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blackjack141
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Es una operacin que permite efectuar diferentes
maneras o selecciones que podemos formar con los
elementos de un conjunto dado.
Nos permite resolver problemas prcticos. Por ejemplo,
cuntas placas de automviles podemos formar
utilizando un conjunto dado de letras y dgitos.
Nos sirve de base para la solucin de problemas de
probabilidades.
Es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n
inclusive. Se le representa por n! (se lee n factorial) :
n! = n (n -1) ( n- 2).... 3 x 2 x 1 = n ( n- 1)!
Por definicin : 0! = 1
Ejemplo:
Sean:
1! = 1
3! = 3 x 2 x 1 = 6
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Una permutacin de n objetos diferentes tomados de r en r
es una ordenacin de r objetos entre los n dados. Es decir,
la cantidad de maneras en que se pueden disponer en
trminos de orden:
FRMULA:)!(
!
rn
nPrn
La Empresa Minera Golden S.A.C. acord elegir dentro de
su Directorio conformado por 10 miembros, los cargos de
Presidente, Secretario y Tesorero. Determinar el nmero de
diferentes arreglos de los 3 elegidos entre los 10 miembros
del Directorio.
720
)!310(
!10
)!(
!
310
310
P
P
rn
nPrn
DESARROLLO:
Se llama combinacin de n elementos tomados de r en r, a los
grupos que se pueden formar con esos elementos, tales que, dos
grupos se consideran distintos nicamente cuando tienen algn
elemento diferente. Por lo tanto, el inters de las combinaciones
siempre se relacionan con el nmero de diferentes subgrupos que
pueden formarse con n objetos.
)!(!
!
rnr
nCrn
Supongamos que 3 miembros de la Empresa Minera
Golden S.A.C. de un total de 10 miembros van a ser
escogidos para ocupar los cargos de Presidente,
Secretario y Tesorero. Determinar el nmero de
grupos diferentes de 3 personas que pueden ser
escogidas sin tener en cuenta los diferentes cargos en
la que cada grupo podra ser escogido.
120
)!310(!3
!10
)!(!
!
310
310
C
C
rnr
nCrn
1.1. EXPERIMENTO
Accin sobre la cual vamos a realizar una medicin u observacin.
Determinstico (Cuando el resultado se puede determinar).
No determinstico (Cuando el resultado NO se puede determinar).
1.2. RESULTADO
Toda posible consecuencia de realizar un experimento.
1.3. ESPACIO MUESTRAL - S
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
1.4. EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral.
2. PROBABILIDADES: DEFINICIN
Es la probabilidad de que realizado un experimento ocurran
determinados resultados
3. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
3.1. ENFOQUE CLSICO
Todos los resultados posibles de realizar un experimento tienen la
misma probabilidad de ocurrir.
Hallar la probabilidad de obtener el numero 5 al lanzar undado.
Desarrollo
1667,0
51
1
6,5,4,3,2,1
5
5
x
x
A
P
P
ba
aP
S
a = Posibilidad Favorable
b = Posibilidad Desfavorable
4. PROBABILIDAD DE EVENTOS
4.1. PROBABILIDAD DE UN EVENTO AISLADO
No tiene vinculacin con otro evento.
Determinar la probabilidad de que de una baraja de
naipes bien mezclada se extraiga el as de espadas.
P A( ) , 1
520 0192
4.2. PROBABILIDAD DE DOS O MS EVENTOS.
4.2.1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos si no pueden ocurrir simultneamente. La
probabilidad del evento A B es:
0)()( ==
U
PBAP
P A B P A P B( ) ( ) ( )U = +
Cul es la probabilidad de extraer una dama o un rey
de una baraja de naipes bien mezclada?.
DESARROLLO
1538,0)(
52
4
52
4)(
)()()(
52
4)(
52
4)(Re
52
BAP
BAP
BPAPBAP
BPDama
APy
cartasS
4.2.2. EVENTOS NO EXCLUYENTES.
Dos o ms eventos no son excluyentes o conjuntos
cuando es posible que ocurran ambos.
