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1
EL PLANO CARTESIANO
Primeramente veamos la noción de par ordenados de números reales , si tenemos un par de
números reales a y b (no necesariamente distintos) y deseamos distinguir uno de los números ,
por ejemplo a , como el primer número y el otro b , como el segundo , escribimos los
números entre paréntesis y separándolos con una coma como (a , b).
Lo consideramos como un par ordenado de números reales .
Decimos que dos pares ordenados de números reales (a , b) y (c , d) son iguales si y solo si
a = c y b = d .
Esto se tiene (a , b) = (c , d) si solo si a =c y b = d.
Vamos ahora a identificar el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales
(llamado plano numérico) con los puntos en el plano geométrico.
El camino a seguir se atribuye al matemático Francés Rene Descartes (1596 – 1650) , a quien
se le reconoce como el inventor de la geometría analítica en 1637 (conocida actualmente por
geometría cartesiana o geometría analítica)
En el plano geométrico se eligen dos rectas perpendiculares de referencia (llamados ejes
coordenados) , uno horizontal (llamado eje de las x) , y el otro vertical (el eje de las y) . Su
punto de intersección , se indica por O y se denomina origen . Se escoge una unidad de longitud
(usualmente la longitud de unidad sobre cada eje es la misma) . Establecemos la dirección
positiva en el eje x a la derecha del origen , y la dirección positiva en el eje y arriba del
origen.
Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones , llamados cuadrantes , como se
indica en la figura 1.
Ahora asociamos una pareja ordenada de números reales (x , y) con un conjunto P en el plano
geométrico .
La distancia de P desde el eje Y (considerada como positiva si P está a la derecha del eje Y,
y negativa si P está en la izquierda del eje Y) se llama la abcisa (o coordenada x) de P y se
denota por x . La distancia de P desde el eje X (considerada como positiva si P está arriba del
eje X y negativa si P está abajo del eje X) se llama la ordenada (o coordenada y) de P y se
denota por y . L a abcisa y la ordenada de un punto se llaman la coordenadas cartesianas
rectangulares del punto . A cada punto le corresponde una única pareja ordenada (x , y) y a
Eje X
origen
Eje Y
-1
-2
-3
-
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3
2
1
-
Cuadrante Cuadrante
Figura 1
Y
Cuadrante III
P (x, y)
x < 0 ; y < 0
Cuadrante II
P (x, y)
x < 0 ; y > 0
Cuadrante I
P (x, y)
x > 0 ; y > 0
Cuadrante IV
P (x, y)
x > 0 ; y < 0
X
Figura 2
2
cada pareja (x , y) de le asocia un solo punto . Esta correspondencia uno a uno se llama un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares . En la figura 2 se ilustra un sistema de
coordenadas cartesianas rectangulares con algunos puntos.
En la figura 3 se dan algunos ejemplos . El punto de coordenadas (3 , 2) esta situada tres
unidades a la derecha del eje Y, y dos unidades encima del eje X.
El número 3 es la coordenada x del punto , y el 2 la coordenada y.
2.-FUNCIONES
Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto A y el conjunto B; intuitivamente, una función
del conjunto A en el conjunto B, es una regla (o correspondencia) que asocia a cada objeto de
A uno y sólo un objeto en B.
Las funciones se denotan con las letras tales como f, g , h , ... , etc.
Decir que f es una función de A en B, se simboliza por:
ó por : BAf : ó por : .BA f
Si la función BAf : , hace corresponder a un ,Ax el único elemento ,By se denota
con y = f (x) llamada regla de correspondencia.
Ejemplo 1
Sea A = 0,-1, 3, 5 , B = Z y f : A B l a función definida por la regla de correspondencia
y = f (x) = x + 2 entonces:
f
A B
(3, 2)
(4, -3)
(-2, 1)
(-3, -4)
Eje X
Eje Y
- 1
- 2
- 3
- 4
-
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
-
Figura 3
3
Z A - 1
0
-1
3
5
- 2
0
+1
+2
+3
+4 +5
+6
+7
f(0) = 2
f(-1) = 1
f(3) = 5
f(5) = 7
Ejemplo 2
Una compañía de seguros examinó los historiales de un grupo de personas hospitalizadas por
una cierta enfermedad. Se descubrió que la proporción total de los que habían sido dado de
alta al final de x días de hospitalización está dada por y = f (x) en donde
3
300
3001)(
xxf .
a) Calcule f(0) b) Calcule f(300) c) Interprete el resultado de b)
Solución
a) f (0) = 0
b) )300(f 8
7
8
11
2
11
600
3001
300300
3001
333
c) Significa que al final de 300 días se había dado de alta al 8
7 del grupo.
¿Al final de cuántos días se había dado de alta al 0.999 del grupo ?
2.1 COMENTARIOS:
1) El conjunto A, mencionado anteriormente se denomina el dominio de la función. Los
objetos de B, asociados con los objetos en A, forman otro conjunto denominado imagen de
f (o rango de f).
2) En la regla de correspondencia )(xfy decimos que:
i) y es la imagen de x , mediante la función f.
ii) x es la pre-imagen de y, mediante la función f.
iii) y depende de x ; es decir y es variable dependiente , mientras que x es la variable
independiente.
3) Las palabras “regla”, “correspondencia” y “asocia” puede que no tenga la misma
significación para todas las personas, de modo que reformularemos el concepto(intuitivo) de
función por un camino diferente, basándolo en el concepto de conjunto.
Para dar la definición formal de función necesitamos primero la noción de par ordenado de
objetos. Veamos:
4
A x B = (a, b) / a A y b B
Si tenemos un par de objetos a y b (no necesariamente distinta) y deseamos distinguir uno de
los objetos, por ejemplo a, como el primer elemento y el otro, b como el segundo,
encerramos los objetos en un paréntesis (a, b) lo consideramos como un par ordenado. Más
precisamente tenemos la siguiente
Definición : Dados dos conjuntos A y B y los elementos a A y b B , se llama par
ordenado de componentes a y b , y se denota por (a , b) al conjunto {{a} , {a , b}}. En el par
ordenado (a , b) , a recibe el nombre de primera componente ; y b , el nombre de segunda
componente del par ordenado .
Decimos que dos pares ordenados (a , b) y (c , d) son iguales , esto es
Definición .- Dados los conjuntos A y B diferentes del vacío , se llama producto cartesiano de
los conjuntos A y B , y se denota por A x B , al conjunto formado por todos los pares
ordenados de la forma (a , b) tales que a A y b B.
Es decir :
Definición .- Dados dos conjuntos A y B diferentes del vacío , diremos que f es una función
de A en B , si f es un subconjunto de A x B que cumple con la condición : “Para cada x A
existe uno y sólo un elemento y B tal que (x , y) f ”
El conjunto de todos los elementos x que aparecen como primeras componentes de pares
(x , y) de f se llama el dominio de f .
A menudo se denota el dominio de f como Dom(f) ó Df .
Dom(f) = Df = {x A / (x , y) f } = A
El conjunto de todos los segundos elementos y se denomina el rango de f (conjunto de
valores de f)
A menudo se denota el rango de f como Ran(f) ó Rf
Ran (f) = R f = {y B / (x , y) f }
Ejemplo
Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, un estudiante de sicología realizó un
experimento en el que de modo repetido se enviaba una rata a través de un laberinto de
(a , b) = (c , d) si solo si a = c y b = d
5
laboratorio. Suponga que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la
n-ésima prueba era aproximadamente f(n) = 3 + n
12 minutos.
a) ¿Cuál es el dominio de la función f?
b) ¿Para qué valores de n tiene significado f(n) en el contexto del experimento psicológico?
c) ¿Cuánto tiempo se tomó la rata para atravesar el laberinto en la tercera prueba?
d) ¿En qué prueba atravesó la rata por primera vez el laberinto en 4 minutos o menos?
e) Según la función f. ¿qué le sucederá al tiempo requerido para que la rata atraviese el
laberinto a medida que aumenta el número de pruebas?, ¿podrá la rata atravesar alguna vez el
laberinto en menos de 3 minutos?
