Clase2

02/12/09 FISICA MODERNA 1

RELATIVIDAD I


• Estudiar las transformaciones Galileanas

• Entender los postulados de Einstein

• Comprender la invariancia de las Leyes de Newton

• Estudiar las transformaciones de Lorentz

Objetivo:


Transformaciones Galileanas• Las leyes de la mecánica de Newton son invariantes ( en

sistemas de referencia inercial) conectados por una transformación Galileana (v << c).

• Sistema Referencia Inercial S’ se mueve con velocidad constante v con respecto a un sistema S estacionario.

La pelota cae verticalmente en ambos sistemas de referencia

S’

S

( )

, ,

, ,

y z

xx

y z

vt

y y z z t

x

u

t

u

x

vu

u

= −

′ ′ ′= = =

= −′ =

′

′

v




Transformación Galileana: Inconsistente con la invariancia de la velocidad de la luz

• Asumimos que un pulso de luz es creado sobre un tren en movimiento (en el sistema S’).– La velocidad de la luz en el sistema S’ is c.

• Cual es la velocidad de la luz observada en la Tierra (sistema S)?– De acuerdo a la transformación Galileana, la velocidad en el

sistema S es c + v!

• PERO, la velocidad de la luz debe ser c en TODOS los sistemas!

S’

S

c v


Transformación Galileana: Inconsistente c/Ecu. de Maxwell.

• Ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo las transformaciones Galileanas.

• Ejemplo:– Línea de carga infinita l y carga puntual q ubicada arriba de el.– Observador S ve la carga estática y observador S’ ve la carga en

movimiento !

• Fuerza Eléctrica: FE = 2kql/y1 para observadores en ambos S y S’.

• Fuerza Magnética: FB = -moqlv2/2py1 solamente según el observador S’.– El observador S’ ve una línea de carga en movimiento y

moviéndose la carga induce un campo magnético!S’S v


Transformación Galileana: Predice Preferidos Sistemas de Ref.

• Según la transformación Galileana,el tiempo de viaje t1 ida & vuelta en un rio es mas corto que el tiempo de viaje t2 arriba & abajo en un río.

• La luz moviéndose en un “éter” es un problema análogo.

– Puede la luz tener diferentes tiempos de viaje?

t1

t2

2

22 22

2

2

12 2

12

1L L Lc L v

c v c v cc v c

L vt

c c

− + +

= + = = − ≈ + − − L

2

2

2

21 22

12 2 1

12

2 21

L L v

c cc v

L vt

c c

−

= = − ≈ −

+ +

L


Transformaciones Galileanas: NO hay Sistemas de Ref.preferidos para la luz!

• En el siglo XIX, científicos pensaban que la luz se propagaba a través de algún tipo de “éter.”

• Experimento de Michelson-Morley (1887)

– Probar si el éter existía y hallar el sistema “preferido” de referencia.

– Análogo al bote remos en el rio.

– Medir la velocidad de la luz relativo al movimiento de la Tierra (// y ⊥) usando un interferómetro (franjas).

• Resultado: No se detecto el “éter”– No se detecto cambio en las franjas

de interferencia, indicando que la velocidad de la luz NO depende de una dirección.





Relatividad: Historia

• 1879: Nació en Ulm, Germany.• 1901: Trabajo en la oficina de patentes de Suiza.

– Inhabilitado para obtener una posición académica.• 1905: Publico 4 famosos artículos.

– Articulo sobre el efecto fotoeléctrico (Premio Nobel).

– Articulo sobre movimiento Browniano.– 2 Artículos sobre la Relatividad Especial. – Solamente a los 26 años de edad!!

• 1915: Publica la Teoría General de la Relatividad.• 1933: Einstein sale de la Alemania Nazi-ocupada.

– Permanece un tiempo en el Institute of Advanced Study in Princeton, NJ.

– Trata de desarrollar la teoría de unificar la gravedad y el electromagnetismo (sin éxito).


La Teoría Especial de la RelatividadEinstein hace la siguiente pregunta “Que sucedería si yo montara un haz de luz?”

• Vería campos eléctricos y magnéticos estáticos con una fuente no comprensible.

• La Radiación Electromagnética requiere campos E y B cambiantes.

