Clases  1  y  2    Semana  5  Matemática    Sexto  Básico  

     Objetivo  de  las  clases:  Conocer,  comprender  y  aplicar  el  Mínimo  Común  Múltiplo.      Contenidos  a  recordar  previos:    -­‐  Múltiplos  de  un  número  natural.    -­‐  Descomposición  de  un  número  natural  en  factores  primos.         Recordemos  un  poco  los  múltiplos  de  un  número  natural:  Los  múltiplos  de  un  número  natural  es  el  producto  que  se  obtiene  al  multiplicar  dicho  número  por  algún  número  natural.        El   mínimo   común  múltiplo   (Llamado   también  M.C.M)   sirve,   entre   otras   cosas,   para  sumar   y   restar   fracciones   con   distinto   denominador   (Contenido   que   viene   en   las  próximas  semanas)    Para  encontrar  el  M.C.M.  veremos  dos  formas,  esta  ,  a  continuación  es  la  primera.    Por  ejemplo:                

1. Calculemos  los  primeros  siete  múltiplos    del  4  y  6.    M(4):   4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…    M(6):   6, 12, 18, 24, 30, 36…    ¿  Cuales  de  los  múltiplos  del  4  y  6  se  repiten?      Vemos  que  se  repiten  el  12,  el  24,  y  si  siguiéramos  tendríamos  el  36,    48,  60  etc…    El  Mínimo  común  múltiplo  es  el  múltiplo  más  pequeño  que  se  repite  entre  dos  o  más  números.    Entonces,  el  M.C.M  entre  4  y  6    es  12.        Una  definición  más  formal  del  Mínimo  Común  Múltiplo  es:    “El  Mínimo  Común  Múltiplo  de  dos  o  más  números,  es  el  menor  de  sus  múltiplos  comunes.   Se   representa   como   m.c.m.   (a,   b   ,c   ,   ...)   “   Donde   a,   b,   c   son   números  naturales.       MÍNIMO                       COMÚN                “MÁS  PEQUEÑO”                                  “QUE  SE  REPITA  ENTRE  AMBOS  NÚMEROS  ”      

Y  múltiplo….bueno,  múltiplo  ¿no?.  O  sea,  el  m.c.m.  Es  el  múltiplo  más  pequeño  que  se  repita  entre  ambos  números.      

2. Veamos  otro  ejemplo:    Calculemos  el  m.c.m.  entre  8  y  10.  También  escrito  m.c.m.  (8,  10)    M(8):     8,16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…    M(10):     10,20, 30, 40, 50,60, 70, 80…    Vemos  que  los  múltiplos  comúnes  (o  los  que  se  repiten)  son  el  40  y  el    80.  (Ojo,  que  existen  infinitos  múltiplos  comunes)    Pero,  el  más  pequeño,  o  sea  el  MÍNIMO  es  40.      Entonces,  el  m.c.m.  entre  8  y  10  es  40.    m.c.m  (8,  10)=  40.      

3. Otro  ejemplo:  m.c.m.  (  6  y  9)    M(6)  :   6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…    M(9):     9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90,…    Entonces,  los  múltiplos  comunes  son  :  18,  36,  54…      Pero,  el  más  pequeño  (mínimo)  de  ellos  es  el  18.    Entonces,  el  m.c.m.  (6,  9)  =  18.      Existe  otra  forma  para  encontrar  el  m.c.m.,  y  suele  utilizarse  cuando  los  números  son  más  grandes,  aunque  también  puede  usarse  para  números  pequeños.      Segundo  Método:  Buscar  los  divisores  primos  de  los  números  mediante  una  tabla.    Por   ejemplo,   tomemos   los   números   (4   y   6)   y   busquemos   su   m.c.m.   mediante   este  método:                          

 a)  Recordamos  los  números  primos  (2,  3,  5,  7,  11,  13,  …)  b)Ocupamos  el  2  para  dividir  a  ambos  números  (4  y  6)  y  decimos:  “el  4  es  divisible  por  2?.  El  6  es  divisible  por  2?  c)  Como  ambos  son  divisibles  por  2,  dividimos.  Anotando  abajo,  en  los  siguientes  casilleros  los  resultados  (en  este  caso,  2  y  3)  d)  De  nuevo,  preguntamos  si  2  dividen  a  alguno  de  esos  números  (2  y  3).    Obviamente,  divide  a  2,  dividimos  2:2,  anotamos  el  resultado  en  el  