Solución
a) f(n) = 3 + n
12 Df : n 0, todos lo números reales n excepto n = 0.
b) Todos los enteros positivos n (pues n es número de pruebas)
c) f(n) = 3 + n
12 f(3) = 3 +
3
12 f(3) = 7minutos.
d) 3 + n
12 = 4 n = 12.
e) El tiempo requerido se aproximará a 3 pero sin exceder nunca a 3 minutos.
Determinación de una función .- Una función está bien determinada o bien definida
cuando se conoce su dominio y su regla de correspondencia.
OBSERVACIÓN :
i) Sabemos que si la función f hace corresponder a un x A , el único elemento y B, se
denota con y = f(x) llamada regla de correspondencia conviene darse cuenta que los objetos x
y f(x) que aparecen en los pares ordenados (x , f(x)) de una función no tiene por que ser
números sino que puedan ser objetos de cualquier clase .
ii) Según lo anterior , la función f puede escribirse como :
f = {(x , y) / y = f(x) , x D f = A}
iii) Como f transforma cada x del dominio en un elemento y del rango , podemos afirmar que
f transforma al conjunto A en el conjunto Rf .
Es decir : f(A) = Rf B , luego Rf = f(A) = {f(x) / x A} es el conjunto imagen de A
mediante f .
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sea f una función de A en B . Si A IR y B IR , entonces decimos que f es una función
real de variable real .
NOTA : En lo que sigue de este capitulo se estudiará funciones reales de variable real
6
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
La grafica de la función f es la representación geométrica de los pares ordenados de la
función. Es decir gráf(f) = (x, y) / y = f(x), x Df , donde a los pares ordenados se les
considera como puntos del plano IR2.
Ejemplo 1
Un paciente que se recupera de una intervención quirúrgica se mantiene en observación para
controlar cualquier probable infección, por medio de una gráfica de la temperatura. La
temperatura del cuerpo es una función compleja que depende de factores coma la pérdida de
sangre, los medicamentos que se administran y la infección. En vez de aplicar un modelo
complejo de la dependencia respecto a cada factor, los médicos eligen sencillamente registrar
la relación entre tiempo y la temperatura del organismo del paciente después de la operación
quirúrgica.
Supóngase que después de la operación mediante instrumentos electrónicos se obtiene un
registro de la temperatura del cuerpo en función del tiempo, como el de la figura.
La gráfica muestra que la temperatura del paciente ascendió lentamente después de la
operación y luego se niveló. Más tarde la temperatura del paciente subió de manera un tanto
brusca, pero en seguida bajó regresando a la normal.
Se observa que la temperatura máxima se registró alrededor de 10 horas después de la
operación. De hecho, los registros muestren que probablemente en las cercanías de la décima
hora, al paciente se le administraron medicamentos para aliviar la fiebre.
Ejemplos 2
Supongamos que disponemos de los datos relativos a las temperaturas medias registradas en
una determinada población durante los meses de un año.
39
37
35
2 4 6 8 10 12 14
Tiempo (horas)
Tem
per
atura
del
cuer
po º
C
7
Meses Temperaturas en ºC
Enero
febrero
marzo abril
mayo
junio
julio agosto
setiembre
octubre noviembre
diciembre
-10
-15
+7 +10
+20
+20
+28 +20
+10
+5 0
-8
La gráfica muestra que la temperatura máxima se registró el mes de julio. Se observa que los
segmentos decrecientes de julio a diciembre indican un continuo descenso de la temperatura
media, que sufre una variación mayor de agosto a setiembre con una caída de 10°.
PROPIEDAD DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION
f es una función real de variable real sí y sólo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo
más en un punto.
Ejemplo.
Las gráficas siguientes no representan una función
FUNCIONES ESPECIALES O ELEMENTALES
1. FUNCION LINEAL
Una función lineal está determinado por:
- Regla correspondencia: y = f (x) = mx + b , en donde m y b son constantes reales.
- Su dominio es: D f = R y su rango es: R f = R
La gráfica de una función lineal es una recta inclinada u horizontal.
-10
0
+20
+10
D N O
S
A Jl J My A Mz F E 0
-15 -10 - 5
+ 5
+10
+15
+20 +25
+30
Y
O O X
Y Y
X X
8
Y Y Y
X X X
X
O O O
O
Pendiente m (0, b)
y = mx + b
y = mx + b
(o, b) y = b
(o, b) y = b
Y
m > 0 m < 0 b > 0 b < 0
COMENTARIO
1) La constante m se llama pendiente de la recta.
2) Ya que dos puntos determinan una recta, para trazar la gráfica de una función lineal a partir
de y = mx +b , únicamente es necesario determina r las coordenadas de dos puntos en la
recta, situar ambos puntos y luego trazar la recta.
3) La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0 , donde A, B y C son constantes y donde B
no es ceros , es una línea recta no vertical; y en consecuencia su gráfica representa una
función lineal.
Ejemplo1. Trace la gráfica de 2x + 3y – 12 = 0.
Solución
De 2x + 3y – 12 = 0 despejando y obtenemos 4x32y para determinar dos puntos
hacemos:
6x0y
4y0x
luego:
(0,4) y (6,0) son los puntos.
Ejemplos 2. Trace la gráfica de y = f (x) = 2x + 4
Solución
Para determinar dos puntos hacemos:
2x0y
4y0x
luego (0,4) y (-2,0) son los dos puntos.
Y
5
4
3
2
1
- 6 -5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 X
Y
- 6 -5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 X
5
4
3
2
1
9
2 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Está determinada por:
Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c, en donde a, b y c son constantes y a 0.
Su dominio es Df = R
La gráfica es una parábola con eje focal paralelo al eje Y, completando cuadrados se obtiene:
a4
bc
a2
bxay
22
de aquí el vértice es a4
bc,
a2
bV
2
.
La parábola se abre hacia arriba si a > 0 ó hacia abajo si a < 0.
a > 0 , abre hacia arriba a < 0 , abre hacia abajo
OBSERVACIONES
1. Las parábolas de la figura son simétrica con respecto a una recta vertical , denominada
eje de simetría de la parábola . Es decir , si se doblara la pagina sobre una de esas rectas ,
coincidirían las dos mitades de la parábola correspondiente
2. El vértice es punto mínimo si a > 0 y el vértice es punto de máximo si a < 0 .
NOTA IMPORTANTE
Una manera geométrica de calcular el dominio y el rango de una función , consiste en:
1. Para hallar el dominio : proyectar la gráfica de la función sobre el eje X.
2. Para Hallar el rango : proyectar la grafica de la función sobre el eje Y.
Ejemplo 1.
Graficar y = f(x) = -x2 – 4x +12 . Hallar su dominio y su rango .
Solución
Aquí a = -1 , b = - 4 y c = 12
y = -x2 – 4x + 12 y = - (x +2 )
2 + 16
V = (-2,16) es el vértice de la parábola.
Dado que a < 0 , la parábola abre hacia abajo .
Intersección con el eje x , hacer y = 0
0 = -x2 – 4x + 12 - (x + 6)(x - 2) = 0
x = -6 y x = 2
Intersección con el eje Y , hacer x = 0 y = 12
X
Y Eje
vértice
X
Y
vértice
Eje
Y
Y 16
12
8
4
– 6 – 4 2 0 2 6 X
10
Df = R
Rf = 16,
Ejemplo 2. Graficar y = 2x2 – 12x
Solución
Y = 2(x – 3)2 – 18 el vértice es V = (3,-18).
Aquí a = 2 > 0 , la parábola abre hacia arriba ,
intersección con el eje X , hacer
y = 0 0 = 2x(x – 6) x =0 y x =6
Intersección con el eje Y , hacer x = 0 y = 0
Df = R
Rf = ,18
3. FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
Esta determinada por :
Regla de correspondencia : Su dominio es : D f = ,0 y R f = ,0 pues x 0
Ejemplo 1.
Graficar f (x) = - x . Hallar su dominio y su rango.
Solución
Df = ,0
Rf = 0,
Y
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6 X
- 5
-10
-15
-20
x = 3
O
Y
X
y = x
3
2
1
Y
0 1 4 9 X
11
Ejemplo 2.
Graficar y = 1x + 2 . Hallar su dominio y su rango .
