Clase Triángulos I Anual 2015 OK

7/24/2019 Clase Tringulos I Anual 2015 OK

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Propiedad Intelectual Cpech

CONOZCAMOS UNA PREGUNTA REAL DE LA PSU

DEMRE, Proceso de admisin 2005.


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PRENDIZ JES ESPER DOS

Identificar los elementos primarios de un tringuloy sus propiedades.

Reconocer los elementos secundarios de un

tringulo y sus propiedades.

Clasificar los tringulos segn sus lados y ngulos.


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1. Definicin

2. Elementos primarios

Tringulos I

Vrtices

Ladosngulos interiores

ngulos exteriores

3. Elementos secundarios

ltura

Trans!ersal de gra!edad

"imetral#isectri$

%ediana


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4. Generalidades en un tringulo cualquiera&.'rea o superficie&.()er*metro o longitud

5. Clasificacin de tringulos+.'"egn sus ngulos

+.("egn sus lados


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1.Definicin

'. Tringulo

,s un pol*gono de tres lados.

2. Elementos primariosCorresponde a la intersecci-n de dostra$os los /ue se identifican con letrasmaysculas.

,n la figura los !rtices son # y C.

A B

C

!rtices"


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#ados" ,n la figura los tra$os # #C y Ccorresponden a los lados del tringulo#C los /ue se identifican con letras

minsculas.

#

C

a0

c

# 1 c #C 1 a C 1 0

$eorema" La suma de dos lados de0e ser siempremayor /ue el tercero.

a 2 0 3 c0 2 c 3 a

a 2 c 3 0


7/31Propiedad Intelectual Cpech

4eterminar si existe el tringulo cuyos lados miden5 cm & cm y 6 cm.

)ara determinar si existe el tringulode0emos !erificar /ue se cumple el teorema.

,7emplo8

5 2 & 1 6 9o se cumple.

& 2 6 3 5 "* se cumple.5 2 6 3 & "* se cumple.

Como una de ellas no se cumple NOexistedic:o tringulo.



$eorema" La diferencia positi!a de dos lados de0e sersiempre menor /ue el tercero.

a ; 0 < c

0 ; c < a

a ; c < 0

,7emplo8

4eterminar si existe el tringulo cuyos lados miden = cm

+ cm y ( cm.)ara determinar si existe el tringulode0emos !erificar /ue se cumple el teorema.

= ; + 1 5 3 ( 9o se cumple.

= ; ( 1 > 3 + 9o se cumple.

+ ; ( 1 5 < = "* se cumple.

Como una de ellas no se cumple NOexiste dic:o tringulo.



%ngulos interiores"

#

C

, y

son los ngulos interiores deltringulo #C.

"on a/uellos /ue se forman por la intersecci-n dedos lados en el interior de la figura.

$eorema" La suma de los ngulos interiores detodo tringulo es '=?@

+ + = 180



,7emplos8



$eorema" ,n todo tringulo a mayor ngulose opone mayor lado y !ice!ersa.

,7emplo8

#

C

a0

c

,n el tringulo de la figura

c 3 a 3 0



%ngulos e&teriores"

A, Ay A

son los ngulos exterioresdel tringulo de la figura.

"on los suplementos de los ngulos interiores.

$eorema" La suma de los ngulos exterioresde todo tringulo es 5>?@.

A+ A+ A= 360



$eorema"Cada ngulo exterior es igual a la suma de losngulos interiores NOadyacentes a l.

B 1 2

B 1 2

B 1 2

,7emplo8



3. Elementos 'ecundarios(ltura )*+",s la perpendicular tra$ada desde un !rtice allado opuesto o a su prolongaci-n.,n la figura C4es la altura :cD desde el !rtice C.

Ertocentro FD8 ,s el punto de intersecci-n delas alturas :c :a :0D.

#

C

F

#

C

:c

4



$rans,ersal de gra,edad )t+"

,s el segmento /ue une el !rtice con el puntomedio del lado opuesto.

tc tc8 trans!ersaldesde C

Centro de gra!edad o 0aricentroGD8

)unto de intersecci-n de las trans!ersales.,l centro de gra!edad GD di!ide a cada trans!ersal enra$-n (8'.