• Einstein concluye que:

No se puede viajar a la velocidad de la luz.

No se puede estar en un sistema donde la velocidad de la luz es algo diferente a c.

No Hay sistema de referencia absoluto


Postulados de Einstein• Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes con respecto a las leyes físicas

• La velocidad de la Luz en el vació siempre tiene el mismo valor c, independiente del movimiento de la fuente u observador.

o• Nada puede moverse mas rápido que la velocidad de la luz en el vació, el cual es el mismo con respecto a todos los sistemas inerciales.

o• No hay experimento que uno pueda realizar en un sistema moviéndose uniformemente para decir si uno esta en reposo o en un estado de movimiento uniforme. (No hay dependencia de una velocidad absoluta.)





Diagrama Espacio – TiempoRequisito para 4 Dimensiones

Definiciones:

• Evento: caracterizado por la coordenada espacial (p.e., x,y,z) y temporal - tiempo (t) en que lugar se realiza (tetravector)

• Diagrama Espacio-tiempo: un sistema coordenado en el cual cad punto representa un evento. requiere 4 dimensiones.

ct

xO

A (ct,x)

Linea mundo

• Linea mundo: trayectoria de un evento en el diagrama espacio-tiempo



Descripción del MovimientoEn un diagrama espacio-tiempo, el movimiento de un objetotraza una línea mundo.

Para un objeto que se mueve con velocidad constante, uncamino simple de medir la velocidad es medir la posición del objetoEn dos diferentes veces. Asumimos que el objeto se mueve desder1 en t1 a r2 en t2, la velocidad del objeto es entonces

)()( 1122

12

rtrtrr

v

−−=

Necesitamos un camino para sincronizar los relojesEn diferentes posiciones!


Sincronización de los Relojes

Elija una referencia de reloj y póngalo a cero.

Genere un pulso de luz desde la posición del reloj de referencia Inicie un reloj local para el tiempo que le tomara al pulso de luz para propagarse desde la posición del reloj referencia a la actual posición.

De acuerdo al segundo postulado de Einstein, la información no puede ser transmitida con una velocidad mas grande que la velocidad de la luz en el vació. Puesto que la velocidad de la luz es independiente de los sistemas inerciales, se proporciona un camino natural (e ideal) de sincronizar relojes.

El procedimiento se describe como sigue:




Intervalos de tiempo: Eventos Simultáneos• Dos eventos simultáneos en un sistema de referencia son no

simultáneos en cualquier otro sistema inercial en movimiento relativo al primero.

Los Dos rayos se ven simultáneamente en C

El Rayo de la derecha se ve primero en C’

El Rayo de la izquierda se ve segundo en C’

Dos rayos golpean en A, B




Relatividad de la Simultaneidad

ct

xO

0=v

A B Cx

ct

O

0≠v

A B C

vtxx i +=ct’

x’

Dos eventos simultáneos en un sistema inercial no son simultáneos en cualquier otro sistema inercial en movimiento relativo al primero

ORelojes sincronizados en un sistema inercial no son sincronizadosen cualquier otro sistema inercial en movimiento relativo al primero


Reloj de la luz• Un pulso de luz salta entre dos espejos perpendicular a

la dirección del movimiento posible• Viaja un camino en una unidad de tiempo Dt = d/c• Claramente en el reloj en movimiento, la luz tiene mas

tiempo en el intervalo de la luz en el viaje redondo


Handy Light ClockHandy Light Clock

Considerar un pulso de luz saltando entre dos Considerar un pulso de luz saltando entre dos espejos (retrorreflectores)espejos (retrorreflectores)

dd

ttoo = d / c = d / c


Ahora Observe el mismo reloj moviéndoseAhora Observe el mismo reloj moviéndose

Experimento: Experimento: Experimento GedankenExperimento Gedanken

Considere un sistema de Considere un sistema de referencia inercial:referencia inercial:

El ascensor moviéndose El ascensor moviéndose hacia arriba con una hacia arriba con una velocidad constante,velocidad constante, v v..