Solución
Como sabemos graficar y = x lo que hacemos es desplazar 1 unidad a la derecha
(horizontalmente) y 2 unidades hacia arriba (verticalmente) . Es decir el (0,0) trasladamos al
(1,2).
Df = ,1
Rf = ,2
Ejemplo 3. Graficar y = 2x + 3 . Hallar su dominio y rango.
Solución
Usando la grafica de y = x , horizontalmente desplazamos 2 unidades a la derecha y
verticalmente desplazamos 3 unidades hacia arriba. (Es decir el (0,0) lo trasladamos al (2,3)).
D f = ,2
R f = 3,
4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Esta determinado por :
Regla de correspondencia :
0 xsi ,x
0 xsi ,x xy
Su dominio Df = R y Rf = ,0
Ejemplo 1. Graficar f(x) = x - 3 - 4 . Hallar su dominio y rango.
Solución
X
Y
5
4
3 2
1
- 6 -5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5
Y
5
4
3
2
1
- 6 -5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 X
y = - x y = x
O X
Y
12
Usando la grafica de y = x , horizontalmente desplazamos 3 unidades a la derecha y
verticalmente desplazamos 4 unidades hacia abajo , (es decir el (0,0) lo trasladamos al
punto(3,-4).
Intersección con el eje x.
Hacemos y = 0 x - 3 = 4
(x – 3) = 4 x = 7 ; x = -1
Intersección con el eje y
Hacemos x = 0 y = -1
Df = R y Rf ,4
Ejemplo 2. Graficar f(x) = x - 1 + x - 3 . Hallar su dominio y rango.
Solución
Los valores críticos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto , esto es : x – 1 = 0
y x – 3 = 0 x = 1 y x = 3.
x - 1 = -(x - 1) x - 1 = x - 1 x -1 = x - 1
x - 3 = -(x – 3) x - 3 = -(x – 3) x -3 = x – 3
Luego , si :
x 1,
f(x) = (x – 1) – (x – 3) = -2x + 4
x 3,1
f(x) = x – 1 – (x – 3) = 2
x ,3
f(x) = x – 1 + x – 3 = 2x – 4
f(x) =
3 xsi , 42x
3x1 si , 2
1 xsi ,2x 4
Df = R
Rf = ,2
X
Y
4
3
2
1
-2
-4
- 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7
1 3
Y
X
4
3
2
1
-2
-4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
13
5. FUNCIÓN MAXIMO ENTERO
Simbolizado por [ ] , está determinado por :
Regla de correspondencia : y = f (x) = [x]
y = [x] = n n x < n + 1 , n Z
Su dominio es : Df = R y su rango Rf = Z
Tabulando :
Ejemplo 1. Graficar la función y = f(x) = xx + 2 .Hallar su dominio y rango
Solución
Eliminando la función máximo entero :
[x] = n n x <n + 1 , n Z y = nx + 2 ; n Z
Tabulando :
x 1n,n y = nx + 2
x 1 ,0 y = x + 2
x 2 ,1 y = 1x + 2
x 3 ,2 y = 2x + 2
x 0,1 y = 1x + 2
x 1,2 y = 2x + 2
x 2,3 y = 3x + 2
Y así sucesivamente
Df = R y Rf = 3,2
x 1n,n y = [x] =n
x 1,0 0
x 2,1 1
x 3,2 2
x 4,3 3
x 0,1 -1
x 3,2 -2
4
3
2
1
-2
-4
0 1 2 3 4 5 6
Y
X -4 –3 -2 -1
-1
-2
-3
4
3
2
1
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X -1
-2
14
Ejemplo 2. Graficar la función y = f(x) = [x] – x. Halar su dominio y rango .
Solución
Eliminando la función maximo entero .
[x] = n x 1n,n , n Z y = n – x
Tabulando :
x 1,2 y = -2 - x
Y así sucesivamente
Df = R y Rf = 0,1
6. OTRAS FUNCIONES
6.1 FUNCIONES DE LA FORMA f(x) = axn
, en donde a y n son constantes distintos de
cero .
Estudiaremos para n = - 1 y n = 3 ; para n = 1 , n = 2 y n = 2
1 ya fueron expuestos
anteriormente.
n = - 1. En este caso f(x) = x
a. El dominio de f(x) consta de todos los números reales
excepto cero.
Las siguientes figuras contiene las graficas de y = x
1 y y =
x
1 . La grafica de y =
x
a
cuando a > 0 tiene una forma similar a la de y = x
1 y en el
caso que a < 0 es parecido a la forma de y = -x
1.
x 1n,n y = n – x
x 1,0 y = -x
x 2,1 y = 1 – x
x 3,2 y = 2 – x
x 0,1 y = -1 - x
-1
-2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
15
n = 3 , f(x) = ax3 . La grafica de f(x) es la curva cúbica que aparece en las siguientes
figuras.
( - 4,4
1)
-1
-2
-3
-4
- 4 –3 -2 -1
4
3
2
1
-2
-4
0 1 2 3 4 5
Y
X
(-4
1,4)
(1, -1)
(1, -1)
(4
1,- 4)
(-4, -4
1)
y = x
1
O X
Y
y = ax3 , a > 0
O X
Y
y = ax3 , a < 0
(-1, -1)
(-4
1,- 4)
(4
1,4)
(2
1, 2)
(1, 1)
(2,2
1)
( 4,4
1)
-1
-2
-3
-4
- 4 –3 -2 -1
4
3
2
1
-2
-4
Y
X (-4, -
4
1)
y =
x
1
16
FUNCIONES EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS
FUNCIONES EXPONENCIALES
Esta determinado por:
Regla de correspondencia : y = f(x) = bx , en donde b>0 , b 1 , y el exponente x es
cualquier número real y a “b” se le denomina la base de la función exponencial.
El dominio de una función exponencial , son todos los números reales y el rango son
todos los números reales positivos .
OBSERVACIONES
1) Puesto que b0 = 1 , para toda base “b” , cada una de las graficas tiene como intersección
con el eje Y a (0,1)
No existe intersección con el eje x .
2) Si b >1 entonces la grafica y = bx , asciende de izquierda a derecha ; es decir al aumentar
“x” también se incrementa “y” , pero “y” también puede tomar valores muy cercanos a
cero (véase la gráfica de y = 3x ).
3) Si 0 < b < 1 , entonces la grafica de y = bx
desciende de izquierda a derecha ( véase la
gráfica de y =
x
2
1), al aumentar “x” , entonces “y” disminuye y toma valores cercanos a 0.
4) Uno de los números que son más útiles como base para las funciones exponenciales, es
cierto número irracional denotado por la letra “e” en honor del matemático suizo Leonardo
Euler (1707 – 1783) “e” es aproximadamente igual a 2,71828.
5) Ala función exponencial con base “e” se le denomina la “función exponencial natural”
2
1
y = 3x
y =
x
3
1 y = 2x
Y
X
3
4
5
1 2 3 -1 -2 -3
6
O
17
Ejemplo 1.
Graficar la función y = 1+ 3x-2
Solución
Usando la grafica de y = 3x , horizontalmente desplazamos 2 unidades a la derecha y
verticalmente desplazamos 1 unidad hacia arriba. Es decir el (0,0) trasladamos al (2,1).
Ejemplo 2. Graficar la función y = 1 +
2x
3
1
Solución
Usando la grafica de y =
x
3
1, horizontalmente desplazamos 2 unidades a la derecha y
verticalmente desplazamos 1 unidad hacia arriba.
y = 1 +3x- 2
5
4
3
2
1
-2
-4
0 1 2 3
Y
X –3 -2 -1
y = ex
Y
X
1
1 2 3
2
3
0 -1 -2
18
Ejemplo 3
Graficar la función 2x
32y . Hallar su dominio y rango.
Solución
Eliminando el valor absoluto
2x2x , si x-2 0 esto es 2x2x ,si x 2
y x-2 = -( x – 2 ) si x – 2 < 0 , esto es x-2 = -( x - 2) , sí x < 2
Luego 2 xsi,
x
3
12
2 xsi, x
32
y 2
2
Si y = 2 + 3x-2
la grafica es similar
al ejemplo 1.
