Clases de Procesamiento Digital de Señales_I

Señales y Sistemas

Procesamiento Digital de Señales

Prof. Jhosmary Cuadros

Contenido.

I Corte. Introducción Unidad I. Sistemas y Señales.

Definición. Clasificación y características de Señales y Sistemas Señales continuas en el tiempo ó discretas en el tiempo. Definición y clasificación. Secuencias elementales.

Unidad II. Sistemas Definidos por Ecuaciones Difere nciales Ecuaciones Diferenciales lineales Entrada-Salida Modelado de Circuitos Discretización en tiempo Sistemas definidos por ecuaciones no lineales o variantes en el tiempo.

Unidad III. Representación de Señales y Sistemas a través de la Convolución. Representación de convolución de sistemas lineales invariantes, discretos y

continuos. Convolución se señales continuas y discretas en el tiempo.

Unidad IV. Representación de Fourier. Repaso de transformadas y series de Fourier. Representación señales en sus componentes de frecuencias. Representación de señales periódicas en términos de series de Fourier. Representación señales aperiódicas a través de la transformada de Fourier.

1er Examen Parcial (20%). 1ra Prueba Corta (5%) Trabajo Práctico (5%).Semana 5.

Contenido.

II Corte. Transformadas Unidad V. Análisis de Sistemas en el dominio de la frecuencia utilizando Fourier.

Respuesta a señales sinusoidales. Respuestas a señales periódicas y aperiódicas. Análisis de Filtros ideales. Muestreo

Unidad VI. Aplicación de la Transformada de Fourier al campo de Comunicaciones. Modulación Analógica. Desmodulación Analógica. Transmisión simultánea de señales.

Unidad VII. Transformadas de Fourier. La transformada de Fourier discreta en tiempo (DTFT). Transformada discreta de Fourier (DTF). Propiedades de la DFT. Aplicaciones de la FFT.

Unidad VIII. Representación de Laplace y Función de Transferencia. Repaso de la Transformada de Laplace. Representación de la función de transferencia. Función de transferencia de diagramas de bloques.

2do Examen Parcial (20%). 2da Prueba Corta (10%) Trabajo Práctico (5%).

Semana 11.

Contenido.

III Corte. Aplicaciones. Unidad IX. Análisis de Sistemas a partir de la func ión de transferencia.

Estabilidad y respuesta a la función impulso. Prueba de estabilidad Análisis de la respuesta a la función escalón.

Unidad X. Aplicaciones a Control. Introducción a Control. Control de Seguimiento. Lugar de las Raíces.

Unidad XI. Diseño de Filtros y Controladores Digita les. Discretización Diseño de Filtros IIR Diseño de Filtros FIR Diseño de Controladores Digitales.

Unidad XII. Régimen Legal Especial Aplicado a las E specialidades. Señales de energía finita. Autocorrelación y espectro de energía. Señales periódicas de potencia finita. Autocorrelación y espectro de potencia.

3ro Examen Parcial (20%). 2da Prueba Corta (10%) Trabajo Práctico (5%).Semana 16.

Unidad I. Introducción

Procesamiento: la realización de operaciones en los datos mediante una secuencia de instrucciones programadas de acuerdo a un algoritmo que modifica dichos datos o extrae información de los mismos.

Digital: Sistema electrónico que opera con datos discretos representados en binario y de precisión finita.

Señal: Cantidad Física que contiene información sobre el estado o comportamiento de un sistema.Elementos de un sistema digital de procesado de señales.Representación eléctrica de una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables independientes.

Señales:

• Una función de una ó más variables independientes, las cuales pueden ser:

• Tiempo• Distancia• Posición• Otras

• Describen una amplia variedad de fenómenos físicos

La Voz: Señal Unidimensional que depende del tiempo (t), descrita funcionalmente como

Una imagen: Señal Bidimensional, función del espacio y tiempo (x,y)Un Video: Señal Tridimensional. Función del espacio, tiempo y profundidad.

Señales y Sistemas

tts 5)(1 =

22 20)( tts =

∑=

+N

iii tttFisentA

1

)]()(2[)( θπ

21023),( yxyxyxs ++=

Señales y Sistemas

Sistema: Dispositivo físico y/o software que realiza una determinada operación sobre la señal.

Fuente de Señal. Estímulo en combinación con el sistema.Procesamiento: Cuando un señal pasa a través de un sistema se dice que se ha procesado la señal

Filtrado

Aplicaciones del procesamiento digital de señales

• Diseño de sistemas para procesar señales y predecir su comportamiento futuro. (El pronóstico económico)

• Restauración de señales que han sido degradadas de alguna manera. (restauración de grabaciones de audio antiguas, Depurar una señal de audio que se recibe con ruido de fondo: transmisión de un piloto a la torre de control de tráfico aéreo).

