
3 4 2
0.0000 2.3333 0.3333
0.0000 0.0000 0.5714 5.7499
x x
x x
x x
Análisis del error
Los errores de redondeo introducidos en los cálculos, generalmente ocasiona que la solución calculada
x*, difiera de la solución exacta.
Error, e=x-x*; x: Valor verdadero, x*: Valor aproximado (calculado)
Residuo, r=b-Ax*
Mientras más grande es la cantidad de dígitos que se usan en los cálculos, más exacta es la solución.
Número de condición
La norma de un vector o matriz es un valor que da una idea del tamaño general de los elementos del vetor
o matriz, y que se representa por .
Norma p:
1/
1
; 1 pi
pn
p
pi
x x
La norma p más utilizada, son las normas con p=1 y p=00
Norma 1 p=1
Para una matriz A, es la suma en valor absoluto de todos los elementos en la matriz.
1 1
n n
ij
i j
A a
Normas máximas p=oo
Para una matriz A, es igual al mayor valor que resulte al sumar en valor absoluto los elementos en cada
fila en la matriz.
1
; 1 in
ij
j
A máx a n
Número de condición de una matriz
Los sistemas mal o bien condicionados, son los sistemas sensibles o no a los cambios en sus coeficientes,
siendo la medida de su sensibilidad un valor denominado número de condición y la sensibilidad es la
variación de la solución del sistema por cambios en sus coeficientes.
Número de condición, 1( ) *Con A A A
,
Con(A), es mayor que 1, se considera un sistema mal condicionado.
Con(A), es menor que 1, se considera un sistema bien condicionado.
Ejemplo
a) Entre otros objetos se transportaron refrigeradoras y cocinas en un container. Cada cocina pesa
una tonelada y cada refrigeradora dos toneladas, por otro lado una cocina ocupa un espacio de
1.05 m3 y cada refrigeradora 2 m3. En total entre cocinas y refrigeradoras se registró un peso de
10 toneladas y ocuparon un espacio juntas de 10.4 m3. Se desea conocer cuántas cocinas y
refrigeradoras se transportó en el container.
a. Plantear y resolver este problema como el de un sistema de ecuaciones, usar aritmética de
4 dígitos.
b. El encargado de transporte se equivocó y en realidad cada cocina ocupa un espacio de 1.1
m3. Encuentre nuevamente la solución.
c. El sistema de ecuaciones usado, ¿es bien o mal condicionado?
a. 1 2 10
1.05 2 10.4
x
y
1 2 10 -1.05 1.05 2 10.4 1 2 10 -10 0 -0.1 -0.1 1 2 10
0 1 1.00
-2
1 0 8.00
0 1 1.00
b. 1 2 10
1.1 2 10.4
x
y
1 2 10 -1.1 1.1 2 10.4
1 2 10 -20 0 -0.2 -0.6
1 2 10
0 4 12.00 0.25
1 2 10 0 1 3 -2
1 0 4
0 1 3
c.
Calculando A-1
1 2 1 0 1.05 2 0 1 -1.05
1 2 1 0 0 -0.1 -1.05 1 -10
1 2 1 0 0 1 10.5 -10 -2
1 0 -20 20 0 1 10.5 -10
120 20
10.5 10A
1( ) *Con A A A
El sistema se encuentra mal condicionado
1
1
(1 2 , 1.05 2 ) (3,3.05) 3.05
( 20 20 , 10.5 10 ) (40,20.5) 40
( ) * 3.05*40 122
A máx
A máx
Con A A A
Conf #6
Tema: Métodos iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel.
Los métodos iterativos se utilizan cuando:
Se tienen grandes sistemas de ecuaciones dispersos (muchos ceros en la matriz A).
Cuando se desea ahorrar tiempo en la solución y reducir los errores de redondeo (Algo común en
los métodos directos).
La matriz A es diagonalmente dominante: Todos los elementos de la diagonal principal, son iguales
o mayores en valor absoluto, que la suma en valor absoluto de los demás elementos que están en
la fila.
Debido al uso de los programas computacionales (Matlab, Mathematica, Maple, etc.), el estudio de los
métodos iterativos es de interés teórico matemático.
A. Algoritmo Método de Jacobi
1. Arreglar el sistema de ecuaciones de manera que la matriz A tienda o se haga diagonalmente
dominante.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
2. Despejar el término a11x1 de la ecuación 1, a22x2 de la ecuación 2, …, annxn de la ecuación n:
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 21 1 2 2
1 1 2 2 1 1
...
... a
.
...
n n
n n
nn n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x x b
a x a x a x a x b
3. Expresar el sistema anterior en la forma matricial Dx[k+1]=Rx[k]+b
[ 1] [ ]
11 1 12 1 1 1
22 2 21 2 2 2
1 2 1
0 ... 0 0 ...
