7/09/15
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NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ - FISICA - 2015 1
Las ecuaciones de ligadura pueden aparecer tambin de forma
integral. EJEMPLO: PROBLEMA DE DIDO
Introduccin
Problema . . .
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El origen de las leyendas sobre Dido o Elisa hay que buscarlo en
la migracin fenicia y su establecimiento en el norte defrica. Al
morir Muto, rey de Tiro, el trono pas a su hijo Pigmalin, hermano
de Dido o Elisa, que se haba casado conSicarbas o Siqueo, to suyo y
sacerdote del templo del dios Melqart. Pigmalin deseaba los tesoros
de este templo, porlo que decidi dar muerte a Siqueo. Dido tuvo
tiempo de reunir a un grupo de tirios hostiles al rey y escapar con
ellos,llevndose en las naves las riquezas de su esposo asesinado, e
incluso las de su hermano. Estos acontecimientos
ocurrieronprobablemente alrededor del siglo XIII A.C.
Al llegar a Chipre, los compaeros de Dido secuestraron a ochenta
jvenes del templo de Afrodita, y las hicieron susesposas.
Abandonaron la isla y se dirigieron al norte de frica. Fundaron la
ciudad de Cartago, y Dido se hizo su reina.Sobre la fundacin de
Cartago, Virgilio cuenta un episodio que se relaciona con un cuento
popular en la Eneida.
Elisa lleg a las costas de frica, donde vivan los gtulos una
tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidi hospitalidad y untrozo de
tierra para instalarse en ella con su squito. Jarbas le expuso que
le dara tanta tierra como ella pudiera abarcarcon una piel de buey.
Elisa, a fin de que la piel abarcara la mxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y as consiguicircunscribir un extenso
permetro. Tras esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que ms
tarde se convirti en laciudad de Cartago o Qart-Hadah (que en
fenicio significaba "Ciudad Nueva"), sobre un promontorio existente
entre ellago de Tnez y la laguna Sebkah er-Riana, que desembocaba
en mar abierto. Instaurada como soberana de la ciudadela,recibi de
los habitantes el nombre de Dido. Dido es sin duda una mujer
excepcional.
En las excavaciones arqueolgicas se ve la forma semicircular de
Cartago original, en La Eneida de Virgilio se lee el
famosotexto:
Se van por el marlas riquezas del avaro Pigmalin; una mujer
dirige la empresa.Llegaron a estos lugares, donde ahora de enormes
murallasy nace el alczar de una joven Cartago,y compraron el suelo,
que por esto llamaron Birsa,cuanto pudieron rodear con una piel de
toro.
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la migracin fenicia y su establecimiento en el norte defrica. Al
morir Muto, rey de Tiro, el trono pas a su hijo Pigmalin, hermano
de Dido o Elisa, que se haba casado conSicarbas o Siqueo, to suyo y
sacerdote del templo del dios Melqart. Pigmalin deseaba los tesoros
de este templo, porlo que decidi dar muerte a Siqueo. Dido tuvo
tiempo de reunir a un grupo de tirios hostiles al rey y escapar con
ellos,llevndose en las naves las riquezas de su esposo asesinado, e
incluso las de su hermano. Estos acontecimientos
ocurrieronprobablemente alrededor del siglo XIII A.C.
Al llegar a Chipre, los compaeros de Dido secuestraron a ochenta
jvenes del templo de Afrodita, y las hicieron susesposas.
Abandonaron la isla y se dirigieron al norte de frica. Fundaron la
ciudad de Cartago, y Dido se hizo su reina.Sobre la fundacin de
Cartago, Virgilio cuenta un episodio que se relaciona con un cuento
popular en la Eneida.
Elisa lleg a las costas de frica, donde vivan los gtulos una
tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidi hospitalidad y untrozo de
tierra para instalarse en ella con su squito. Jarbas le expuso que
le dara tanta tierra como ella pudiera abarcarcon una piel de buey.
Elisa, a fin de que la piel abarcara la mxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y as consiguicircunscribir un extenso
permetro. Tras esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que ms
tarde se convirti en laciudad de Cartago o Qart-Hadah (que en
fenicio significaba "Ciudad Nueva"), sobre un promontorio existente
entre ellago de Tnez y la laguna Sebkah er-Riana, que desembocaba
en mar abierto. Instaurada como soberana de la ciudadela,recibi de
los habitantes el nombre de Dido. Dido es sin duda una mujer
excepcional.
En las excavaciones arqueolgicas se ve la forma semicircular de
Cartago original, en La Eneida de Virgilio se lee el
famosotexto:
Se van por el marlas riquezas del avaro Pigmalin; una mujer
dirige la empresa.Llegaron a estos lugares, donde ahora de enormes
murallasy nace el alczar de una joven Cartago,y compraron el suelo,
que por esto llamaron Birsa,cuanto pudieron rodear con una piel de
toro.
