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La transformada de Laplace
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La transformada de Laplace
Dr. Angel Estrella GonzalezFMAT, UADY
Abril 2015
Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.
En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .
Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?
La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .
Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .
Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Transformada de Laplace.
DefinicionLa Transformada de Laplace de una funcion y se denota porL [y ] y esta dada por:
L [y ] (s) =
0
y(t)est
dt =
0y(t)estdt
NotaLa transformada de Laplace de una funcion y(t) es una nuevafuncion que depende de la variable s, por eso usaremos lassiguientes notaciones
L [y ] (s) = L [y(t)] (s) = L [y ]
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Transformada de Laplace.
DefinicionLa Transformada de Laplace de una funcion y se denota porL [y ] y esta dada por:
L [y ] (s) =
0
y(t)est
dt =
0y(t)estdt
NotaLa transformada de Laplace de una funcion y(t) es una nuevafuncion que depende de la variable s, por eso usaremos lassiguientes notaciones
L [y ] (s) = L [y(t)] (s) = L [y ]Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 1
Si y = e2t halle L [y ] (s).
L [y ] (s) =
0e2testdt =
0
et(2s)dt
=e(2s)t
2 s
]0
= limt
e(2s)t
2 s 1
2 s
=
{ 1s2 si s > 2no definida si s 2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 1
Si y = e2t halle L [y ] (s).
L [y ] (s) =
0e2testdt =
0
et(2s)dt
=e(2s)t
2 s
]0
= limt
e(2s)t
2 s 1
2 s
=
{ 1s2 si s > 2no definida si s 2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 2
L [eat]
=
0
eatestdt =
0e(as)tdt =
1s a si s>a
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 2
L [eat]=
0
eatestdt =
0e(as)tdt =
1s a si s>a
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 3
L [1]
=
0
est = limtest
s(1s
)=
1s
si s>0
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo 3
L [1]
=
0
est = limtest
s(1s
)=
1s
si s>0
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Linealidad
La transformada de Laplace es una transformacion lineal, esdecir ...
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos de linealidad
EncuentraL[13e5t e6t/5 17
]
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
Supongamos que y(t) es una funcion continua con derivaday(t), entonces:
L [y ] = 0
esty (t)dt
Usando integracion por partes obtenemos
L [y ] = 0
esty (t)dt = esty(t)0 + s
0
esty(t)dt
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
Supongamos que y(t) es una funcion continua con derivaday(t), entonces:
L [y ] = 0
esty (t)dt
Usando integracion por partes obtenemos
L [y ] = 0
esty (t)dt = esty(t)0 + s
0
esty(t)dt
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
Supongamos que y(t) es una funcion continua con derivaday(t), entonces:
L [y ] = 0
esty (t)dt
Usando integracion por partes obtenemos
L [y ] = 0
esty (t)dt = esty(t)0 + s
0
esty(t)dt
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
Supongamos que
limt
y(t)est
= 0
Entonces:L [y ] = 0 y(0) + sL [y ] ,
esto esL [y ] = sL [y ] y(0)
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
TeoremaSi y(t) es una funcion continua con derivada y (t), tal que
limt
y(t)est
= 0,
entonces:L [y ] = sL [y ] y(0).
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace
Teorema. V2Si y(t) es una funcion continua con derivada y (t), tal que|y(t)| keMt para algun M > 0 y algun k > 0, entonces:
L [y ] = sL [y ] y(0)para s > M.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].
Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene
L [1] = sL [t ] y(0)por lo tanto
1s= sL [t ] ,
para s > 0.Despejando obtenemos
L [t ] = 1s2
,
para s > 0.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene
L [1] = sL [t ] y(0)
por lo tanto1s= sL [t ] ,
para s > 0.Despejando obtenemos
L [t ] = 1s2
,
para s > 0.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene
L [1] = sL [t ] y(0)por lo tanto
1s= sL [t ] ,
para s > 0.
Despejando obtenemos
L [t ] = 1s2
,
para s > 0.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene
L [1] = sL [t ] y(0)por lo tanto
1s= sL [t ] ,
para s > 0.Despejando obtenemos
L [t ] = 1s2
,
para s > 0.Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas.L [t2]
= 2s3 para s > 0.
