Clase de Ley de Gauss

7/27/2019 Clase de Ley de Gauss

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2.9 LEY DE GAUSS

2.9.1 Flujo Eléctrico

Campo eléctrico E uniforme, penetrando una superficie rectangular plana de área A

El total de lineas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA

E EA Flujo eléctrico E ⇒[ N.m

2

C ]

El flujo eléctrico es proporcional al numero de las lineas de campo eléctrico que penetran en una

superficie.

E EAcos

E E.A Producto escalar.

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1



a le! de "auss trata del flujo neto a tra#és de una superficie cerrada.

E ⇒ flujo sale de la superficie

E ⇒− flujo entra en la superficie

a direcci$n de A es normal %acia afuera.

ET ∑ E.dA

&ue pasar'a si(

E ≠Uniforme !

A≠Superficies planas

)i#idir la superficie en elementos infinitesimales * planas

E ∫ E.dA

2.9.2 El flujo del c!"o el#c$%&co ' E (

E +no uniforme ! -uperficie asimétrica




En + inea de fuer/a entra a la superficie

90o , E ⇒−negativo

En +2

=90

o

, E =0

En +1 inea de fuer/a sale de la superficie

90o , E ⇒ positivo

E ∮ E . dA Flujo eléctrico a tra#és de una superficie de "auss.

El flujo eléctrico E que pasa por una superficie de "auss es proporcional al numero neto de lineas

de campo eléctrico que pasan por esa superficie.

Cuál es el flujo eléctrico E del campo eléctrico que pasa por la superficie cerrada

E =∮ E . dA

E =∫a

E . dA∫b

E . dA∫c

E . dA

E =∫ E cos130o. dA∫ E cos90

o. dA∫ E cos0

o. dA

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO )



E =− E ∫dA0 E ∫dA

E =− EA0 EA

E *

2.9.) Le+ de Guss

4elaci$n entre el flujo neto del campo eléctrico a tra#és de una superficie cerrada +%ipotética, llamada

superficie "aussiana ! la carga neta qencerrada. Encerrada por la superficie.

Esta relaci$n, conocida como la le! de "auss, es de importancia fundamental en el estudio de los

campos eléctricos.

E =∮ E . dA

E = 1

50

qenc

r 2 ∮ dA

E = 1

50

qenc

r 2

Aarea de la superficie encerrada

E = 150

qenc

r 2 5 r 2

* E qenc 'Le+ de Guss(

*∮ E. dA qenc 'Le+ de Guss(

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO ,



-i qenc=0 E =0

qenc=qenc1qenc2............qencn positivas negativas

-uperficie A( qenc! E .

-uperficie 6( qenc−! E −.

-uperficie )( q enc=0 ! E =0

-uperficie C( qenc=q−q=0 ! E =0

CA4AC7E48-78CA-(

1. a cur#a fuera de la superficie, sin importar su magnitud o que tan cerca pudiera estar, no esta

incluida en el termino qenc .

2. a forma o uicaci$n e:actas de las cargas dentro de la superficie de "auss tampoco es de

importancia.

. o ;nico que importa, son la magnitud de la carga neta encerrada + qenc

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO -



2.9., Le+ de Guss + Le+ de Coulo!

0∮ E. dA=qenc

0

E

∮dA=q

0 EA=q

0 E 5 r 2=q

E =1

5 0

q

r 2

" = E q0

F 1

, *

q

r 2∗q* L le+ de Guss es e/u&0le$e l le+ de Coulo!

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO



2.9.- U coduc$o% c%3do &sldo

a le! de "auss nos permite proar un teorema importante acerca de los conductores aislados(

<=na carga en e:ceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie e:terior del

conductor. >inguna de las cargas en e:ceso se encuentra en el interior del cuerpo del conductor?

E =∮ E . dA

E = ∫tapaafuera

E . dA ∫tapaadentro

E . dA ∫envoltura

E . dA

E = EA00

E = EA

0 E =qenc

0 E A= A

E *

El campo eléctrico cerca de un conductor es el dole del campo que esperamos si considerásemos que

el conductor es una lamina de carga.




2.9. A"l&cc&oes de l le+ de Guss

L&e &f&&$ de c%3 's&!e$%5 c&l5d%&c(

-imetr'a radial +uso de un cilindro

E en el costado

0∮ E. dA=qenc

0 E ∮ dA=qenc

0 E A= l

0 E 2 r l = l

E

2 r *R6

>ota( Estamos en liertad de elegir cualquier superficie cerrada, como un cuo o una esfera, etc.




L!& &f&&$ c%3d 's&!e$%5 "l(

E solo en las dos tapas

0∮ E. dA=qenc

02 E A= A

E

2 *

Csc%o esf#%&co c%3do 's&!e$%5 esf#%&c(

7eoremas del cascaron(

1. =n cascaron esférico uniforme cargado se comporta, en los puntos e:ternos, como si toda la

carga estu#iese concentrada en su centro.

2. =n cascaron esférico uniforme cargado no ejerce ninguna fuer/a electrostática sore una

part'cula cargada situada dentro del cascaron.