• Procesar señales de manera de "mejorar" o resaltar alguna característica de ellas. ( procesamiento de imágenes provenientes de satélite para compensar errores debido a limitaciones del equipo, efectos atmosférico y hasta errores en la transmisión)


• Reconocimiento de patrones (procesamiento de un conjunto de señales de la misma naturaleza con el fin de clasificarlas o de "identificar“ cada una de ellas dentro de una categorización dada: reconocimiento de voz, la clasificación de piezas mecánicas en una línea de producción por un brazo mecánico, el reconocimiento óptico de caracteres (OCR), el reconocimiento de huellas digitales, de firmas, de rostros o de manos, etc.)

• En control automático, control de procesos la cual se refiere al control de plantas químicas. En esta clase de aplicaciones, un conjunto de sensores miden las señales físicas como temperatura, humedad, concentraciones químicas, etc. dichas señales son procesadas por un sistema encargado de manipular las señales de control (tales como flujo de combustible o agua de enfriamiento, dosificación de sustancias, etc.) para regular el proceso químico en marcha.


•El objetivo del análisis de las señales es obtener información de los sistemas.

•Mediante el análisis se intentará acentuar, cuantificar, caracterizar información sobre el sistema y su funcionamiento.

•Finalidad del procesado y análisis: encontrar relaciones entre los sistemas biológicos y las señales que producen.

Ejemplos de Señales

Comunicación humana medianteseñales de voz (frente a frente,telefónicamente, etc).

Internet en todas sus modernas aplicaciones: Correo electrónico,información diversa, chat, VoIP, etc.

Ejemplos de Señales

Pronóstico del tiempo: Variaciones en la temperatura, Humedad, Velocidad y dirección del viento, Fenómenos climáticos

Fluctuaciones en los mercados : Precios de las acciones, Mercancías en los mercados mundiales, Divisas.

Sondas espaciales : información sobre perfiles de la superficie de los planetas, Imágenes infrarrojas que portan información acerca de la temperatura,Imágenes ópticas que reflejan las nubosidades alrededor de esos planetas.

Señales Biom édicas

Registran la actividad y/o comportamiento de los órganos del cuerpo humano . Señales que provienen de seres vivos con información acerca del estado o patología del paciente

El objetivo del análisis de las señales biomédicas es obtener información de los sistemas biológicos.


Señales FisiológicasElectrocardiograma (ECG)Electroencefalograma (EEG)Trazas de presión sanguínea

Imágenes MédicasRayos XImágenes de Resonancia MagnéticaUltrasonidos

VideosTomografía computarizada


Señales FisiológicasElectrocardiograma (ECG)Electroencefalograma (EEG)Trazas de presión sanguínea

Imágenes MédicasRayos XImágenes de Resonancia MagnéticaUltrasonidos

VideosTomografía computarizada

Elementos de un sistema digital de procesado de señalesSeñal Analógica: • Señales continuas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. La mayoría de las señales físicas son continuas.

Señal Digital:• Señales discretas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. Se originan al muestrear y cuantizar una señal continua.

Elementos de un sistema digital de procesado de señales

Elementos de un sistema digital de procesado de señales

SistemaFísico

Tratamiento digital

(procesamiento, análisis)

Aparatos de medida

Tratamiento analógico

Conversión A/D

Forma analógica

Forma digital

¿Porque utilizar procesamiento digital de señales?

Un sistema digital permite:

• Flexibilidad para reconfigurar las operaciones de procesamiento(software).

• Precisión.

• Almacenamiento.

• Facilidad para incorporar operaciones matemáticas.

• Económico.

¿Porque utilizar procesamiento digital de señales?

Clasificación de Señales

En función del número de variables independientes :

Señales Multidimensionales: la señal se describe mediante una función de M variables, Imágenes: f(x,y)

Unidimensionales: Si la señal es función de una única variables independiente: f(x)

En función del número de fuentes:

Señal escalar : si la señal es generada por una única fuente.Ejm. temperatura del salón

Señal vectorial: si la señal es generada por múltiples escalares.

Ejm. Electrocardiograma


Dependiendo del grado de certeza :

Señal Determinística: los valores de la señal pasados, presentes y futuros se conocen exactamente.