L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.
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Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.
L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.
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Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.L [tn]
= n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].
Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos
L [y ] = sL [y ] y (0),aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene
L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),de donde:
L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).
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Ejemplos
Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos
L [y ] = sL [y ] y (0),
aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene
L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),de donde:
L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos
L [y ] = sL [y ] y (0),aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene
L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),
de donde:L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos
L [y ] = sL [y ] y (0),aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene
L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),de donde:
L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY
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Ejemplos
Encuentra una formula para L [y (n)].
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Ejemplos
Calcula L [sen t ].
Tomando y(t) = sen t , entonces y (t) = sen t , usando laformula para la transformada de la segunda derivada de unafuncion obtenemos
L [y ] = L [sen t ] = s2L [sen t ] ssen 0 cos 0= s2L [sen t ] 0s 1,
despejando obtenemos
L [sen t ] = 11 + s2
.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Calcula L [sen t ].Tomando y(t) = sen t , entonces y (t) = sen t , usando laformula para la transformada de la segunda derivada de unafuncion obtenemos
L [y ] = L [sen t ] = s2L [sen t ] ssen 0 cos 0= s2L [sen t ] 0s 1,
despejando obtenemos
L [sen t ] = 11 + s2
.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Calcula L [sen t ].Tomando y(t) = sen t , entonces y (t) = sen t , usando laformula para la transformada de la segunda derivada de unafuncion obtenemos
L [y ] = L [sen t ] = s2L [sen t ] ssen 0 cos 0= s2L [sen t ] 0s 1,
despejando obtenemos
L [sen t ] = 11 + s2
.
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Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].
L [sen (kt)].L [cos(kt)].
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Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].L [sen (kt)].
L [cos(kt)].
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Ejemplos
Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].L [sen (kt)].L [cos(kt)].
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Formulas
Tabla 1
y L [y ]tn n!sn+1eat 1sa , s > a
cos kt sk2+s2sen kt kk2+s2
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Ejemplos
Encuentra y tal que L [y ] = 2s+1 1s1 .
L [y ] = 2 1s + 1
1s 1 = 2L
[et] L [et]
= L [2et et] ,Por lo tanto y = 2et et .
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Ejemplos
Encuentra y tal que L [y ] = 2s+1 1s1 .
L [y ] = 2 1s + 1
1s 1 = 2L
[et] L [et]
= L [2et et] ,Por lo tanto y = 2et et .
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Ejemplos
Encuentra y tal que L [y ] = s3(s+1)(s1) .
Usando el metodo de fracciones parciales obtenemos que
s 3(s + 1)(s 1) =
2s + 1
1s 1 .
Entonces por el ejemplo anterior
y = 2et et
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Encuentra y tal que L [y ] = s3(s+1)(s1) .Usando el metodo de fracciones parciales obtenemos que
s 3(s + 1)(s 1) =
2s + 1
1s 1 .
Entonces por el ejemplo anterior
y = 2et et
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplos
Encuentra y tal que L [y ] = s3(s+1)(s1) .Usando el metodo de fracciones parciales obtenemos que
s 3(s + 1)(s 1) =
2s + 1
1s 1 .
Entonces por el ejemplo anterior
y = 2et et
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
PVI
Supongamos que y (t) es una solucion del PVI
y = y 4et ,y(0) = 1.
Use la Transformada de Laplace para hallar y(t).