@

@

@@ @

@

@

@@

@@

@4 r

r

-uperficies"aussianas

-1

-2

-ecci$n trans#ersal cascaronesférico



)etermine el E

a Fuera del cascaron

)entro del cascaron

a r 4, -uperficie -1 0∮ E. dA=qenc

0 EA=q

0 E 5 r 2=q

E 1, *qr

2 +cascaron esférico, r 4

-e comporta como una carga puntual en todos los puntos afuera del cascaron.

r B 4, -uperficie -2

0∮ E. dA=qenc

E * +cascaron esférico, r B 4

Esfe% S8l&d c%3d 'S&!e$%5 esf#%&c(

=na carga q se encuentra distriuida uniformemente por toda una esfera no conductora de radio #

)etermine el campo eléctrico(

a Fuera de la esfera

En el interior de la esfera.

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1*

4

r

r

-uperficies

"aussianas



a r 4

0∮ E. dA=qenc

0 EA=q

0 E 5 r 2=q

E 1

, *

q

r 2

r B 4

0

∮ E. dA=q

enc

0 EA=q$

0 E 5 r 2=q

$

E =1

5 0

q$

r 2

4elaci$n entre q ! q$

= q

% ! $ =

q$

% $ pero

$ = entonces

q$

% $ = q

%




q$ =q

% $

% , q

$ =q5

r

5

#

q$ =q

r

#

-ustitu!endo q$

E =1

5 0

q$

r 2

E = 1

5 0

qr / #

r 2

E =1

5 0

qr

r 2 #

simplificando

E 1

, *

qr

R) +Esfera uniforme, r B 4




Ejemplo D1( El campo eléctrico E 1 en una cara de un paralelep'pedo es uniforme en toda la cara ! su

direcci$n es %acia afuera de la cara. En la cara opuesta, el campo eléctrico E 2 tamién es uniforme

en toda la cara ! se dirige %acia esa cara +#er figura. as dos caras en cuesti$n están inclinadas

formando un angulo de 0o con respecto a la %ori/ontal, en tanto que E 1 ! E 2 son amos

%ori/ontales la magnitud de E 1 es de 2.0:105 >C, ! la de E

2 de G.00:105 >C. a -uponiendo

que no %a! mas lineas de campo eléctrico que crucen las superficies del paralelep'pedo, determine la

carga neta contenida en su interior. -e dee el campo eléctrico solo a las cargas en el e:terior del

paralelep'pedo Como se podr'a saer

Encontrando los flujos eléctricos en las caras(

1= E.A

1= E

1 Acos

1=2.0:105 N /C 0.0m0.0Hm cosH0

0

1=G.E N.m2/C

2= E 2 Acos

2=G.00I105 N /C 0.0Em 0.0Hm cos120

0

2=−10 N.m2/C

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1)



El flujo total es(

& =1

2

& =G.E−10E N.m2/C

& =−HG. N.m2/C

Aplicando "auss

0 E =qenc

qenc=3.3 '1(−12

C 2/ N.m

2−HG. N.m

2/C

qenc −-.941*−1*

C R6

7anto a las cargas e:terior como tamién en el interior. R6

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1,



Ejemplo D2( En la figura, una pequeJa esfera no conductora de masa m K 1.0 mg ! carga q K 2.0 :10L3

C +distriuida con uniformidad en su #olumen pende de un %ilo aislante que forma un angulo M K 0 o

con una %oja #ertical no conductora con carga uniforme +que se ilustra en secci$n trans#ersal .

considere que sore la esfera act;a la fuer/a gra#itacional ! suponga que la %oja se e:tiende una gran

distancia #ertical, entrando ! saliendo de la pagina ! calcule la densidad de carga superficial

de la%oja.

4eali/ando una simetr'a plana sore la esfera no conductora(

Aplicando la le! de "auss +simetr'a plana

0

∮ E. dA=q

enc

0 EA EA= A

2 0 E A= A

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1-

@

@@

@@@

@

@@

0o

N K

E

dAdA

E

-uperficie"aussiana

@

@@

@

@@

@

@@

0o

N K



E =

2 0

).C..

∑ " '=0 ∑ " =0

" −&sen)(o=0 &cos)(

o−mg =0

& =mg

cos)(o

" =&sen)(

o

" =mg sen)(

0

cos00

Eq=mg tan)(0

20q=mg tan)(

0

=2 0 mg tan)(

0

q


O

7 7cos 0o

7sen 0o

0o

mg

F



=23.3:10

−12C

2/ Nm21:10

−H*g 9.3 m / s

2 tan)(0

2.0:10−3

C

-.* x10−9C /m

2≈-.*nC /m

2 R6

Ejercicio D ( En la siguiente figura, una esfera de radio a ! carga +q distriuida de manera uniforme

en todo su #olumen, es concentrica con una cascara conductora esférica de radio interior b ! radio

e:terior c. Esta cascara tiene carga neta ,q . Encuentre e:presiones para el campo eléctrico como

funci$n del radio r a dentro de la esfera +r - a , entre la esfera ! la cascara +a - r - b c dentro

de la cascara +b - r - c ! d fuera de la cascara + r c e Cuales son las cargas sore las

superficies interior ! e:terior de la cascara

a -1

0

∮ E. dA=qenc

0 EA=q $

q $

q =

5/ r

5 / a , q $ =q

r

a


@q

Lq

a b

c-1

-2

-5

-

r

r r

r



0 E 5 r 2=

qr

a

E =

q r

a

5 0 r 2

E =qr

5 0 r 2a

E q r

, *a) R6

-2

0∮ E. dA=qenc

0 EA=q

0 E 5

r

2

=q

E q

, * r 2 R6

c -

0∮ E. dA=qenc

0 EA=q−q

E * R6




d -5

0∮ E. dA=qenc

0 EA=q−q

E * R6

e

Interior −q

Exterior *


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