Si y = 2 +
2x
3
1 la grafica es
similar al ejemplo 2
LA FUNCION LOGARÍTMICA
La función logarítmica de base “b” , en donde b> 0 y b 1 , se denota mediante blog (x) y
esta determinado por :
Regla de correspondencia : y = f (x) = blog (x) sí y solo si by = x.
-2 -1
y =1+
2x
3
1
5
4
3
2
1
-2
-4
0 1 2 3
Y
X
y =2+ 3x-2
-2 -1
y =2+
2x
3
1
5
4
3
2
1
-2
-4
0 1 2 3
Y
X
19
El dominio de la función logarítmica es todos los números reales positivos y su rango es
todos los números reales .
OBSERVACIONES
1) A toda función logarítmica se le denomina inversa de su correspondiente función
exponencial , y esa función exponencial es la inversa de su correspondiente función
logarítmica .
2) A los logaritmos que tiene al 10 como base , se les denomina logaritmos comunes .
Antes de las era de las calculadoras se les utilizaba con frecuencia con fines operacionales
de calculo.
Log x significa xlog10
3) Los logaritmos de base “e” son importantes
en calculo, y se les denomina “logaritmos naturales”.
ln significa xlog e
Ejemplo.
Graficar la función y = xlog 2
X Y
4
1
-2
2
1
-1
1 0
2 1
4 2
8 3
APLICACIONES
1) RADIOACTIVIDAD
Los elementos radiactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al
tiempo . Se dice que el elemento decrece ó decae.
O y = 1
x = log b y
Y
X
y = x
y = ln x
y = ex
Y
4
1
1
y = x
y = Log2 x
y = 2x
X
y = 1
O
y = bx
X
Y
20
Esto es , sí y = N(t) denota la cantidad de sustancia o elemento radiactivo presente en el
instante “t” , entonces se demuestra que N(t) = N(0)e-kt
, en donde N(0) y k son constante
positivas .
N(0) representa la cantidad del elemento que esta presente al tiempo t = 0 y se le denomina
cantidad inicial.
La constante k depende del elemento particular implicado y se llama constante de
decrecimiento ó decaimiento.
El concepto de semi-vida (o vida media ) , que definiremos a continuación , reviste
particular importancia ; denotamos con el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad
inicial N(0) se reduzca a 2
)0(N esto es
2
)0(N = N(0)e
-k luego – ln2 = -k , es decir =
k
2In .
Observamos que , conocida como la semi-vida (o vida media) de la sustancia(o elemento)
bajo estudios , es independiente de la cantidad inicial N(0).
A modo de ilustración , el tiempo que debe transcurrir para que 10 grs. De la sustancia
radioactiva se convierta en 5 grs. , se llama semi-vida.
Ejemplo 1
Si el 45% de una sustancia radioactiva se desintegra en 200 años .¿Cuál es su vida media? y
¿En cuánto tiempo se desintegrará 60% de la cantidad original?.
Solución
a) Si el 45% se desintegra , permanece sin desintegrar el 55% luego :
100
55N(0) = N(0)e
-200k es decir
20
11 = e
-200k luego ln
20
11= -200k
k = 200
1(ln20-ln11). Por tanto =
k
2ln así =
11ln20ln
2ln200.
b) Si el 60% se desintegra permanece sin desintegrar 40%.
Luego: 100
40N(0) = N(0)e
-kt
5
2 e
-kt kt
5
2ln de ahí que t = -
k
lln
5
2,
Semivida =
N0
2
N0 / 2
N0 / 4
N0 / 8
3
N(t) = N(0)e-kt
Decrecimiento radioactivo
O
21
(t)N
(0)Nln
ln2
τ t
en donde k = 200
1(ln20 – ln11).
Ejemplo 2
Si después de 50 días se tiene el 60% de una sustancia radioactiva , determina la constante de
decrecimiento y la vida media de la sustancia .
Solución
100
60N(0) = N(0)e
-50k In(0,6) =-50k luego k = -
50
)6,0ln( y
= k
)2(In 67,82 días.
NOTA DE ENRIQUECIMIENTO (Carbono 14(C14
))
Un caso interesante es el del C14
, muy usado para determinar edad de cosas como restos de
plantas , fósiles y restos arqueológicos formados de material orgánico .
Los rayos cósmicos bombardean la atmósfera terrestre , produciendo neutrones , los que se
combinan con nitrógeno para producir C14
, que se incorpora en el CO2 que a su turno es
absorbido por las plantas y a continuación es absorbido por aquellos que consumen dichas
plantas .En organismos vivos la incorporación de C14
compensa exactamente aquella fracción
que se desintegra . Cuando el organismo muere deja de ingerir C14
y por ende la cantidad de
C14
comienza a disminuir debido al proceso de desintegración .
Desde el punto de vista matemático el análisis es sencillo: se conoce N(0) (la cantidad de
equilibrio de C14
en el organismo vivo) y se mide N(t) , donde “t” es la incógnita.
Luego
N(t) = N(0)e-kt
Pero k = 2ln
, donde =5600 años (valor obtenido de tablas) por consiguiente :
N(t)
N(0) = exp t
2ln ln t
t)
2ln
(N
)0(N de ahí que t =
t)ln2 (N
)0(Nln
Si lo que se mide es N ´(0) y N
´(t) tendremos la formula :
t = kN(t)
kN(0)ln
ln
Ejemplo
Se descubre que una herramienta de madera encontrada en una exacción en el medio oriente ,
tiene una razón de C14
a C12
de 0,6 de razón correspondiente en un árbol actual
6,0)(N
)0(N
tI
I
. Estimar la antigüedad de la herramienta redondeando al centenar de años
22
T = 1
)1(kl
dkl
e
eP
Solución
Como t = 5600 ln = 0,69315 entonces t = )6,0ln( 69315,0
5600
t = años 4100t0,51083)( 0,69315
5600
2. DOSIFICACIÓN DE MEDICAMENTOS
Muchos medicamentos son utilizados por el cuerpo humano , de manera que la cantidad
presente sigue una ley exponencial . Es decir , sí y = N(t) es la cantidad de fármaco -
presente en el cuerpo al tiempo “t” , entonces N(t) = N(0)e-kt
en donde “k” es una . . .
constante positiva denominada constante de decrecimiento (o de decaimiento) y N(0) es la
cantidad inicial presente al tiempo t = 0.
Si es la semi-vida de tal medicamento , entonces = k
2ln. Supóngase que se desea analizar
el caso en que se administra a un paciente , dosis iguales de un fármaco como ese , cada I
unidades de tiempo , hasta que se logre un cierto nivel terapéutico . En particular supóngase
que existen “d” dosis de “p” unidades cada una, que se aplican dosis en los tiempos t = 0, I,
2I, ... , y (d-1)I, y que el nivel terapéutico T, se alcanza en t = dI, lo cual se presenta un
intervalo después de que se administra la última dosis. Se verá ahora cómo determinar una
fórmula que dé el nivel terapéutico.
En el tiempo t =0 , el paciente recibe las primeras P unidades , de manera que la cantidad de
medicamento en el cuerpo es P . Al tiempo t = 1 , la cantidad presente que proviene de la
primera dosis es de la ecuación Pe-kI
. Además , a t = 1 se administran las segundas P
unidades . Por ello , la cantidad total de fármaco presente es P + Pe-kI
.
Al tiempo t = 2I , la cantidad que permanece , y que proviene de la primera dosis es Pe-2kI
, de
la segunda dosis , que ha estado en el sistema durante sólo un intervalo , la cantidad presente
es Pe –kl
. también al tiempo t = 2I se administra la tercera dosis de P unidades , de manera que
la cantidad total de fármaco presente es :
P + Pe-kl
+ Pe-2kl
Continuando de esta manera , la cantidad de fármaco presente en el sistema al tiempo dI , un
intervalo de tiempo después de que se administra la última dosis , ésta dada por :
T = Pe-kl
+ Pe-2kl
+ ……….+ Pe-dkl
(*)
Se puede expresar el lado derecho de la ecuación (*) en forma distinta . En primer lugar , se
multiplican ambos lados de (*) por e-kl
:
e-kl
T = e-kl
(Pe-kl +
Pe-2kl
+ ...........+ Pe-dkI
) ,
e-kl
T =P e-2kl
+ Pe-3kl
+ .............. + Pe-(d+1)kl
. ……………… (&)
Restando (*) y (&) obtenemos :
T – e-kl
T = Pe-kl
- Pe-(d +1)kl
T(1 – e-kl
) = Pe-kl
(1 – e-dkl
)
T = kl
dklkl
e
ePe
1
)1( ........... ( )
23
La ecuación ( ) permite determinar el nivel terapéutico T , el número de dosis “d” , y la
semi-vida del medicamento .
