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Departamento de Control, Divisin de Ingeniera Elctrica Facultad de Ingeniera UNAM
Sistemas de primer orden
Mxico D.F. a 08 de Septiembre de 2006
Sistemas de primer orden
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Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a una ecuacin diferencial de primer orden
dc(t ) a0c(t ) ! b0 r (t ) dtLa funcin de transferencia es:
b0 C ( s) ! R ( s ) s a0 ( s) K ! ( s ) Xs 1
reacomodando trminos tambin se puede escribir como:
b donde K ! 0 , es la ganancia en estado estable,
a0 1 X! , es la constante de tiempo del sistema. a0 1 el valor s ! a0 ! se denomina polo. X
Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso La salida en Laplace es
b0 ( s) ! ( s) s a0Utilizando transformada inversa de Laplace1
( s) ! 1
c (t ) ! b0L
1 s a0
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
c (t ) ! b0e a0tse evala la ecuacin anterior en tiempos mltiplos de X
Sistemas de primer ordent 0 X c (t ) b0
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0.367879 b0respuesta al impulso
2X 0.135335 b0 3X 0.049787 b04X 0.018315 b0
b0
0.367879 b0
X
t
Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escaln de magnitud A La salida en Laplace es
b0 ( s) ! (s) s a0Utilizando transformada inversa de Laplace1
A R(s) ! s
c (t ) ! b0L
1 s ( s a0 )
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
c (t ) ! K (1 e a0t )Ahora se evala la ecuacin anterior en tiempos mltiplos de X
Sistemas de primer ordent 0 X
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
c (t ) 00.632120 AK
respuesta al escaln
AK 0.981684 AK
0.632120 AK
2X 0.864664 AK 3X 0.950212 AK 4X 0.981684 AK
X
4X
t
Comentarios: La constante de tiempo ( X ) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63.212% del valor final. Matemticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prcticos se considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4X ) y el del 95% (5X )
Sistemas de primer orden
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de magnitud A La salida en Laplace es
b0 ( s) ! (s) s a0Utilizando transformada inversa de Laplace
(s) !
A s2
c (t ) ! Ab0L
1
1 2 s ( s a0 )
r (t ) ! At
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
c (t ) ! AK (t X ) AKX e a0t
Sistemas de primer ordenNota: Es importante aclarar que la entrada es de pendiente A, mientras que la salida presenta pendiente AK desfasadaX seg. En otras palabras siempre que la ganancia en estado estable (K) del sistema no sea igual a uno, existir un error en estado estable infinito.
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respuesta a la rampa
AKX
AKt
X
error en estado estable a0 t
c ( t ) ! AK (t X ) AKX e
X
t
Sistemas de primer orden
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Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente: 1. De la funcin de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida. 2. De una grfica (o datos) de respuesta de salida obtener la funcin de transferencia. Ejercicio: Un circuito RL tiene la siguiente funcin de transferencia.
1 I ( s) L ! V ( s) s R
L
Determinar la corriente i (t ) cuando se aplica una entrada escaln de 1volt Desarrollo: No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la funcin de transferencia para visualizar la respuesta:
Sistemas de primer orden1 I ( s) R ! V ( s) L s 1 R
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1 !K RL R
Ganancia en estado estable Constante de tiempo
!X
entonces directamente se obtiene la ecuacin:
1 RR t 1 i (t ) ! (1 e L ) R
L R
L 2 R
L 3 R
L 4 R
t
Sistemas de primer ordenEjercicio:
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Una cautn se conecta a una alimentacin de voltaje monofsica 127 volts. Alcanzar una temperatura estable de 325C y tarde 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determine la funcin de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta. Desarrollo: Se define la ganancia en estado estable:
Temperatura en estado estable 325 K! ! ! 2.559 oltaje de entrada 127Se determina la constante de tiempo: Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo.
130 X! ! 32.5 4
Sistemas de primer ordenpor ltimo se sustituye en la forma:
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K G ( s) ! Xs 1La funcin de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
2.559 T (s) ! ( s ) 32.5 s 1 T (s) 0.078738 ! V ( s ) s 0.30769