0 ... 0 0 ...
. . . . .
0 0 ... ...
k k
n
n
nn n n n nn n n
a x a a x b
a x a a x b
a x a a a x b
4. Sustituir la aproximación inicial x[0], en x[k] y efectuar la operación R x[k]+b, luego despejar el valor
x[k+1]
5. El valor de x[k+1] obtenido se sustituye en x[k], y nuevamente se efectúa el producto R x[k]+b y se
despeja despejar el valor x[k+1]
6. El paso 5 se repite has que [ ] [ ]1k kx x , es decir, la norma de la diferencia de los valores
obtenidos en el vector x en dos iteraciones sucesivas, es menor o igual que el error establecido
Ejemplo
1 2 3
1 2 4
1 3 4
2 3 4
4 1
4 2
4 0
4 1
x x x
x x x
x x x
x x x
Ordenando (se observa la matriz es diagonalmente dominante)
1
2
3
4
4 1 1 0 1
1 4 0 1 2
1 0 4 1 0
0 1 1 4 1
x
x
x
x
Despejando los elementos de la diagonal principal para formar Dx[k+1]=Rx[k]+b
[k 1] [ ]
1 1
2 2
3 3
4 4
4 0 0 0 0 1 1 0 1
0 4 0 0 1 0 0 1 2
0 0 4 0 1 0 0 1 0
0 0 0 4 0 1 1 0 1
kx x
x x
x x
x x
Iteramos Para x[0]
[1] [0]
1
2
3
4
4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
0 4 0 0 1 0 0 1 0 2 0 2 2
0 0 4 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 4 0 1 1 0 0 1 0 1 1
x
x
x
x
[1]
0.25
0.5
0
0.25
x
Para x[1]
[2] [1]
1
2
3
4
[2]
4 0 0 0 0 1 1 0 0.25 1 0.5 1 1.5
0 4 0 0 1 0 0 1 0.5 2 0.5 2 2.5
0 0 4 0 1 0 0 1 0 0 0.5 0 0.5
0 0 0 4 0 1 1 0 0.25 1 0.5 1 1.5
0.37
x
x
x
x
x
5
0.625
0.125
0.375
Definiendo un 61 10x , se tiene para [ ] [ ]1k kx x
[k 1] [k] [2] [1]
0.375 0.25 0.125
0.625 0.5 0.12
0.125 0 0.125
0.375 0.25 0.125
x x x x
1[ ] [ ] 0.125 0.125 0.125 0.125 0.5k kx x
Si continuamos iterando:
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4
4 1
4 1
4 1
4 1
x x
x x x
x x x
x x
B. Algoritmo del método Gauss-Seidel
1. Arreglar el sistema de ecuaciones de manera que la matriz A tienda o sea diagonalmente dominante.
2. Despejar el término a11x1 de la ecuación 1, a11x1+a22x2 de la ecuación 2, an1x1+an2x2+…+annxn de la
ecuación n
11 1 12 2 13 3 1 1
21 2 22 1 23 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
...
... a
.
...
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x x b
a x a x a x a x b
3. Expresar el sistema anterior en la forma matricial Lx[k+1]=Ux[k]+b
[ 1] [ ]
11 1 1 112 1
21 22 2 2 22
1 2
0 ... 0 0 ...
... 0 0 0 ...
. . . ..
... 0 0 ... 0
k k
n
n
n n nn n n n
a x x ba a
a a x x ba
a a a x x b
4. Sustituir la aproximación inicial x[0] en x[k] y efectuar la operación Ux[k]+b, luego despejar el valor
de x[k+1]
5. El valor de x[k+1] obtenido se sustituye en x[k] y nuevamente se efectúa el producto Ux[k]+b, y
nuevamente despejar el valor de x[k+1]
6. El paso 5 se repite has que [ ] [ ]1k kx x , es decir, la norma de la diferencia de los valores
obtenidos en el vector x en dos iteraciones sucesivas, es menor o igual que el error establecido
Ejemplo
1
2
3
4
4 1 1 0 1
1 4 0 1 2
1 0 4 1 0
0 1 1 4 1
x
x
x
x
[k 1] [ ]
1 1
2 2
3 3
4 4
4 0 0 0 0 1 1 0 1
1 4 0 0 0 0 0 1 2
1 0 4 0 0 0 0 1 0
0 1 1 4 0 0 0 0 1
kx x
x x
x x
x x
Para x[0]
[1] [0]
1
2
3
4
4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1 4 0 0 0 0 0 1 0 2 0 2 2
1 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1
x
x
x
x
[1]
0.25
0.5625
0.0625
0.40625
x
X[1]
[2] [1]
1
2
3
4
4 0 0 0 0 1 1 0 0.25 1 0.625 1 1.625
1 4 0 0 0 0 0 1 0.5625 2 0.40625 2 2.406
1 0 4 0 0 0 0 1 0.0625 0 0.40625 0
0 1 1 4 0 0 0 0 0.40625 1 0 1
x
x
x
x
25
0.40625
1
[2]
0.40625
0.70312
0.20312
0.47656
x
Definiendo un 61 10x , se tiene para [ ] [ ]1k kx x
[k 1] [k] [2] [1]
0.40625 0.25 0.15625
0.70312 0.5625 0.14062
0.20312 0.0625 0.14062
0.47656 0.40625 0.07031
x x x x
[ ] [1]2 0.15625 0.14062 0.14062 0.07031 0.5078x x
Si continuamos iterando
Resolver:
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4
4 1
4 1
4 1
4 1
x x
x x x
x x x
x x
C. Convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.
Siempre que la matriz A sea diagonalmente dominante, los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen.
Si la matriz A no cumple dicha condición, se aplican los siguientes criterios de convergencia:
Jacobi: 1B
Gauss-Seidel:
1 i n
1
1
1
max1
0;
la matriz B: B=;
i
i
n
i i j
j i
i
i i j
i
ij
ij
ii
rB
S
r b
S b
b i j
donde ai j
a
Determinar si los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergirán para el siguiente sistema de ecuaciones:
1
2
3
2 5 1 12
1 3 1 8
3 4 2 16
x
x
x
: La matriz A no es diagonalmente dominante.
Matriz B
0 5 / 2 1/ 2
1/ 3 0 1/ 3
3 / 2 4 / 2 0
ri
Si
max 0 2.5 0.5 ; 1/ 3 1/ 3 ; 1.5 2 0 max(3;0.666;3.5) 3.5B o ;
1B no se cumple para método Jacobi, por lo que se desconoce si convergirá.
i ri Si ri/(1-Si)
1 3(2.5+0.5) O 3
2 0.333 0.333 0.4999
3 0 3.5 0
1max max(3;0.4999 : 0) 3
1
i
i ni
r
S
1 i nmax
1
i
i
rB
S
; no cumple, por lo que se desconoce si el método Gauss-Seidel convergirá.
Conf #7
Tema: Sistemas lineales sobredeterminados.
Un sistema de ecuaciones es sobredeterminado cuando se tienen mayor número de ecuaciones que de
incógnitas.
Ax=b; A es una matriz mxn, con m>n y b con un vector de mx1. El problema consiste en encontrar un
vector Xnx1, tal que Ax es la mejor aproximación a b.
Su solución sería encontrar: ATAx=ATb; donde AT es la matriz transpuesta de A.
El nitrógeno y el oxígeno tienen pesos atómicos aproximados de 14 y 16, respectivamente. Utilizar los
siguientes pesos moleculares de seis óxidos de nitrógeno para calcular los pesos atómicos más
aproximados:
Compuesto NO N2O NO2 N2O3 N2O5 N2O4
Peso molecular
30.006 44.013 46.006 76.012 108.010 92.011
N+O=30.006
2N+0=44.013
N+2O=46.006
2N+3O=76.012
2N+5O=108.010
2N+4O=92.011
ATAx=ATb :
1 1 30.006
2 1 44.013
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 46.006
1 1 2 3 5 4 2 3 1 1 2 3 5 4 76.012
2 5 108.010
2 4 92.011
N
O
18 29 716.104
29 56 1302.161
N
O
entonces
14.007
15.999
N
O
1 1 30.006
2 1 44.013
1 2 46.006
2 3 76.012
2 5 108.010
2 4 92.011
N
O
Valores propios
Una matriz simétrica positiva definida, es una matriz simétrica (A=AT, para matrices cuadradas) )que tiene
todos los elementos pivotes positivos, o bien, posee todos los valores propios positivos.
Ax=b, pero si “x” es un múltiplo de Ax, se tiene Ax x . El valor , se conoce como valor propio. Si x satisface
la ecuación Ax x , entonces se le conoce como vector propio.
Sea “I” la matriz identidad y se multiplica a Ax x , se tienen:
es la matriz identidad
(A- ) se hace singular (detA=0)( ) det(A ) 0
Los valores son valores propios
( ) Función característica
I
If I
f
Identifique si la matriz es simétrica positiva definida
2 1
1 2A
Se observa que es una matriz simétrica
2 2
1 2
2 1 1 0 2 1
1 2 0 1 1 2
2 1det( ) det (2 ) 1 4 3 0
1 2
1; 3
A I
A I
Como los valores son positivos y la matriz A es simétrica, por lo que A es simétrica positiva definida.