clase5-ESTADISTICA1

7/23/2019 clase5-ESTADISTICA1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

HUANCAYO 2014- II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (A)

Ing. Eli Teobaldo Caro Meza

CURSO: ESTADISTICA



b) DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS:

Si n valores de una variable cuantitativa X

estan organizados en una frecuencia de k

intervalos, donde:

m1, m2 , …, mk son las marcas ! clas! "

# 1, # 2 , …, # k son las #r!c$!nc%as abs& r!s'&

Entonces la media aritmética es:

n

m f

datosde

total Suma x

k

i

ii∑=

−

== 1

*

#



E(!m'lo:

Calcule la media aritmética de la

distribución de frecuencias por intervalossiguientes:

Ii fi

[26, 34[ 1

[34, 42[ 2

[42, 50[ 4

[50, 58[ 10

[58, 66[ 16[66, 74[ 8

[74, 82] 4

45



SOLUION: Tenemos:

La media aritmética ser:

45

2694

45

*

datosde#

totalSuma

7

1 ===∑=

−i

ii m f

x 867,59=−

x

Ii !i f i f i"!i

[26, 34[ 30 1 30

[34, 42[ 38 2 76

[42, 50[ 46 4 184

[50, 58[ 54 10 540

[58, 66[ 62 16 ##2

[66, 74[ 70 8 560

[74, 82] 78 4 312

45 26#4



*& PROPIEDADES DE LA +EDIA ARIT+ETIA

a$ %a &'!a (o(al de n )alore& *'+a !edia e& e&ig'al a n. En efe*(o, -ara n da(o& noagr'-ado& + agr'-ado& re&-e*(i)a!en(e, &e(iene

b$ /i a la )ariable &e le a*e la (ran&for!a*inlineal a b, e& de*ir &i a *ada 'no de lo&n )alore& i de e& (ran&for!ado en el )alor+i ai b de , &iendo a + b *on&(an(e&,en(on*e&, a !edia de lo& n )alore& +i e&

∑∑=

−−

=

==k

i

ii

n

i

i xn x f xn x11

;

b xa y +=−−



c! La suma algebraica de las desviaciones de n

datos " i con respecto a su media " es igual acero# Se tiene para datos no agrupados $

agrupados:

d! La suma de los cuadrados de las desviaciones

de n datos con respecto a su media es

minima#

#

∑ ∑=

=

−−

=−=−n

i

k

i

iii x x f x x1

1

0)(*;0)(

∑=

−

==−n

i

i xcc x1

2 si minima,)(



+EDIA PONDERADA

La media ponderada se obtiene por lasiguiente relación:

E%emplo: &n alumno en el semestreanterior 'a obtenido (( en el curso ) de *créditos, (+ en el curso de - créditos, $

(. en el curso C de + créditos, entoncessu promedio de notas /ponderado por loscréditos! es:

∑

∑

=

=−

=

+++

+++=

k

i

i

k

i

ii

k

k k

w

xw

www

xw xw xw x

1

1

21

2211

)*(

...

)*(...)*()*(



S0L&C102:

E3E45L0:

Los sueldos del mes de Enero de 677empleados de una empresa tienen una media

de 6+7 /nuevos soles por (7!#a! Si el .78 de los empleados son 'ombres /el resto

son mu%eres! $ tienen un sueldo promedio de 6*7,9Cunto es el sueldo medio de las mu%eres enenero

b! Si para el mes de %ulio, se propone un aumentogeneral ;ue consiste de un aumento variable del+78 a cada sueldo de enero mas una bonificaciónde +7, 9Cunto dinero adicional necesitara laempresa para pagar los sueldos incrementados

92,1212

155

345

)3*16()4*13()5*11(==

++

++=

−

x



RELAION ENTRE +EDIA , +EDIANA +ODA

(! Si la distribución de los datos es simétrica,

entonces, la media, la mediana $ la modatienen el mismo valor /fig 6#6 a!# Esto es:

6! Si la distribución es asimétrica de cola a laderec'a, entonces, la moda es menor ;ue lamediana $ esta a su vez es menor ;ue lamedia /fig# 6#6 b!# Es decir:

+! Si la distribución es asimétrica e cola a laiz;uierda, entonces, la relación es /fig# 6#6 c!:

Mo Me x ==−

−

<< x Me Mo

Mo Me x <<−





-# 5ara distribuciones unimodales $ de marcaa

as%m!-r.a, se tiene la siguientes relaciónemp<rica:

*# Los tres promedios pueden calcularse también para distribuciones de frecuencias conintervalos de diferente longitud, siempre ;ue

puedan determinarse o las marcas de clase/para la media! o de limite inferior L i delintervalo /para la mediana $ la moda!#

)(*3 Me X Mo X −≅−−−



LA +EDIA GEO+ETRIA

La media geométrica de n valores positivos " (,

" 6 , =, " n es:

5or e%emplo, la media geométrica de los valores+, >, 6? es igual a:

La media geométrica se aplica para promediar: razones /a@b!, <ndices /a@b en 8!, proporcionesAa@/aBb!, tasa de cambio A/aDb!@b, ;ue var<ancon el tiempo, etc#

nn x x x x *...** 21=

−

927*9*33==

−

G x



E%emplo (:

Si la producción de un bien 'ae"perimentado un crecimiento del +78del primero al segundo ao $ unincremento del +*8 del segundo al

tercer ao $ un decrecimiento del (*8del tercer al cuarto ao#

a! Calcule la tasa promedio de cambio $ el porcenta%e promedio de crecimiento de la producción de los tres Fltimos aos#

b! Calcule la producción del ;uinto ao, si ladel primer ao fue (77#



E%emplo 6:

Supongamos ;ue la población de una ciudad

aumento de (7777 a (6.77 en el periodocomprendido del ao 6777 al ao 677- como se

indica en el cuadro# Calcule la tasa promedio $

el porcenta%e promedio del crecimiento de la

población#



LA +EDIA AR+ONIA

La media armónica de n valores no nulos " (, " 6 ,

=, " n es un numero real, dado por:

5or e%emplo la media armónica de ., -, $ + es -# La media armónica se aplica para promediar

datos cu$as unidades de medición son

cocientes de unidades de medición de dosvariables, por e%m# Gatos e"presados enkm@'ora# Siendo una formula practica la sgte:

∑=

−

=n

i i

H

x

n x

1

1

2vaia!ledemedi"ionesdeotal

1vaia!ledemedi"ionesdeotal=

−

H x



20T): La media armónica es siempre menor ;ue lamedia geométrica, esta a su vez es menor ;ue la mediaaritmética#

E%emplo (:

&na persona mane%ando su automóvil recorre los primeros (7 km a .7 km por 'ora $ los siguientes (7 kma ?7 km por 'ora, calcule la velocidad promedio#

E%emplo 6:

&na empresa de transporte gasta S@#-77 en latas de

aceite ;ue cuestan S@# (7 la docenaH S@# *77 en latas;ue cuestan S@#(6,*7 la docenaH S@# .77 mas en latas;ue cuestan S@# 67 la docena $ S@# +77 en otras ;uecuestan S@# 6* la docena# Calcule el costo promedio pordocena de las latas de aceite#

−−−<< x x x G H

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