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9.5. FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE LHPITAL
La regla
l{mx!a
f(x)g(x) =
l{mx!a f(x)l{mx!a g(x)
se aplica cuando los lmites existen y l{mx!a g (x) 6= 0.
Si l{mx!a f (x) = 0 yl{mx!a g (x) = 0 tenemos una forma
indeterminada del tipo
00 .
Si l{mx!a f (x) = 1 y l{mx!a g (x) = 1 , tenemos una forma
indeterminadadel tipo 11 .
Il{mx!0sin xx que es una indeterminacin del tipo
00
l{mx!1
x2+1x2+x+1 que es una indeterminacin del tipo
11
La regla de LHpital en sus diferentes formas es una herramienta
que per-mite eliminar esos tipos de indeterminaciones y algunos
otros, haciendo uso dela derivada.
Teorema. Regla de LHpital. Primera forma. Sean f y g
funcionesdiferenciables en un intervalo abierto que contiene a a,
excepto eventualmenteen a. Si g0 (x) 6= 0 en ese intervalo y
l{mx!a f (x) =
l{mx!a g (x) = 0 entonces
l{mx!a
f(x)g(x) =
l{mx!a
f 0(x)g0(x)
siempre que l{mx!af 0(x)g0(x) exista.
EJEMPLOS
1. l{mx!0e2x1x =
l{mx!0
2e2x
1 = 2
2. l{mx!0sin xtan x
x2 es una indeterminacin del tipo00
l{mx!0
sin xtan xx2 =
l{mx!0
cos xsec2 x2x
tambin en este caso se presenta una indeterminacin del tipo 00 .
Aplicandode nuevo la regla de LHpital tenemos
1
-
l{mx!0
sin xtan xx2 =
l{mx!0
sin x2 sec2 x tan x2 = 0
3. l{mx!3ln(4x)3x es una indeterminacin del tipo
00
l{mx!3
ln(4x)3x =
l{mx!3
14x1 =
l{mx!3
14x = 1
Teorema. Regla de LHpital. Segunda forma. Sean f y g
funcionesdiferenciables en un intervalo abierto que contiene a a,
excepto eventualmenteen a.Si l{mx!af (x) = 1 y l{mx!ag (x) = 1
entonces
l{mx!a
f(x)g(x) =
l{mx!a
f 0(x)g0(x)
El teorema tambin es vlido si x! 1
EJEMPLOS
1. l{mx!0+ln(ex1)ln x2 presenta indeterminacin de tipo
11 .
Ese lmite es igual a
l{mx!0+
ex
ex12xx2
= l{mx!0+xex
2(ex1)
Aqu se presenta una indeterminacin de tipo 00 . De acuerdo con
la primeraforma de la regla de LHpital, este lmite es igual a
l{mx!0+
ex+xex
2ex =l{mx!0+
ex(1+x)2ex =
l{mx!0+
1+x2 =
12
2. l{mx!2
sec xtan x presenta ideterminacin de tipo
11
l{m
x!2sec xtan x =
l{m
x!2sec x tan xsec2 x =
l{m
x!2tan xsec x
aqu tenemos una indeterminacin del mismo tipo del lmite inicial
y unanueva aplicacin de la regla de LHpital nos devuelve a este.
Observemos que
sec xtan x =
1cos xsin xcos x
= 1sin x entoncesl{m
x!2sec xtan x =
l{m
x!21
sin x = 1
2
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Al calcular lmites pueden presentarse otros tipos de
indeterminaciones quepueden se eliminadas llevandolas a la forma 00
o
11 . Una vez ms ilustramos
a travs de ejemplos.
1. Tipo 0 1 o 0 (1)
a. l{mx!2
x 2
secx presenta indeterminacin del tipo 0 1
l{m
x!2
x 2
secx = l{m
x!2x2cos x presenta una indeterminacin de tipo
00
l{m
x!2x2cos x =
l{m
x!21
sin x = 1
b. l{mx!0+ x2 lnx presenta un indeterminacin de tipo 0 (1)
l{mx!0+ x
2 lnx = l{mx!0+ln x1x2presenta un indeterminacin de tipo 11
l{mx!0+
ln x1x2= l{mx!0+
1x2x3
=l{mx!0+ x2
2 = 0
2. Tipo 11
l{mx!0+
1x 1sin x
=l{mx!0+
sin xxx sin x presenta un indeterminacin de tipo
00
l{mx!0+
sin xxx sin x =
l{mx!0+
cos xsin x+x cos x =
l{mx!0+
sin x2 cos xx sin x =
02 = 0
3. Tipo 11; 00;10; 01. Como en los casos anteriores, si un lmite
presentauna indeterminacin de alguno de estos tipos se lleva a una
forma que presenteindeterminacin de tipo 00 o
11 . Para ello se aplica logaritmo natural.
a. Para calcular l{mx!0+ xx, sea y = xx. Entonces ln y = x
lnx
l{mx!0+ ln y =
l{mx!0+ x lnx presenta un indeterminacin de tipo 0 (1)
l{mx!0+x lnx =
l{mx!0+
ln x1x
=l{mx!0+1x1x2
=l{mx!0+ x = 0
As l{mx!0+ ln y = 0
3
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Aplicando la funcin exponencial natural y dada su continuidad,
tenemos:
l{mx!0+ y =
l{mx!0+ e
ln y = el{mx!0+ ln y = e0 = 1 as l{mx!0+x
x = 1
b. l{mx!0+ (ex + x)
1x indeterminacin del tipo 11
Si y = (ex + x)1x entonces ln y = 1x ln (e
x + x) y
l{mx!0+ ln y =
l{mx!0+
ln(ex+x)x presenta un indeterminacin de tipo
00
l{mx!0+
ln(ex+x)x =
l{mx!0+
ex+1ex+x
1 =l{mx!0+
ex+1ex+x = 2
Como l{mx!0+y =l{mx!0+ e
ln y = el{mx!0+ ln y entonces l{mx!0+ (e
x + x)1x = e2
4