Señal Aleatoria: no se puede predecir con antelación e valor que puede tomar la señal. Se utilizan métodos estadísticos. Por ejemplo, Ruido, Señal sísmica

En función de los valores que toma la variable inde pendiente:

Señales en tiempo continuo x(t) : definidas para todos los valores continuos del tiempo y pueden tomar cualquier valor en el intervalo continuo (a,b).

Señales en tiempo discreto x(n) : la variable independiente está definida sólo para ciertos valores del tiempo equidistantes tn=nT, siendo n un número entero.


Dependiendo de su peridiocidad :

Una señal es periódica con periodo T (T>0) si y solo si x(t+T)=x(t) para todos los valores de t, es decir, para todos los valores de t, tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento de T, por eso se dice que x(t) es periódica con período T.

El valor más pequeño para el que se cumple T, se denomina periodo fundamental. Si no se verifica para ningún valor de T la señal se denomina aperiódica o no periódica .

Si una señal es periódica con período T, también es periódica con período 2T, 3T, …

Una señal discreta x(n) es definida de manera análoga x(n)=x(n+N)

Señal aperiódicaSeñal periódica con período T0

Por el valor de la Amplitud:Señales de valor Continuo y Señales de valor Discreto


Concepto de Frecuencia, módulo y Fase

Frecuencia: Cantidad de ciclos completos en un tiempo dado. Se mide en hertzios (Hz.), => número de ciclos completos en un segundo.

Concepto de Frecuencia, módulo y Fase

Módulo : El módulo indica la amplitud de la oscilación.

La fase indica la posición de la partícula que oscila en el momento de empezar a contar el tiempo, es decir en t = 0 s. Se mide en radianes (rad) o en grados (º). 360º = 2π rad.

Señales sinusoidales en tiempo continuo : una simple oscilación armónica se describe matemáticamente mediante la siguiente señal en tiempo continuo:

Donde:A amplitud de la sinusoide

Ω frecuencia en radianes por seg (rad/s), Ω = 2πF (F->frecuencia)

Θ fase en radianes

Propiedades:a) Para todo valor fijo de la frecuencia F. xa(t) es periódica

Período fundamental de la señal

Señales B ásicas ó elementales

∞<<−∞+Ω= ttAtxa ),cos()( θ

∞<<−∞+= tFtAtxa ),2cos()( θπ

FT

txTtx

p

apa

1

)()(

=

=+

b) Las señales en tiempo continuo con frecuencia diferente son diferentes.

c) El aumento en la frecuencia F, resulta en un aumento de la tasa de oscilación de la señal (más períodos en un intervalo de tiempo dado).

d) Para todo valor fijo de la frecuencia F. xa(t) es periódica

Señales sinusoidales en tiempo discreto: una señal en tiempo discreto puede expresarse como

Donde

n variable entera, denominada número de muestraA amplitud de la sinusoide

ω frecuencia en radianes por muestra (rad/s), Ω = 2πf (f->frecuencia)

Θ fase en radianes


∞<<−∞+= nwnAnx ),cos()( θ

∞<<−∞+= nfnAnx ),2cos()( θπ

Propiedades:

a) Una sinusoide en tiempo discreto es periódica sólo si su frecuencia f es un número racional. Para que una sinusoide con frecuencia f0 sea periódica, se debe tener

Esto es cierto si y sólo si existe un entero k tal que

Ó equivalentemente

b) Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por un múltiplo entero de 2π, son idénticas.

c) La mayor tasa de oscilación en una exponencial en tiempo discreto se alcanza cuando ω = π (o ω = -π) o, equivalentemente f = ½ (o f = -½)


]2cos[])(2cos[ 00 θπθπ +=++ fnNf

ππ kNf 22 0 =

N

kf =0

1. Muestreo. Conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal e tiempo continuo en instantes de tiempo discreto xa(nT)=x(n).

2. Cuantificación. Conversión de una señal en tiempo discreto con valores continuos a una señal en tiempo discreto con valores discretos (señal digital). La diferencia entre la muestra sin cuantificar x(n) y la salida cuantificada xq(n) se denomina error de cuantificación.

3. Codificación. Cada valor discreto xq(n) se representa mediante secuencia binaria de bits.

Conversión Analógica-Digital y Digital-Analógica

Muestreador Cuantificador Codificadorxa(t) x(n) xq(n) 01011

Señal analógica

Señal en tiempo discreto

Señalcuantificada

Señaldigital

Muestreo de Señales Analógicas

x(n) es la señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal analógica.

