7/24/2019 Clase Transformaciones Lineales

1/3

Prof. Cristian Mardones

UT

alca-Alg.

Lineal

Transformaciones lineales Algebra lineal Clase 14

1. Transformaciones Lineales

Definicion 1.1 Sean V yW dos K- espacios vectoriales (en general R o C). UnaaplicacionT : V Wse llamaaplicacion linealuhomomorfismosi verifica las

siguientes condiciones:

1. T(x+y) =T(x) +T(y), x, y V

2. T(x) = T(x), x K

Estas dos condiciones son equivalentes a la unica condicion:

T(x+y) =T(x) +T(y) x, y V y , K

Ejemplo 1.1

1. T : R2 R3 tal que T(x, y) = (x y, 2x, y+x) es una aplicacion lineal.

En efecto: (a, b), (u, v) R2, se tiene

T((a, b) + (u, v)) = T((a+u, b+v))

= (a+u b v, 2a+ 2u, b+a+v+u)

= ((a b) + (u v), 2a+ 2u, (b+a) + (v+u))

= (a b, 2a, b+a) + (u v, 2u, v+u)

= T(a, b) +T(u, v)

(a, b) R2, R, se tiene

T((a, b)) = T((a, b))

= (a b,2(a), b+a)

= (a b, 2a, b+a)

= T(a, b)

2. T : R2 R2 tal que T(x) = (x, x+ 1) no es una aplicacion lineal.

En efecto:T(x+ y) = (x+ y, x+ y+ 1) = (x, x+ 1 ) + (y, y)=T(x) +T(y). Observarque para demostrar que Tno es una aplicacion lineal, basta con el siguientecontraejemplo:

T(2 + 3) =T(5) = (5, 6) y T(2) +T(3) = (2, 3) + (3, 4) = (5, 7). Luego

T(2 + 3)=T(2) +T(3)

Instituto de Matematica y Fsica 7 Universidad de Talca

7/24/2019 Clase Transformaciones Lineales

2/3

Prof. Cristian Mardones

UT

alca-Alg.

Lineal

Transformaciones lineales Algebra lineal Clase 14

3. Sean V yWdos K-espacios vectoriales

a) La funcion identidad es una aplicacion lineal. En efecto:

SeaI : V V tal que I(v) =v, v V

I(v+w) = v+w = I(v) +I(w) v, w V

I(v) = v= I(v), K, v V

b) La funcion nula es una aplicacion lineal. En efecto:

SeaN : V Wtal que N(v) = 0W, v V

N(v+w) = 0W = 0W+ 0W =N(v) +N(w) v, w V

N(v) = 0W =0W =N(v), K, v V

4. T : P2[x] R tal que T(p(x)) = d2

dx2p(x), es una aplicacion lineal. En efecto: p(x), q(x) P2[x], se tiene

T(p(x) +q(x)) = d2

dx2(p(x) +q(x)) =

d2

dx2p(x) +

d2

dx2q(x) =f(p(x)) +f(q(x))

T(p(x)) = d2

dx2(p(x)) =

d2

dx2p(x) =f(p(x))

5. a) T : V Vtal quef(x) =ax, a K, a= 0es una aplicacion lineal, llamadaHomoteciade razon a.

b) T : R2 R2 tal que f(x, y) = (x,y) es una aplicacion lineal, llamadaReflexion en torno al eje X.

c) R : R2 R2 tal que R(x, y) = (x cos() y sin(), x sin() +y cos()) es

una aplicacion lineal, llamada LaRotacion en un angulo .

Propiedades 1.1

SeanT yG dos aplicaciones lineales deVyW, entonces:

1. T(0V) = 0W. La imagen del vector nulo por una transformaci on lineal es siempreel vector nulo.

2. T(x) =T(x)

3. T+G es una aplicacion lineal.

4. Tes una aplicacion lineal, K.

5. SiT : V WyG: W Zdos aplicaciones lineales, entoncesT G: V Zes una aplicaci on lineal.

Instituto de Matematica y Fsica 8 Universidad de Talca

7/24/2019 Clase Transformaciones Lineales

3/3

Prof. Cristian Mardones

UT

alca-Alg.

Lineal

Transformaciones lineales Algebra lineal Clase 14

Observacion 1.1 Denotaremos por L(V,W) el conjunto de todas las aplicacioneslineales deV enW dondeV yW son espacios de dimension finita sobre un mismo

cuerpoK, es decir:

LK(V,W) =L(V,W) ={T| T : V W transformaci on lineal}

De ahora en adelante V yWseran e.v sobre el mismo cuerpo K

Instituto de Matematica y Fsica 9 Universidad de Talca