Moving Light ClockMoving Light ClockConsidere el camino de un pulso de luz en el sistema Considere el camino de un pulso de luz en el sistema

de referencia en movimiento: Light Clockde referencia en movimiento: Light Clock

dd

ttoo = d / c = d / c

ctct vtvt


Dilatación del Tiempo calculadoDilatación del Tiempo calculado

Use Teorema de Pitágoras:Use Teorema de Pitágoras: (ct) (ct) 22 = d = d 22 + (vt) + (vt) 22

d d 22 = (ct) = (ct) 22 - (vt) - (vt) 22

d d 22/ c / c 22 = t = t 22 - (v - (v 22/ c / c 22)t )t 22

d / c = t [1 - (v d / c = t [1 - (v 22/ c / c 22)])]1/21/2

Pero d = ctPero d = ctoo , , AsíAsí

ddctct vtvt

tto o = t = t [1[1- (v - (v 22/ c / c 22)] )] 1/21/2

El reloj en el sistema en movimiento corre mas El reloj en el sistema en movimiento corre mas lento.lento.


Dilatación del Tiempo Observado!Dilatación del Tiempo Observado!

Esto realmente trabaja? Esto realmente trabaja? tto o = t = t [1[1- (v - (v 22/ c / c 22)] )] 1/2 1/2 t =gt t =gtoo

1.1. Mu-Mesons duran mas tiempo antes de decaer, si Mu-Mesons duran mas tiempo antes de decaer, si ellos se están moviendo muy rápido. ellos se están moviendo muy rápido.

por el factor g = 1/ por el factor g = 1/ [1[1- (v - (v 22/ c / c 22)] )] 1/21/2

1.1. Relojes Atómicos corren mas lentos cuando se Relojes Atómicos corren mas lentos cuando se mueven. mueven.

1 1 sec/1 000 000 sec en 675 mph.sec/1 000 000 sec en 675 mph.



Se eleva para v → c

/ 0.85v c =

/ 0.95v c =

/ 0.99v c =

( )

( )

( )

( )

2

2 2

,

2

2

,

,

1

1 /

1 /

1 /

x

x

y z

x

x

y z

vt

vxt t

c

v c

v

v c

x

y z

u

u

x

y z

u

c

u

u

u v

γ

γ

γ

γ

′

′ ′

= −

= =

′ = −

=−

−′

′

=−

= −

Transformaciones de Lorentz• Transformaciones RELATIVISTICAS.

– Se reduce a transformaciones Galileana para v << c (i.e., γ = 1).

– Consistente con las ecuaciones de Maxwell.

• El sistema S’ de Referencia se mueve con velocidad v a la derecha c/respecto a un sistema estacionario S .

γ

v/c

Nota: signos reversos para transformaciones inversas


( )( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

1

1 1

11

x t

x

xt

x y

x

x t

t

x y z c

v

v

v

v

c

t

z c t

γγ

γ

β

γ

γ

γ

′

′ ′

′

′ ′ ′ ′+

= −

= +

− = +

= =−−

==

++ +

Transformaciones de Lorentz : Derivación corta

• Empieza con transformaciones Galileanas que tienen una velocidad-dependiente de γ

• Se escribe abajo dos ecuaciones “invariantes” en ambos sistemas que describen la llegada de la onda esfera de luz partiendo desde el origen en t = t’ = 0.

• Se resuelve para t’’ sustituyendo x’ por x

• Se resuelve para γ por resolver simultáneamente las ecuaciones para x’, t’ y las invariantes.


Transformación de Lorentz : Problema de Velocidades Relativas

x

y

S = earth

v = 0.99c S’

ux = – 0.99c

( ) ( )2 2

0.99 1.980.99995

1.98011 1 0.99

0.99

0.99

x

x

u c

u c

v c cc

v c c c

−− − −= = =− − −

= −x'u

Dos naves espaciales aproximan cada una a la otra con la misma velocidad (0.99c) relativa a la Tierra. Encontrar la velocidad de la nave espacial relativa a la otra.

Ponemos el sistema S en reposo de la Tierra y el sistema S’ será la nave espacial moviéndose con velocidad v a la derecha relativa a la Tierra. La 2º nave espacial se mueve a la izquierda es entonces una “partícula” moviéndose con velocidad u relativa a la Tierra. Ahora, encontrar la velocidad u’ de esta 2º nave espacial en el sistema de referencia.

Note que las naves espaciales van aproximandose con menos que la velocidad de la luz, asi esto es verdadero.


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