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
PVI
Aplicando la transfromada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial y las propiedades conocidas obtenemos
L [y ] = L [y 4et]sL [y ] y(0) = L [y ] 4L [et]
sL [y ] 1 = L [y ] 4s + 1
,
despejando y simplificando obtenemos
L [y ] = s 3(s + 1)(s 1) ,
y por los ejemplos anteriores obtenemos y = 2et et
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
PVI
Aplicando la transfromada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial y las propiedades conocidas obtenemos
L [y ] = L [y 4et]sL [y ] y(0) = L [y ] 4L [et]
sL [y ] 1 = L [y ] 4s + 1
,
despejando y simplificando obtenemos
L [y ] = s 3(s + 1)(s 1) ,
y por los ejemplos anteriores obtenemos y = 2et et
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PVI
Resuelva el siguiente PVI, usando la Transformada de Laplace.
y (t) y (t) 6y(t) = 2y(0) = 1, y (0) = 0
Solucion.Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laigualdad
L [y (t) y (t) 6y(t)] = L [2] ,
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PVI
y despejando obtenemos
L [y ] = s2 s + 2
s(s 3)(s + 2) .
Con el metodo de fracciones parciales encontramos que
L [y ] = 13 1s+
815 ss 3 +
45 1s + 2
= 13L [1] + 8
15L[e3t]+
45L[e2t
]= L
[1
3+
815
e3t +45e2t
]
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PVI
y despejando obtenemos
L [y ] = s2 s + 2
s(s 3)(s + 2) .
Con el metodo de fracciones parciales encontramos que
L [y ] = 13 1s+
815 ss 3 +
45 1s + 2
= 13L [1] + 8
15L[e3t]+
45L[e2t
]= L
[1
3+
815
e3t +45e2t
]
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PVI
y despejando obtenemos
L [y ] = s2 s + 2
s(s 3)(s + 2) .
Con el metodo de fracciones parciales encontramos que
L [y ] = 13 1s+
815 ss 3 +
45 1s + 2
= 13L [1] + 8
15L[e3t]+
45L[e2t
]= L
[1
3+
815
e3t +45e2t
]
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
PVI
Finalmente se tiene que:
y = 13+
815
e3t +45e2t .
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Formula
Introducir a la tabla:Traslacion en el eje s:
L [f (t)eat] (s) = L [f ] (s a).NOTA: En esta igualdad, el termino de la izquierda es latransformada de la funcion dada evaluada en el punto s yel termino de la derecha es la transformada de f evaluadaen el punto s a.L [tneat] = n!
(sa)n+1 ,n = 0,1, ...
Ejercicio: Demuestra las formulas anteriores.
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
y (t) z (t) + z (t) y(t) = et 22y (t) z (t) 2y (t) + z(t) = ty(0) = y (0) = z(0) = z (0) = 0
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
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Sistemas de ODEs
De la primera ecuacion y de los valores iniciales obtenemos
L [y z + z y] = L [et 2] ,(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s
(s 1)s .
De la segunda ecuacion:
L [2y z 2y + z] = L [t ] ,(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1
s2
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Sistemas de ODEs
De la primera ecuacion y de los valores iniciales obtenemos
L [y z + z y] = L [et 2] ,(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s
(s 1)s .
De la segunda ecuacion:
L [2y z 2y + z] = L [t ] ,(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1
s2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
De la primera ecuacion y de los valores iniciales obtenemos
L [y z + z y] = L [et 2] ,(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s
(s 1)s .
De la segunda ecuacion:
L [2y z 2y + z] = L [t ] ,(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1
s2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
De la primera ecuacion y de los valores iniciales obtenemos
L [y z + z y] = L [et 2] ,(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s
(s 1)s .
De la segunda ecuacion:
L [2y z 2y + z] = L [t ] ,(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1
s2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
Es decir, obtenemos el sistema
(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s(s 1)s
(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1s2
Despejando en este sistema L [y ] y L [z] se tiene
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
Es decir, obtenemos el sistema
(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s(s 1)s
(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1s2
Despejando en este sistema L [y ] y L [z] se tiene
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
L [y ] = 1s(s 1)2 ,
L [z] = 2s 1s2(s 1)2 .
Aplicando descomposicion en fracciones parciales y lasformulas de la transformada de Laplace
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
L [y ] = 1s(s 1)2 ,
L [z] = 2s 1s2(s 1)2 .
Aplicando descomposicion en fracciones parciales y lasformulas de la transformada de Laplace
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Sistemas de ODEs
L [y ] = 1s(s 1)2 =
1s 1
s 1 +1
(s 1)2 = L[1 et + tet] ,
L [z] = 2s 1s2(s 1)2 =
1s2
+1
(s 1)2 = L[t + tet] .