El objetivo es ahora mantener el nivel terapéutico en el sistema del paciente . Para lograr esto
, se administra una dosis reducida R , a los tiempos t = dI, (d + 1)I , (d + 2)I, y así
sucesivamente . Puede determinarse una formula para R de la siguiente manera .
En el tiempo t = (d + 1)I, pero antes de administrar la segunda dosis reducida la cantidad de
fármaco en el sistema , proveniente de la primera dosis reducida es Re-kl
, la cantidad que
permanece , proveniente del nivel terapéutico , es Te-kl
. Supóngase que se requiere que la
suma de esas cantidades sea el nivel terapéutico T. Es decir , T = Re-kl
+ Te-kl
despejando R
tenemos : Re-kI
= T – Te-kt
, R = T(1 – e-kl
) , ekl
.
Reemplazando T = kl
dklkt
e
ePe
1
)1( , se obtiene :
R = kl
dklkt
e
ePe
1
)1((1 – e
-kl )e
kl , o en términos simples :
.................................................... ( )
Continuando con la dosis reducidas a intervalos I se asegura que el nivel de fármaco en el
sistema nunca caiga por debajo de T , además , se debe observar que como –dkI < 0 , entonces
0 < e-dkl
< 1 . En consecuencia , el factor 1 – e-dkl
de la ecuación ( ) se encuentra entre 0 y 1.
esto segura que R sea menor que P , de donde R es en realidad una dosis reducida.
Ejemplo
La teofilina es un fármaco que se utiliza para tratar asma bronquial y tiene una semi-vida de 8
horas en el sistema de un paciente relativamente saludable , que no fuma .
Supóngase que un paciente como éste logra su nivel terapéutico deseado de este fármaco en
12 horas , cuando se administran 100mg cada 4 horas . Aquí , d = 3 . Debido a su toxicidad ,
debe reducirse la dosis después . Al miligramo más próximo , determine :
a) El nivel terapéutico y
b) La dosis reducida.
Solución
a) T = 1
)1(kl
dkl
e
eP Aquí P = 100mg , =8h , I = 4h
Pero = h8
2ln2lnk
k , entonces kI = )h4(
h8
2ln
Es decir kI = 2
2ln luego T =
12
)21(mg100
1
)1(mg100
21
2
3
2
2ln3
2
ln2
e
e
R = P(1 - e– dkl
)
24
T = 12
)8
11(100
12
)2
11(100
23
T = 156 mg
b) R =(1 – e-dkl
)
R = 100 mg(1 - )8
11(mg100)e
2ln2
3
R = 100 mg )4
21( = 100mg
4
24
R = 65 mg
3. CRECIMIENTO DE BACTERIAS
el crecimiento de bacterias conduce a un modelo análogo al de los procesos radioactivos.
Si y =N(t) denota el número de bacterias presentes en el instante “t” , entonces
N(t) = N(0)ekt
, en donde “k” es una constante positiva y N(0) es la cantidad inicial.
Ejemplo
Si el número de bacterias contenidas en un litro de leche , se duplica , en 4 horas , dígase
en cuanto tiempo se hará 25 veces mayor.
Solución
N(t) = N(0)ekt,
, entonces para t = 4 horas
N(4) = 2N(0), luego 2N(0) = N(0)e4k
De aquí ln2 = 4k 4
2lnk .
Por tanto 25N(0) = N(0) t
4
2ln
e , 25 = t
4
2ln
e ln25 = 2ln4
t
Luego t = 42ln
25lnhoras.
4.INTERCAMBIO DE TEMPERATURAS (Enfriamiento)
Si se coloca un termómetro de mercurio que marca Tc(0) grados en un dispositivo por el que
circula agua a la temperatura constante Tm grados (Tc(0) > Tm ), se puede observar que en un
comienzo la temperatura del termómetro desciende relativamente rápido y a medida que se
aproxima a Tc(0), el descenso es más pausado, llegando a ser casi imperceptible.
Si Tc(t) representa la temperatura del termómetro en el instante “t” , entonces se puede
demostrar que:
Tc(t) = Tm + (Tc(0) – Tm(t) ) e-kt
................................ (*)
25
en donde “k” es una constante positiva.
Ejemplo 1
En un análisis de la tasa de enfriamiento de porciones aisladas del cuerpo humano cuando se
le expone a temperaturas bajas, se presenta el modelo(*), en donde Tc(t) es la temperatura de
una porción en el tiempo “t”, Tm es la temperatura ambiental.
Demuestre que :
k = mc
mc
T)t(T
T)0(Tln
t
1
Solución
De (*) Tc(t) = Tm + (Tc(0) – Tm(t) ) e-kt
reordenando se tiene: lnekt
= mc
mc
T)0(T
T)t(Tln ,
luego kt = mc
mc
T)t(T
T)0(Tln de donde k =
mc
mc
T)t(T
T)0(Tln
t
1
Ejemplo 2
La temperatura de un cuarto es de 30ºC. Un termómetro que ha permanecido en el cuarto es
colocado en el exterior. En 2 minutos el termómetro acusa una temperatura de 25ºC. ¿Cuál es
la temperatura exterior.
Solución
Como Tc(2) = 25 y Tc(4) = 24, reemplazando en (*)
25 = Tm + (30 – Tm) e-2k
24 = Tm + (30 – Tm) e-4k
Luego (25 - Tm )2 = (30 – Tm)(24 – Tm)
operando llegamos a Tm = 23.75ºC.
OPERACIONES CON FUNCIONES
IGUALDAD DE FUNCIONES
Dadas las funciones f y g, decimos que f es igual a g si se cumple:
i) Df = Dg.
ii) f(x) = g(x), gf DDx .
Ejemplo1
Dadas las funciones 3x
9x)x(f
2
y g(x) = x + 3. ¿Es f igual a g ?
Solución
Df: x – 3 0 x 3 , luego Df = IR - 3 .
Dg: x IR luego Dg = IR.
i) Df Dg
26
ii) 3x3x
)3x)(3x(
3x
9x)x(f
2
, x D f = IR - 3 , entonces f(x) g(x), ya que a
pesar de tener la misma regla de correspondencia, los dominios son diferentes.
Ejemplo 2
Dadas las funciones 1x
x)x(f , x 1 ,1 y
1,0x ,1x
x
0 ,1x ,1x
x
)x(g . ¿Es f igual a g?
Solución
Df: 1 ,1 = 0 ,1 1 ,0 , luego Df = 0 ,1 1,0 .
Dg: 0 ,1 1,0 , luego Dg = 0 ,1 1,0 .
i)Df = Dg.
1x
x)x(f eliminando el valor absoluto.
Para x 0 ,1 entonces 1x
x
1x
x)x(f
Para x 1 , 0 entonces 1x
x)x(f
Luego
1,0x ,1x
x
0 ,1x ,1x
x
)x(g
ii) f(x) = g(x). por lo tanto f = g.
A continuación definimos las operaciones que se puedan efectuar entre funciones.
Para esto, dada las funciones f y g con dominios Df y Dg, definimos:
1. LA FUNCIÓN SUMA DE f y g . Denotada por (f + g), es la función definida por:
Dominio de (f + g) es : Df+g = Df Dg.
Regla de correspondencia de (f + g): (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. LA FUNCIÓN DIFERENCIA DE f y g. Denotada por (f – g), es la función definida por:
Dominio de (f – g) es Df – g = Df Dg
Regla de correspondencia de (f – g) : (f – g)(x) = f(x) – g(x).
Ejemplo
27
Dadas las funciones f(x) = x2 – 1, x 8,3 y g(x) = -4x + 2.