48 )unto medio del lado #



4 , y H8 )untos medios.

, 1 ta

#H 1 t0C4 1 tc

G8 Centro de gra!edad

,7emplo8

,n la figura G es centro de gra!edad. "i #G 1 = cmentonces GH 1 & cm.



#

C

"

'imetral )'+"

,s la perpendicular le!antada desde el punto medio

de un lado. ,n la figura est representada lasimetral le!antada desde 4 punto medio del lado#.



Circuncentro8

)unto de intersecci-n de las simetrales y corresponde

al centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

4 H y G8 )untosmedios.

,8 Circuncentro



-isectri )/+"

,s el segmento /ue dimidiaJ un ngulo es decir lo

di!ide en ( partes iguales.,n la figurael C4 1 4C# 1

#

C

4

0c



Incentro8

)unto de intersecci-n de las 0isectrices /ue

corresponde al centro de la circunferencia inscrita altringulo.

,7emplo8

,8 Incentro


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0ediana",s el segmento /ue une los puntos medios de doslados consecuti!os.

La mediana es paralela al lado opuesto y mide lamitad de l.

4 , y H8 )untos medios.

4H 4, y ,H8 %edianas

4,KK #C y 4, 1 #C(

,HKK C y ,H 1 C(

4HKK # y 4H 1 #(


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l tra$ar las tres medianas de un tringulo

se forman & tringulos congruentes entre s*.,l rea de cada uno es del rea total deltringulo original.


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4. Generalidades en un tringulo cualquiera

%rea o 'uperficie )(+"

Corresponde al semiproducto entre la 0ase y laaltura del tringulo.

rea 1 #ase M ltura

(

1

#

C

a0

c

:c:a :0

(

cM:c

aM:a

( 1 (

0M:0 1


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,7emplo8

4eterminar el rea del tringulo de la figura8

,n este caso se tiene el !alor de la 0ase # 1 = y laaltura /ue cae so0re su prolongaci-n es C4 1 5.

Luego su rea es8

1(

=M5 1 '(


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ermetro o longitud )+"

Corresponde a la suma de los lados del tringulo.

#

C

a0

c

) 1 a 2 0 2 c

,7emplo8

) 1 '+ 2 '= 2 ((

) 1 ++


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5. Clasificacin de tringulos

'egn sus ngulos"

(cutngulo"

ectngulo"

6/tusngulo"

,s a/uel /ue tiene todos susngulos interiores agudos.

,s a/uel /ue tiene un ngulorecto.

,s a/uel /ue tiene un nguloo0tuso.

,7.8

,7.8

,7.8


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'egn sus lados"

Escaleno"

,s a/uel /ue tiene todos suslados y ngulos distintos.

,7emplo8

7ssceles",s a/uel /ue tiene s-lo (lados congruentes y ellado distinto es la 0ase.

,7emplo8

#aseD


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9ota8

Equiltero"

,s a/uel /ue tiene todos suslados congruentes.

#aseD

,n la figura el tringulo #C ese/uiltero8 # 1 #C 1 C."us ngulos interiores tam0inson congruentes.

"e dice /ue el tringulo de lafigura es is-sceles de 0ase #J o0ien is-sceles en CJ.


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RESOLVAMOS LA PREGUNTA PSU

EXPUESTA AL COMIENZO DE LA CLASE

Opcin correcta:

DEMRE, Proceso de admisin 2005.

Opcin correcta: E


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'inteticemos en el siguiente

mapa conceptuallo que *emos aprendido *o8


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$ringulos

Clasificacin

'egn suslados

Equiltero

7ssceles

Escaleno

Generalidades

%rea

ermetro

Elementos

rimarios

!rtices

#ados

%ngulos interiores

%ngulos e&teriores

'ecundarios

(ltura

$rans,ersal degra,edad

'imetral

-isectri

0ediana

'egn susngulos

interiores

(cutngulo

ectngulo

6/tusngulo

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