Luego:
y = 1 et + tet ,z = t + tet .
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
DefinicionSea a 0 y denotemos por Ha(t) a la funcion:
Ha(t) ={
0, si t < a,1, si t a,
esta funcion recibe el nombre de Funcion de Heaviside en a.
Nota:H0(t a) = Ha(t).
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
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DefinicionSea a 0 y denotemos por Ha(t) a la funcion:
Ha(t) ={
0, si t < a,1, si t a,
esta funcion recibe el nombre de Funcion de Heaviside en a.
Nota:H0(t a) = Ha(t).
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
L [Ha(t)]EncuentraL [Ha]
=
0
Ha(t)estdt =
=0 a0Ha(t)estdt +
a
Ha(t)estdt
=
a
estdt =est
s
]a
=esa
s.
As:
L [Ha] = esa
s, s > 0.
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Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
L [Ha(t)]EncuentraL [Ha]
=
0
Ha(t)estdt =
=0 a0Ha(t)estdt +
a
Ha(t)estdt
=
a
estdt =est
s
]a
=esa
s.
As:
L [Ha] = esa
s, s > 0.
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
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Traslacion en el eje t
Aumenta a la tabla de transformadas de Laplace la formula
L [H0(t a)f (t a)] = L [Ha(t)f (t a)] = esaL [f ] ,la cual recibe el nombre de formula de traslacion en el eje tpara las transformadas de Laplace.Ejercicio: Demuestra esta formula.
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Tabla completa
y(t) L [y ]tn n!sn+1 , para s > 0eat 1sa , para s > a
cos kt sk2+s2 .sen kt kk2+s2 .Ha(t) e
sas , para s > 0. Heaviside
Ha(t)f (t a) esaL [f ]. Traslacion eje ttneat n!
(sa)n+1 , n = 0,1, . . ., s > af (t)eat L [f ] (s a). Traslacion eje s
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Ejemplo
Resuelva el PVI:
dydt =
{ y si t < 3y + 1 si t 3
y(0) = 2
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
Resolviendo PVIFunciones Discontinuas
Solucion
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial obtenemos
L[dydt
]=
{ L [y ] si t < 3L [y + 1] si t 3
INCORRECTOLo anterior es un error, ninguna propiedad de lastrasnformadas de Laplace nos dice que podemos hacerlo yademas ni siquiera tiene sentido lo que esta escrito.
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Solucion
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial obtenemos
L[dydt
]=
{ L [y ] si t < 3L [y + 1] si t 3
INCORRECTOLo anterior es un error, ninguna propiedad de lastrasnformadas de Laplace nos dice que podemos hacerlo yademas ni siquiera tiene sentido lo que esta escrito.
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Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace
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Solucion
Usando H3(t) escribimos la ecuacion como{ dydt = y + H3(t)y(0) = 2
Ahora s podemos aplicar la transformada de Laplace enambos lados de la ecuacion y obtenemos:
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Solucion
Usando H3(t) escribimos la ecuacion como{ dydt = y + H3(t)y(0) = 2
Ahora s podemos aplicar la transformada de Laplace enambos lados de la ecuacion y obtenemos:
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Solucion
L [y ] = L [y + H3(t)] ,sL [y ] y(0) = L [y ] + L [H3(t)] ,
sustituyendo y despejando
L [y ] = e3s + 2ss(s + 1)
,
usando fracciones parciales
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Solucion
L [y ] = L [y + H3(t)] ,sL [y ] y(0) = L [y ] + L [H3(t)] ,
sustituyendo y despejando
L [y ] = e3s + 2ss(s + 1)
,
usando fracciones parciales
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Solucion
L [y ] = L [y + H3(t)] ,sL [y ] y(0) = L [y ] + L [H3(t)] ,
sustituyendo y despejando
L [y ] = e3s + 2ss(s + 1)
,
usando fracciones parciales
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Solucion
L [y ] = L [y + H3(t)] ,sL [y ] y(0) = L [y ] + L [H3(t)] ,
sustituyendo y despejando
L [y ] = e3s + 2ss(s + 1)
,
usando fracciones parciales
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Solucion
L [y ] = 2s + 1
+e3s
s(s + 1)
= 2L [et]+ e3ss(s + 1)
= 2L [et]+ e3s (1s 1
s + 1
)= 2L [et]+ e3sL [1 et] ,
usando la formula de traslacion en el eje t obtenemos
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Solucion
L [y ] = 2s + 1
+e3s
s(s + 1)
= 2L [et]+ e3ss(s + 1)
= 2L [et]+ e3s (1s 1
s + 1
)= 2L [et]+ e3sL [1 et] ,
usando la formula de traslacion en el eje t obtenemos
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Solucion
L [y ] = 2L [et]+ L [H3(t)(1 et3)]= L
[2et + H3(t)(1 et3)
],
por lo tantoy = 2et + H3(t)(1 et3).