otro   casillero,   pero   como   2   no   divide   a   3,   anotamos   el   3   en   el   siguiente   casillero.  Ahora,  tenemos  los  números  1  y  3.  Como  1  no  es  divisible  por  algún  numero  primo,  lo  dejamos  hasta  el  final.  Debemos  seguir  entonces  con  el  3,  el  siguiente  número  primo.  e)  Preguntamos:  el  3  divide  al  3?  Obviamente  lo  divide,  entonces  calculamos.  3:3  =  1  f)  Como  ya  llegamos  a  solo  unos,  nos  queda  solamente  multiplicar  los  divisores  primos  que  encontramos  (los  números  que  están  en  rojo).  2 ∙ 2 ∙ 3 = 12  .      Si  lo  hacemos  con  el  1er  método:  Múltiplos  del  4:   4,8,12,16,20, 24,28,…        Múltiplos  del  6:   6,12,18,24,30, 36,42…      Los  múltiplos  comunes(que  se  repiten)  son  12,  24,  etc…    El  MENOR  (Mínimo)  es  el  12.  Por  lo  tanto,    El  m.c.m(4,  6)=12    Resumiendo:   Si   nos   piden   encontrar   el   m.c.m.   entre   dos   o   más   números,   debemos  encontrar   divisores   primos   de   esos   números,   hasta   que   lleguemos   a   1   en   todas   las  divisiones,   cuando   aparezcan   sólo   unos,  multiplicamos   todos   los   divisores   primos   y  así  encontraremos  el  m.c.m.  (  Igual,  hay  otras  explicaciones  en  los  pdf.  “minimo  común  múltiplo”).    Además,  en  las  indicaciones  van  otros  links  con  videos  de  youtube  donde  explican  este  procedimiento.    Veamos   otro   ejemplo,   ocupando  este   procedimiento:   Busquemos   el  m.c.m.  entre  10,  14  y  20.      10   14   20   :  2  10:2=    5  

14:  2=    7  

20:  2=  10  

:  5  

5:5=  1  

7   10:  5=  2  

:  7  

1   7:7=  1  

2   :  2  

1   1   2:  2=  1  

 

4   6   :  2        2  

 3  

 :  2  

 1  

 3  

 :3  

1   1    

Como  vemos,  buscamos  el  primer  divisor  primo,  que  divida  a  alguno  de  esos  tres  números  (10,  14,  20)  ,  el  divisor  es  el  2.  Calculamos  los  resultados  de  esa  división,  los  que  son  5,  7  y  10.      Ahora,  buscamos  divisores  primos  que  dividan  al  5,  7  y  10;  aquí  seleccionamos  al  5,  porque  divide  al  5  y  al  10.  Como  5  no  divide  al  7,  lo  dejamos  tal  cual,  abajo.  Una  vez  calculadas  las  divisiones,  vemos  que  el  resultado  de  5:5  es  1.  Como  ya  llegamos  a  1,  nos  quedan  solo  dos  números  que  calcular  sus  divisores.    Entonces,  nos  queda  solamente  buscar  divisores  primos  para  el  7  y  el  2  (resultado  de  10:5=2).  Entonces,  dividiremos  por  7,  para  que  nos  quede  otro  uno,  y  al  final  dividiremos  por2,  para  que  aparezca  el  último  uno.      

 Ahora,  calculamos:      

2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 2 = 140.  140  es  el  m.c.m.  entre  (10,  14,  20)      Aquí   te   dejo   unos   links,   en   donde   se   explica   de  mejor  manera   este  método:   (no   es  necesario  que  aprendas  este  método,  sólo  ve  cual  de  todos  te  acomoda  más)    https://www.youtube.com/watch?v=n-­‐KFb-­‐iRA3s    https://www.youtube.com/watch?v=OIIrkFFacxU    (Este  video,  es  de  un  profesor  extranjero,  cuando  dice  “tercera  de”  o   “quinta  de  “  se  refiere  a  que  está  dividiendo  por  3  o  5,  etc.)      https://www.youtube.com/watch?v=XmRg6UBOBiA    (Este  video,  es  del  mismo  profesor  de  arriba,  pero  resume  muy  bien  los  dos  métodos  que  vimos)