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de Dido o Elisa, que se haba casado conSicarbas o Siqueo, to suyo y
sacerdote del templo del dios Melqart. Pigmalin deseaba los tesoros
de este templo, porlo que decidi dar muerte a Siqueo. Dido tuvo
tiempo de reunir a un grupo de tirios hostiles al rey y escapar con
ellos,llevndose en las naves las riquezas de su esposo asesinado, e
incluso las de su hermano. Estos acontecimientos
ocurrieronprobablemente alrededor del siglo XIII A.C.
Al llegar a Chipre, los compaeros de Dido secuestraron a ochenta
jvenes del templo de Afrodita, y las hicieron susesposas.
Abandonaron la isla y se dirigieron al norte de frica. Fundaron la
ciudad de Cartago, y Dido se hizo su reina.Sobre la fundacin de
Cartago, Virgilio cuenta un episodio que se relaciona con un cuento
popular en la Eneida.
Elisa lleg a las costas de frica, donde vivan los gtulos una
tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidi hospitalidad y untrozo de
tierra para instalarse en ella con su squito. Jarbas le expuso que
le dara tanta tierra como ella pudiera abarcarcon una piel de buey.
Elisa, a fin de que la piel abarcara la mxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y as consiguicircunscribir un extenso
permetro. Tras esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que ms
tarde se convirti en laciudad de Cartago o Qart-Hadah (que en
fenicio significaba "Ciudad Nueva"), sobre un promontorio existente
entre ellago de Tnez y la laguna Sebkah er-Riana, que desembocaba
en mar abierto. Instaurada como soberana de la ciudadela,recibi de
los habitantes el nombre de Dido. Dido es sin duda una mujer
excepcional.
En las excavaciones arqueolgicas se ve la forma semicircular de
Cartago original, en La Eneida de Virgilio se lee el
famosotexto:
Se van por el marlas riquezas del avaro Pigmalin; una mujer
dirige la empresa.Llegaron a estos lugares, donde ahora de enormes
murallasy nace el alczar de una joven Cartago,y compraron el suelo,
que por esto llamaron Birsa,cuanto pudieron rodear con una piel de
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morir Muto, rey de Tiro, el trono pas a su hijo Pigmalin, hermano
de Dido o Elisa, que se haba casado conSicarbas o Siqueo, to suyo y
sacerdote del templo del dios Melqart. Pigmalin deseaba los tesoros
de este templo, porlo que decidi dar muerte a Siqueo. Dido tuvo
tiempo de reunir a un grupo de tirios hostiles al rey y escapar con
ellos,llevndose en las naves las riquezas de su esposo asesinado, e
incluso las de su hermano. Estos acontecimientos
ocurrieronprobablemente alrededor del siglo XIII A.C.
Al llegar a Chipre, los compaeros de Dido secuestraron a ochenta
jvenes del templo de Afrodita, y las hicieron susesposas.
Abandonaron la isla y se dirigieron al norte de frica. Fundaron la
ciudad de Cartago, y Dido se hizo su reina.Sobre la fundacin de
Cartago, Virgilio cuenta un episodio que se relaciona con un cuento
popular en la Eneida.
Elisa lleg a las costas de frica, donde vivan los gtulos una
tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidi hospitalidad y untrozo de
tierra para instalarse en ella con su squito. Jarbas le expuso que
le dara tanta tierra como ella pudiera abarcarcon una piel de buey.
Elisa, a fin de que la piel abarcara la mxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y as consiguicircunscribir un extenso
permetro. Tras esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que ms
tarde se convirti en laciudad de Cartago o Qart-Hadah (que en
fenicio significaba "Ciudad Nueva"), sobre un promontorio existente
entre ellago de Tnez y la laguna Sebkah er-Riana, que desembocaba
en mar abierto. Instaurada como soberana de la ciudadela,recibi de
los habitantes el nombre de Dido. Dido es sin duda una mujer
excepcional.
En las excavaciones arqueolgicas se ve la forma semicircular de
Cartago original, en La Eneida de Virgilio se lee el
famosotexto:
Se van por el marlas riquezas del avaro Pigmalin; una mujer
dirige la empresa.Llegaron a estos lugares, donde ahora de enormes
murallasy nace el alczar de una joven Cartago,y compraron el suelo,
que por esto llamaron Birsa,cuanto pudieron rodear con una piel de
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la migracin fenicia y su establecimiento en el norte defrica. Al
morir Muto, rey de Tiro, el trono pas a su hijo Pigmalin, hermano
de Dido o Elisa, que se haba casado conSicarbas o Siqueo, to suyo y
sacerdote del templo del dios Melqart. Pigmalin deseaba los tesoros
de este templo, porlo que decidi dar muerte a Siqueo. Dido tuvo
tiempo de reunir a un grupo de tirios hostiles al rey y escapar con
ellos,llevndose en las naves las riquezas de su esposo asesinado, e
incluso las de su hermano. Estos acontecimientos
ocurrieronprobablemente alrededor del siglo XIII A.C.