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Solucion
L [y ] = 2L [et]+ L [H3(t)(1 et3)]= L
[2et + H3(t)(1 et3)
],
por lo tantoy = 2et + H3(t)(1 et3).
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Ejemplos adicionales
1. Halle y tal que L [y ] = e2s 6s4 .
L [y ] = e2sL[t3]
= L[H2(t)(t 2)3
]Entonces: y = H2(t)(t 2)3
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Ejemplos adicionales
2.L [cos kt ] = s
k2 + s2
L [e7t cos 4t] = L [cos 4t ] (s 7) = s 742 + (s 7)2
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Ejemplos adicionales
3.
L [e5tH2(t)] = L [H2(t)] (s 5) = e2(s5)s 5
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Ejemplos adicionales
4.
L [eatH4(t)] = L [H4(t)] (s a) = e4(sa)s a ,entonces
L1[e4(sa)
s a
]= eatH4(t).
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Ejemplos adicionales
5. EncuentraL1
[1
s2 + 2s + 5
]
L [y ] = 1s2 + 2s + 5
=1
(s2 + 2s + 1) + 4
=1
(j + 1)2 + 22=
2(j + 1)2 + 22
12
=12L [etsen 2t] = L [etsen 2t
2
]y =
etsen 2t2
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Ejemplos adicionales
6. Resuelva el siguiente P. V.I.
d2ydt2
+ 2dydt
+ 5y ={
1 si t < 70 si t 7
y(0) = y (0) = 0
Usando la funcion de Heaviside, la ecuacion la podemosescribir
y + 2y + 5y = 1 H7(t)
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Ejemplos adicionales
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuacion y despejando obtenemos
L [y ] = 1 e7s
s(s2 + 2s + 5)=
1s(s2 + 2s + 5)
e7s
s(s2 + 2s + 5)
Usando el metodo de fracciones parciales se tiene
g =1
s(s2 + 2s + 5)=
15s s + 2
5(s2 + 2s + 5)
=15L [1] 1
5s + 2
s2 + 2s + 5
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Ejemplos adicionales
Pero:
s + 2s2 + 2s + 5
=s + 2
(s + 1)2 + 22=
s + 1(s + 1)2 + 22
+2
(s + 1)2 + 22 1
2
= L[et cos 2t +
12etsen 2t
]Entonces
g =1
s(s2 + 2s + 5)= L
[15
] L
[15et(cos 2t +
12sen 2t)
](s)
= L[
15 e
t
5
(cos 2t +
12sen 2t
)](s)
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Ejemplos adicionales
Sea
f (t) =15 e
t
5
(cos 2t +
12sen 2t
),
entoncesg = L [f (t)]
Por la formula de la traslacion en el eje t
e7sL [g] = L [H3(t)f (t 7)]
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Ejemplos adicionales
Finalmente,
L [y ] = g e7sg= L [f (t) H7(t)f (t 7)] ,
entonces
y = f (t) H7(t)f (t 7)=
[15 e
t
5
(cos 2t +
12sen 2t
)]H7(t)
[15 e
(t7)
5
(cos 2(t 7) + 1
2sen 2(t 7)
)]
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