P A B P A P B P A y B( ) ( ) ( ) ( )U = + -
Sea A el evento de obtener un As y B el evento de
obtener un corazn en una sola oportunidad de sacar
una carta de la baraja. Determinar la probabilidad de
sacar un As o un corazn o ambas en una sola
oportunidad.
3077,0)(
52
1
52
13
52
4)(
)()()()(
52
1)(
52
13)(
52
4)(
BAP
BAP
BAPBPAPBAP
ByAPcoraznyAs
BPCorazn
APAs
4.2.3. EVENTOS INDEPENDIENTES.
Dos o ms eventos son considerados independientes si los
eventos en ningn modo se afectan uno al otro.
P A y B P A P B( ) ( ) ( )
Una nfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se
extrae una bola de la nfora y despus se la devuelve
al nfora. Otra bola es extrada despus de la
devolucin. Determinar la probabilidad de que ambas
extracciones sean bolas rojas.
74)(
2
7
4)(
1
BPRoja
extraccin
APRoja
extraccin
3265,0)(
7
4
7
4)(
)()()(
AyBP
xAyBP
BxPAPAyBP
4.2.4. EVENTOS DEPENDIENTES
Si A y B estn relacionados de tal manera que la
ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A , entonces
A y B son denominados eventos dependientes y la
probabilidad del evento B es llamado probabilidad
condicional.
Una nfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se
extrae una bola de la caja y no es regresada a la caja
antes de sacar la segunda bola. Determinar la
probabilidad de que ambas bolas sean rojas.
632
7
4)(1
A
BPRojaExtraccin
APRojaExtraccin
2857,0)(
6
3
7
4)(
)()(
AyBP
xAyBP
A
BxPAPAyBP
DESARROLLO
5. TEOREMA DE BAYES
Si A1; A2;...; An son n eventos mutuamente excluyentes, de loscuales al menos uno de los Ai (i = 1,2,... n) debe ocurrir, y sea Bun evento cualesquiera del espacio muestral S , la Probabilidadcondicional de la ocurrencia de Ai cuando el evento B ha ocurridoes:
n
n
i
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
B
AP
....2
2
1
1
1
1
Ai
BPAP
Ai
BPAiP
B
AP
n
i
i
1
1
1. En un depsito hay 3000 cajas de plumas de las marcasA,B,C,D,E. De ellas hay 500 cajas de plumas deterioradas.Las cajas se distinguen de la manera siguiente:
MARCA TOTAL DE CAJASTOTAL DE CAJAS
DEFECTUOSAS
A 200 50
B 300 40
C 1000 300
D 800 80
E 700 30
Total 3000 500
Se elige en forma aleatoria una caja y se le encuentradefectuosa determinar la probabilidad de que la cajadefectuosa sea de la marca A.
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
1
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
B
AP
700
30
3000
700
800
80
3000
800
1000
300
3000
1000
300
40
3000
300
200
50
3000
200200
50
3000
200
1
xxxxx
x
B
AP
1,0
3000
500300
50
11
B
AP
B
AP
En cuntas formas diferentes puede elegirse Presidente, Secretario y Tesorero para un Club Deportivo entre 8 candidatos
En un examen para ocupar un cargo en el Departamento de Control de Calidad de una Organizacin Empresarial en Ingeniera se presentaron 4 candidatos.
De cuntas diversas maneras pueden ser asignados los 4 cargos diferentes a
los 4 candidatos?
Para integrar la Comisin de Promocin Bodas de Plata se inscribieron 8 personas. Cuntas comisiones diferentes de 6 personas pueden formarse?
En cuntas formas diferentes puede elegirse 2 profesores asociados entre 6 candidatos y 3 profesores principales entre 5 candidatos para el Consejo de
Facultad.
Para realizar una campaa en Drogadiccin y Alcoholismo se debe escoger a 4 mdicos y 9 psiclogos. Estos se deben elegir entre dos grupos: uno de 7
mdicos y otro de 12 psiclogos De cuntas maneras diferentes pueden
formarse?
F I N