Determinar: a) f + g b) f – g
Solución
Df = 8,3 y Dg = IR, entonces Df + g = Df Dg = 8,3 IR
luego Df + g = 8,3 , lo mismo Df g = 8,3 .
a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 – 1 – 4x + 2 = x
2 – 4x + 1, x 8,3
(f + g)(x) = x2 – 4x + 1, x 8,3
b) (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – 1 + 4x – 2 = x
2 + 4x –3, x 8,3
(f – g)(x) = x2 + 4x – 3, x 8,3 .
3. LA FUNCIÓN PRODUCTO DE f y g. Denotada por ( f .g ), es la función definida por:
Dominio de (f.g) es : Df.g = Df Dg.
Regla de correspondencia de (f.g): (f.g)(x) = f(x).g(x).
4. LA FUNCIÓN COCIENTE DE f y g. Denotada por ( gf
), es la función definida por:
Dominio de gf
es : Df/g = Df Dg – x/ g(x) = 0 .
Regla de correspondencia de g
f:
g
f(x) =
)x(g
)x(f
Si f(x) = 1 (función constante) tenemos que:
)x(g
1
)x(g
1
)x(g
)x(1 o en forma equivalente.
(g-1
)(x) = [g(x)]-1
, 0)x(g/xDgx .
Ejemplo 1.
Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, x 8,3 y g(x) = 4x – 1.
Determinar: a) f.g b) f/g
Solución
Df = 8 , 3 y Dg = IR, entonces Df.g = Df Dg = 8,3 IR = 8,3 .
Luego Df.g = 8,3 y Df/g = 8,3 – 01x4 /x
es decir Df/g = 8,3 – 4
1
a) (f .g)(x) = f(x).g(x) = (x2 + 1) (4x – 1) = 4x
3- x
2+ 4x – 1, x 8,3
(f .g)(x) = 4x3- x
2+ 4x – 1, x . 8,3
28
- 4 4 8 12 15 16
f1(x) f2(x)
g1(x) g2(x)
b) 1x4
1x
)x(g
)x(f)x(
g
f2
, x 8,3 – 4
1
Ejemplo 2.
Dada las funciones 15 8,x, 14xx
8,4x, 1xf(x) 2 y
16 12, x , 2
12,4 x , 5xg(x) . Determinar: a) (f.g) b)
g
f c) (f + g) d) (f – g)
Solución
Sean: 15 8, x, 14xx(x)f
8,4 x, 1x(x)f(x)f 2
2
1
16 12,x, 2(x)g
12,4x, 5x(x)gg(x)
2
1
Ubicamos en la recta numérica, los dominios y reglas de correspondencia de f y g.
Regla de correspondencia de f:
Dominios:
Regla de correspondencia de g:
En el dominio común Df Dg (intervalo con doble sombreado)
a)
15,12x, (x)(x).gf
8,12x, (x)(x).gf
4,8 x, (x)(x).gf
)x(g).x(f)x)(g.f(
22
12
11
15,12x, 1)2-4x(x
8,12 x, 5)1)(-x-4x(x
4,8 x, 5)1)(-x(x
)x)(g.f(2
2
15,12x, 2-8x2x
8,12 x, 5-21xxx-
4,8 x, 54xx-
)x)(g.f(2
23
2
b)
15,12x, (x)g
(x)f
8,12 x, (x)g
(x)f
54,8x, (x)g
(x)f
g(x)
f(x)(x)
g
f
2
2
1
2
1
1
, x / g(x) = 0 = x / -x + 5 = 0
29
Df/g = 515,4
15,12 x, 2
1x4x
8,12 x, 5x-
1x4x
54,8x, 5x-
1x
(x)g
f
2
2
c)
15,12 x, (x)g(x)f
8,12 x, (x)g(x)f
4,8 x, (x)g(x)f
)x(g)x(f)x)(gf(
22
12
11
15,12 x, 22-4xx
8,12 x, 5x-1-4xx
4,8 x, 5x-1x
)x)(gf(2
2
15,12 x,4x x
8,12 x, 43xx
4,8 x, 6
)x)(gf(2
2
d)
12,15 x, (x)g(x)f
8,12 x, (x)g(x)f
4,8 x, (x)g(x)f
)x(g)x(f)x)(gf(
22
12
11
15,12 x, 22-4xx
8,12 x, 5x1-4xx
4,8 x, 5x1x
)x)(gf(2
2
15,12 x, 4-2xx
8,12 x, 6-5xx
4,8 x, 4x2
)x)(gf(2
2
30
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
DEFINICIÓN.-Dadas las funciones f y g se define una tercera función, llamada la
composición de f con g(en ese orden) denotada por f g mediante:
Dominio es: D fog = x/ x Dg y g(x) Df
Regla de correspondencia: (fog)(x) = f(g(x))
OBSERVACIONES
i) D fog = Dg x / g(x) Df de donde Dfog Dg
ii) Para que exista fog ( f compuesto con g) es necesario y suficiente que D fog , esto es
, si Dg x/ g(x) Df x/ g(x) Df Rg Df .
Rg Df
iii)
Rg Df = , en este caso no existe fog
EJEMPLO 1.
Dadas las funciones f(x) = x y g(x) = x-1. Determinar fog.
Solución:
Df : x 0 , entonces Df = ,0 y Dg = IR
D fog = Dg x/ g(x) Df = IR x/ x-1 ,0 = IR x/ 0 x-1
= IR x/ x 1 = IR ,1
entonces D fog = ,1 .
Regla de correspondencia (fog) = f(g(x)) = f(x-1) = 1x por lo tanto
(fog)(x) = 1x , x ,1
fog
R fog
f
Dfog
Dg
Rg Df
x
g(x)
f(g(x))
g
Dg
Rg
x
g(x)
g f
Df
31
EJEMPLO 2.
Un estudio ambiental en una determinada comunidad señala que el nivel medio diario de
monóxido de carbono en el aire será f(p) = 0,5p +1 partes por millón cuando la población sea
de x miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p(t) = 10 + 0,1t2
miles.
a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.
b) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono 6,8 partes por millón?
Solución:
a) Puesto que el nivel de monóxido de carbono está relacionado con variables p por la
ecuación
f(p) = 0,5p + 1
y la variable p está relacionada con la variable t por la ecuación
p(t) = 10 + 0.1t2
se desprende que la función compuesta (fop)(t) = f(p(t) = f(10 + 0,1t2) = 0,5(10 + 0,1t
2 + 1
= 6 + 0,05t2 expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de la
variable t.
b) Sea f[p(t)] igual a 6,8 y despéjese t para obtener 6 + 0,05 t2 = 6,8
t2 = 16
05,0
8,0
t = 416
Es decir, dentro de 4 años el nivel de monóxido de carbono será 6,8 partes por millón.
DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS
1. FUNCION CRECIENTE (ESTRICTAMENTE CRECIENTE)
Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I contenido en el dominio de f si
y sólo si para todo par de x1 , x2 I
Se cumple :x1< x2 f(x1) < f(x2)
I
O X
Y
f
O
Y
I
X
32
f(x1) = f(x2) x1 = x2
2. FUNCIÓN DECRECIENTE (ESTRICTAMENTE DECRECIENTE)
Se dice que una función f es decrecimiento sobre un intervalo ] contenido en el dominio
de f si y solo si para todo par de números x1 , x2 I se cumple que :
x1< x2 f(x1) > f(x2)
Notas :
1) Si f es creciente en [a , b] , entonces el rango de f en [a , b] es
Rf = [f(a) , f(b)] , donde b,a Df
2) Si f es creciente en b,a , entonces el rango de f en b,a es
Rf = )b(f),a(f , donde b,a Df
3) Si f es creciente en b,a , entonces el rango de f en b,a es
Rf = )b(f),a(f , en donde b,a Df
4) Si f es creciente en b,a , entonces el rango de f en b,a es
Rf = )b(f),a(f donde b,a Df.
5) Si f es decreciente en [a, b], entonces el rango de f en [a, b] es
Rf = [f(b), f(a)] donde [a, b] Df.