Al llegar a Chipre, los compaeros de Dido secuestraron a ochenta
jvenes del templo de Afrodita, y las hicieron susesposas.
Abandonaron la isla y se dirigieron al norte de frica. Fundaron la
ciudad de Cartago, y Dido se hizo su reina.Sobre la fundacin de
Cartago, Virgilio cuenta un episodio que se relaciona con un cuento
popular en la Eneida.
Elisa lleg a las costas de frica, donde vivan los gtulos una
tribu de libios cuyo rey era Jarbas. Pidi hospitalidad y untrozo de
tierra para instalarse en ella con su squito. Jarbas le expuso que
le dara tanta tierra como ella pudiera abarcarcon una piel de buey.
Elisa, a fin de que la piel abarcara la mxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y as consiguicircunscribir un extenso
permetro. Tras esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que ms
tarde se convirti en laciudad de Cartago o Qart-Hadah (que en
fenicio significaba "Ciudad Nueva"), sobre un promontorio existente
entre ellago de Tnez y la laguna Sebkah er-Riana, que desembocaba
en mar abierto. Instaurada como soberana de la ciudadela,recibi de
los habitantes el nombre de Dido. Dido es sin duda una mujer
excepcional.
En las excavaciones arqueolgicas se ve la forma semicircular de
Cartago original, en La Eneida de Virgilio se lee el
famosotexto:
Se van por el marlas riquezas del avaro Pigmalin; una mujer
dirige la empresa.Llegaron a estos lugares, donde ahora de enormes
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que por esto llamaron Birsa,cuanto pudieron rodear con una piel de
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En la imagen siguiente se aprecia la forma de la ciudad
originaria
En este grabado se aprecia el corte de la piel del toro en
trazos muy angostos para hacer una especie de hilo de cuero
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Dido dedujo correctamente que entre todas las figuras con un
permetro dado el crculo encerraba la mayor rea, de estamanera
aparece el primer problema isoperimtrico conocido. Cmo saba Dido la
solucin a este problema? Posiblementede manera emprica, pues
pasaron muchos siglos antes de tener una demostracin plausible.
Un grabado de la forma que tenia la ciudad originalmente
Grabado donde se muestra la forma en que se sacan los hilos de
cuero.
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NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ - FISICA - 2015 5
y '2 2 x C1( )2"# $%= x C1( )2 y '2 = x C1( )
2
2 x C1( )2"
#$%
y ' = x C1( ) 2 x C1( )
2"#
$%
12
dydx =
x C1( ) 2 x C1( )
2"#
$%
12
y = x C1( )dx 2 x C1( )
2"#
$%
12
y = 2 x C1( )2+C2 Donde y son constantes de integracin. C1
C2yC2( )
2= 2 x C1( )
2
x C1( )2+ yC2( )
2= 2
La mxima rea es un semicrculo limitado por la lnea y = 0Como la
condicin es que y , signica que el semicirculo est centrado en el
origen.
Por tanto, , y El permetro es:
(a, 0) (a, 0)
C1 = 0 C2 = 0 = a l = a
Resolvemos la integral
NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ - FISICA - 2015 6
EJERCICIO: Encuentre la distancia mas corta entre dos puntos
sobre la supercie de una esfera pero ahora u_lizando el mtodo de
Euler con condiciones auxiliares.
EJERCICIO: Encuentre el camino mas corto entre los punto y sobre
una supercie cnica . Note que esta curva es el camino mas corto
para subir a la cima de un volcn o montaa.
0,1,0( ) 0,1, 0( )z =1 x2 + y2
EJERCICIO: Un disco de radio rueda sin deslizarse en el interior
de una parbola . Encuentre la ecuacin de ligadura. Exprese su
condicin para que la rueda haga contacto en uno y solo un punto
independiente de su posicin.
Ry = ax2
SOME METHODS IN THE CALCULUS OF VARIATIONS 175
6-10. This problem lends itself to the method of solution
suggested in the solution of Problem 6-8. The volume of a right
cylinder is given by
(1) 2V RS HThe total surface area A of the cylinder is given
by
2bases side 2 2 2A A A R RH R RS S S H (2) We wish A to be a
minimum. (1) is the constraint condition, and the other equations
are
0
0
gAR R
gAH H
O
O
ww w w ww w w
(3)
where . 2 0g V R HS The solution of these equations is
12
R H (4)
6-11.
y
dsR
}12a
The constraint condition can be found from the relation ds = RdT
(see the diagram), where ds is the differential arc length of the
path:
1 22 2ds dx dy RdT (1) which, using , yields 2y ax
2 21 4a x dx RdT (2) If we want the equation of constraint in
other than a differential form, (2) can be integrated to yield
2 14 1 ln 2 42 4x ax ax a xaT 2 2 1A R (3) where A is a constant
obtained from the initial conditions. The radius of curvature of a
parabola,
, is given at any point (x,y) by 2y ax 0 1 2tr . The condition
for the disk to roll with one and only one point of contact with
the parabola is
a
0R r ; that is,