6) Si f es decreciente en a , b], entonces el rango de f en b,a es
Rf = [f(b), )a(f donde a , b] Df
7) Si f es decreciente en [a, b , entonces el rango de f en [a, b es
Rf = )b(f ,f(a)] donde [a, b Df
8) Si f es decreciente en b,a , entonces el rango de f en b,a es
Rf = )a(f),b(f donde b,a Df.
3. FUNCIÓN INYECTIVA
Decimos que una función f es inyectiva ó univalente sí y sólo sí para todo x1, x2 Df se tiene
que;
I
O X
Y
f
I
O X
Y
f
33
Ó equivalentemente x1 x2 implica f(x1) f(x2).
Usando la definición, tenemos que “Una función f es inyectiva si cualquier recta horizontal
corta a la gráfica de f a lo más en un punto”
4. FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Decimos que una función f de A en B es sobreyectiva(suryectiva ó simplemente sobre) si
todo elemento de B tiene por lo menos una pre-imagen en A.
Es decir f es sobreyectiva sí y sólo sí para todo y B, existe x A tal que y = f(x). Esto
quiere decir que Rf = f(A) = B.
Toda función f es sobreyectiva sobre su rango.
5. FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f de A en B (f: A B ) es biyectiva, sí y sólo sí, f es inyectiva y sobreyectiva.
Si una función f: A B es inyectiva, f puede considerarse función biyectiva de A en Rf es
decir la función inyectiva, f: A Rf es biyectiva.
Ejemplo
Sea f: IR IR una función definida por f(x) = -3x.
i) Inyectiva: x1, x2 IR, f(x1) = f(x2) - 3x1 = -3x2 x1 = x2 por lo tanto f es inyectiva.
ii) Sobreyectiva: y IR x = 3
y tal que f(x) =
3
y3)(f
3
y por lo tanto f es
sobreyectiva.
De (i) y (ii) f es biyectiva.
FUNCIÓN INVERSA
Sea la función f: A Rf cuya regla de correspondencia es f = (x ,y)/ y = f(x), x Df = A . Si
f es inyectiva, decimos que f posee inversa.
La inversa de la función f denotada por f * (ó f
-1) se define por
f *= (y, x) / y = f(x), x Df = A
O X
Y
Inyectiva
O X
Y
Inyectiva
O X
Y
No es Inyectiva
34
OBSERVACIONES
i) De la definición tenemos que f: A Rf, entonces f *:Rf A de aquí D f*
= Rf
y R f* = Df
ii) De f *= (y, x) / y = f(x), x Df = A se deduce que x = f
*(y) es decir que:
f *= (y, x) / y = f
*(y) , y D f
* = Rf
Luego
Esta equivalencia nos indica que para encontrar la regla de correspondencia de f , partimos de
y = f(x) y despejamos x en términos de y, esto nos proporciona la regla de correspondencia de
f *
; x = f *(y).
COMENTARIO
En general, si f: A B entonces f* existe sí y sólo sí f es biyectiva. Si f no fuese inyectiva
y/o sobreyectiva, habría que hacer las restricciones del caso, para que exista f *.
Como toda función f: A B es sobreyectiva sobre su rango, entonces f: A Rf es biyectiva
sí y sólo sí es inyectiva.
La observación que acabamos de analizar, nos indica que, para que una función f: A Rf
posea inversa es necesario y suficiente que sea inyectiva.
Ejemplo 1. Si f(x) = 2 + x, x 4,0 . Hallar f * en caso de existir.
Solución:
Inyectiva: tenemos que x1, x2 4,0 : f(x1) = f(x2) 2 + x1 = 2 + x2 x1 = x2
luego f es inyectiva.
Ahora f es creciente en 4,0 , entonces Rf = )4(f),0(f = 6,2 .
f: 4,0 6,2 entonces existe f *: 6,2 4,0
Df* = 6,2 .
Calculo de la regla de correspondencia de f *:
partimos de y = 2 + x x = y – 2 , entonces f *(y) = y – 2 , y 6,2 .
o simplemente f *(x) = x – 2 , x 6,2 .
Ejemplo 2. Si f(x) = 5x , x 5 . Hallar f * en caso de existir.
Solución:
Inyectiva: tenemos que x1, x2 ,5 : f(x1) = f(x2) 5x1 = 5x 2 x1 = x2
luego f es inyectiva.
y = f(x) f*(y) = x
35
Rango: f es creciente en ,5 ; luego Rf = ,5 ,0)(f),5(f .
f : ,5 ,0 , entonces existe f * : ,0 ,5
Df* = ,0
Calculo de la regla de correspondencia de f * : partimos de y = 5x y
2 + 5 = x
entonces f *(y) = y
2 + 5, y ,0 o simplemente f
*(x) = x
2 + 5 , x ,0 .
GRAFICA DE f *
Consideremos una función f y su inversa f *.
La
gráfica de
f
* a partir de la gráfica de f, se
obtiene reflejando la gráfica de f a través de la recta y = x. Ver gráfica.
Para el ejemplo 1: y = f(x) = 2 + x , x 4,0 , f *(x) = x – 2 , x 6,2 . Ver figura 1.
Para el ejemplo 2 : f(x) = 5x , x ,5 , f *(x) = x
2 + 5, x ,0 . Ver figura 2.
x
(x, f(x) )
(f(x), x)
f(x)
x
O
Y
X
y = x
f(x)
f
f *
X – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = x
f
f *
Y
6 5
4
3
2
1
Y
X – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = x
f
f *
6 5
4
3 2
1
Figura 1 Figura 2
36
PROPIEDAD. Sea f una función inyectiva, entones:
i) f f * = ID f * (función restringida al conjunto D f * )
ii) f*
f = ID f (función restringida al conjunto D f )
Demostración
i) f f * = ID f *
a) D f f * = Df * y/ f*(y) Df = Df * y/ x Df = Df Rf = Df * Df * = Df *
Por otro lado : *fDID = Df* , luego D f f * =
*fDID
b) Veamos la regla de correspondencia
f f *(y) = f(f
*(y)) = f(x) = y
Por otro lado*fDI , luego f f
*(y) =
*fDI (y) .
ii) Ejercicio.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea t un número real. Coloquemos un ángulo, que tiene medida en radianes t, en posición
normal y sea el punto P en la intersección del lado terminal del ángulo con el círculo unitario
con centro en el origen de coordenadas.
El punto P(x, y) está completamente determinada por el ángulo t; luego es de esperarse, que
las coordenadas x e y estén determinadas por t , correspondiendo a cada t un único valor de x
e y.
Por otro lado sabemos que:
Sen(t) = y1
y
P de vector radio
P de Ordenada y = sen(t)
Cos(t) = x1
x
P de vector radio
P de Abscisa x = cos(t)
Y
X
( 0, -1 )
( 0, 1 )
(-1, 0 )
P (1, 0)
(1, 0)
t
37
DEFINICIÓN 1
a) La función seno es el conjunto de pares ordenados (t , y) con:
Regla de correspondencia: y = sen(t) ó y = sen t , t IR.
También podemos decir que: Seno = (x, y) / y = sen x , x IR
Su dominio es: Dsen = IR.
El máximo valor que puede tener es 1, y el mínimo valor es –1; es decir, el rango de la
función seno es: Rsen = [-1, 1].
La gráfica de la función seno es:
b) La función coseno es el conjunto de pares ordenados (t, x) con :
Regla de correspondencia: x = cos(t) ó x = cos t , t IR.
También podemos decir que Coseno = (x , y) / y = cos x , x IR
Su dominio es: Dcos = IR.
El máximo valor que puede tener es 1 y el mínimo valor es –1 es decir; el rango de la
función coseno es: Rcos = [-1, 1].
La gráfica de la función coseno es:
y = sen x
23
- 2
3
O
y = cos x
X - 2 -2
Y
-1
1
2
O
y = sen x
X
- 4 3
2
-2
Y
-1
1
38
OBSERVACIONES
i)
Las figuras 1 y 2 muestran ángulos que tienen una medida negativa en radianes de –t y
ángulos correspondientes que tienen una medida en radianes positiva de t. De estas figuras
vemos que cos(-t) = cos(t) y sen(-t) = - sen(t) , t IR
ii) De la definición se obtiene las siguientes identidades cos(t + 2 ) = cos t y
sen(t + 2 ) = sen t , t IR
DEFINICIÓN 2
a) Una función f: IR IR se llama periódica cuando existe un número p 0 tal que
f(x + kp) = f(x) para todo x IR y todo k Z.
El menor número p>0 tal que f(x + p)=f(x) para todo x IR se llama período de la función f.
Las funciones seno y coseno son funciones periódicas, de período 2 .
b) Una función f : IR IR se llama par cuando se tiene que f(-x) = f(x) para todo x IR.
c) Una función f : IR IR se llama impar cuando se tiene que f(-x) = - f(x) para todo x IR.
La función coseno es una función par y la función seno es una función impar.
De las funciones seno y coseno se derivan las otras funciones trigonométricas.
DEFINICIÓN 3
a) La función tangente simbolizada por tan ó tg está definida por:
Regla de correspondencia: y = tg x ( tg x = xcos
sen x ).
Su dominio es: Dtg = IR - 2
1k2 para todo k Z.
Su rango es : Rtg = IR
La gráfica de la función tangente es:
P (1, 0)
Y
X
( x, -y )
( 0, 1 )
(-1, 0 )
P (x, y)
(1, 0)
t
Y
X
(-x , -y)
(-x ,y )
t
- t - t
39
La función tangente es una función impar, también es periódica con periodo .
b) La función cotangente simbolizada por ctg ó cot; esta definida por:
Regla de correspondencia; y = ctg x ( ctg x = senx
xcos )
Su dominio es: Dctg = IR - k , para todo k Z
Su rango es Rctg = IR.
La gráfica de la función cotangente es:
La función cotangente es una función impar, también es periódica con periodo .
c) La función secante simbolizada por su , esta definida por:
Regla de correspondencia : y = sec x , xcos
1xsec
Su dominio es : Dsec = IR - 2
1k2, para todo k
Su rango es : Rsec = ,11,
La grafica de la función secante es :
-2
3
2
5
2
3
Y
X -2 O 2 3 4 -
y = tg x
40
La función secante es una función periódica par , con periodo 2
d) La función cosecante simbolizada por csc , está definida por :
Regla de correspondencia : y = csc x senx
1xcsc
Su dominio es : Dcsc = IR- k , para todo k Z
Su rango es : Rcsc = ,11,
La grafica de la función cosecante es :
La función cosecante es una función periódica impar , con periodo de 2 .
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Si observamos la grafica de la función y = sen x no es inyectiva x Dsen = IR
,pues si trazamos una recta horizontal corta a su grafica en más de un punto .
Pero si restringimos la función y = sen x a x 2
,2
se observa que y = sen x es inyectiva ,creciente
y es suryectiva sobre Rsen = 1,1 por lo tanto
y = sen x tiene inversa en 2
,2
O
y = sen x
X
-1
2
Y
2
1
2
5
2
3
2
2
2
3
2
5
1
X
-3
Y
-2
3 0
-1
- 2
2
5
2
3
2
2
2
3
2
5
1
X
-3
Y
-2
3 0
-1
- 2
41
-1
1
-1
2
Y
O
y = sen-1
x
X
2
1 2
2
y = sen x
y = x
sen : 2
,2
1 ,1
x sen x = y
sen-1
: 1,1 2
,2
x sen-1
x = y
1sen
D = 1,1 1sen
R = 2
,2
DEFINICIÓN : La función seno inversa denota por sen-1
x , se define como sigue:
y = sen-1
x sí y sólo si x = sen y 2
y2
es decir y = sen-1
x x = sen y , x 1,1 , y = 2
,2
.
De la definición se sigue que
Sen(sen-1
x) = x para x 1,1 y
Sen-1
(sen y) = y para y 2
,2
O
y = sen-1
x
X -1
2
Y
2
1
42
LA FUNCIÓN COSENO INVERSA
Como en el caso de la función seno, la función coseno no es inyectiva, para todo x Dcos= IR;
pero si restringimos la función y = cos x al intervalo [0, ] , entonces la función y = cos x es
inyectiva y decreciente para todo x [0, ].
Cos : ,0 1 ,1 es inyectiva, entonces existe cos-1
.
x y = cos x
Cos-1
: 1,1 2
,2
x y = cos-1
x
DEFINICIÓN la función coseno inversa simbolizada por cos-1
ó arc cos ó cos* , se define
como sigue:
Regla de correspondencia: y = cos-1
x x = cos y , y [0, ].
Su dominio es: 1cos
D = [-1, 1] ( es decir x [-1,1] sí y sólo sí y [0, ] ).
El rango de cos-1
es : 1cos
R = [0, ].
De la definición se tiene que:
cos (cos-1
x) = x , x [-1,1]
cos-1
(cos y) = y , y [0, ]
Y
X
2
0
-1
1
y = cos (x)
2
0 -1 1 X
Y
cos-1
x
43
LA FUNCIÓN TANGENTE INVERSA
La función tangente inversa simbolizada por arctg ó tg-1
ó tg*, se define como sigue:
Regla de correspondencia: y = tg-1
x x = tg y, y2
,2
.
Su dominio es: 1tg
D = IR ( es decir x . sí y sólo sí y2
,2
)
Su rango 1tg
R = 2
,2
Su gráfica es
LA FUNCIÓN COTANGENTE INVERSA
La función cotangente inversa simbolizada por ctg ó ctg-1
ó ctg*, se define como sigue:
Regla de correspondencia: y = ctg-1
x x = ctg y, y ,0 .
Su dominio es: 1ctg
D = IR ( es decir x IR sí y sólo sí y ,0 )
Su rango 1ctg
R = ,0
2
2
-1
1
0 -1 1 X
Y
y = cos-1
x
y = cos (x)
2
2
2
2
0 X
Y
tg -1
x
44
La gráfica de ctg-1
es:
LA FUNCIÓN SECANTE INVERSA
La función secante inversa simbolizada por sec-1
ó arc sec ó sec* se define como sigue:
Regla de correspondencia: sec-1
x = cos-1
(x1
) , x 1.
Su dominio es: 1sec
D = ,11.
Su rango 1sec
R = 2
.,0 ,2
Esto es y = sec-1
x x = sec y, x ,11. , y 2
.,0 ,2
La gráfica de sec-1
es:
LA FUNCIÓN COSECANTE INVERSA
La función cosecante inversa simbolizada por csc-1
ó arc csc ó csc* se define como sigue:
Regla de correspondencia: csc-1
x = sen-1
(x1
) , x 1.
2
0 X
Y
ctg -1
x
2
0 -1 1 X
Y
sec-1
x
45
Su dominio es: 1csc
D = ,11.
Su rango 1csc
R = 0.,2 2
,0
Esto es y = csc-1
x x = csc y, y 0.,2 2
,0
La gráfica de csc-1
es:
EJERCICIOS
1) LEY DE POISEVILLE
Los biólogos han encontrado que la velocidad de la sangre en una arteria es una función de la
distancia de la sangre al eje central de la arteria. Según la Ley de Poiseville, la velocidad
(expresada en centímetros por segundo) dada la función S(r)= C(R2- r
2), donde C es una
constante y R es el radio de la arteria. Suponga que para cierta arteria, C = 1,76 x 105 y R =
1,2 x 10-2
centímetros.
a) Calcule la velocidad de la sangre en el eje central de esta arteria.
b) B) Calcule la velocidad de la sangre equidistante de la pared de la arteria y del eje central.
2) INMUNIZACIÓN
Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierto tipo
de gripe, los funcionarios de salud pública encontraron que el costo de vacunar al x % de la
población era aproximadamente f(x) = x200
x150millones de dólares.
a)¿Cuál es el dominio de la función f?
b)¿Para qué valores de x se tiene f(x) una interpretación práctica en este contexto?
c) ¿Cuál es el costo de vacunación del primer 50% de la población?
d) ¿Cuál fue el costo de vacunación del segundo 50% de la población?
e) ¿qué porcentaje de la población se había vacunado después de u7na inversión de 37.5
millones de dólares?.
2
-1
2
0 1 X
Y
csc-1
x
46