T intervalo entre dos muestras sucesivas, se llama período de muestreo ó intervalo de muestreo.

velocidad de muestreo (muestras por seg) ó frecuencia de muestreo (Hz)

Las variables t y n de las señales de variable continua y discreta están relacionadas a través del intervalo T

FsT

=1

FsnnTt /==

1 2 3 4 5 6 7T 2T 3T

Ejemplo:

Sea xa(t)=Acos(2πFt+θ)

Si muestreamos esta señal a una velocidad de Fs=1/T (muestras/seg), obtenemos:

xa(nT) = x[n] = Acos(2πFnT+θ) => x[n] = Acos(2π(F/Fs)n+θ)

Siendo F/Fs=f, entonces: x[n] = Acos(2πfn+θ)

donde -½ < f < ½ o -π < ω < π (ω = 2 πf)



Ejemplo:

Consideremos las señales:

x1(t)=cos(2π(10)t) x2(t)=cos(2π(50)t)

Muestreadas a una velocidad: Fs=40Hz

Las señales en tiempo discreto correspondiente son:

x1[n]=cos(2π(10/40)n) => x1[n]=cos((π/2)n)

x2[n]=cos(2π(50/40)n) => x2[n]=cos((5π/2)n)

En el primer caso -½ < f1= ¼ < ½ , por el contrario f2 = 5/4 > ½

Por lo que f2 es un alías de f1 , es decir:

Así entonces x1[n]= x 2[n], por lo tanto estas señales discretas son indistinguibles y no es posible determinar si las muestras provienen de x1(t) o x2(t)

122 411 fff ==−=


x1[n]=cos(2π(10/40)n)

x2[n]=cos(2π(50/40)n)


Puesto que la frecuencia f de una señal en tiempo discreto toma valores en el intervalo [-½,½] y f = F/Fs, entonces: -½ < F/Fs < ½ . (F frecuencia de la señal analógica)

La frecuencia máxima que puede ser representada o muestreada unívocamente a una velocidad de muestreo Fs

es Fs/2. Cualquier frecuencia por encima de Fs/2, o por debajo de - Fs/2 produce muestras que son idénticas a las correspondientes frecuencias dentro del intervalo [ -Fs/2 Fs/2 ], tal como se muestra en la figura anterior.

22ss FFF <<−

¿Qué tan rápido se debe muestrear una señal parapreservar su información?¿Cuál es el T óptimo?

Mala identificación del sentido de giro debido

a la baja frecuencia de muestreo

¿¿PorquPorquéé??


Tren arranca ruedas ‘van’ sentido horario.

Tren acelera ruedas ‘van’ sentido anti-horario.

Ej: El movimiento de un tren en una película

25 cuadros (=muestras) por segundo.

En principio, la señal analógica se puede reconstruir a partir de sus muestras, siempre que la tasa de muestreo sea lo suficientemente alta como para evitar el problema de solapamiento (aliasing). Si Fmax, es la frecuencia máxima de la señal analógica, se debe elegir la frecuencia de muestreo de acuerdo a Fs > 2Fmax

La tasa de muestreo dada por 2Fmax se denomina tasa de Nyquist (FN)

En el ejemplo anterior, si ambas señales se reconstruyen con la misma frecuencia de muestreo (40 Hz), según:

−

= ∑∞=

−∞= Fs

ntg

Fs

nxtx

n

naa )(

Donde g(t), es la función de interpolación definida como:

Bt

Btsentg

ππ

22

)( =

y B es la frecuencia máxima de la señal, Fmax



Una señal s(t) con frecuencia máxima fMAX puede ser recuperada si la frecuencia de muestreo es fS > 2 fMAX

Condición fS?

fS > 300 Hz

t)cos(100πt)πsin(30010t)πcos(503s(t) −⋅+⋅=

F1=25 Hz, F2 = 150 Hz, F3 = 50 Hz

F1 F2 F3

fMAX

Ejemplo

Teo*

Frecuencia de Nyquist

fN = 2 fMAX


Cuantificación.

Es el proceso de convertir una señal en tiempo discreto de amplitud continua en una señal digital, expresando cada muestra por medio de un número finito (en véz de infinito).

El error cometido al representar la señal de valor continuo por un conjunto finito de valores discretos se denomina error de cuantificación ó ruido de cuantificación.

Codificación.

Consiste en asignar un número binario único a cada nivel de cuantificación diferente.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

000

001

111

010

V

VFSR

Señales en Tiempo Discreto.

Son señales representadas por una secuencia de números llamadas muestras de la señal.x(n) corresponde al valor que toma la señal en el instante n veces nT.

Por la naturaleza de la función :

Señales Complejas : Una señal compleja a simple vista no se pude representar por medio de una ecuación matemática, pero si puede ser determinado por medio de senos y cosenos. Tiene parte Real e Imaginaria.

Clasificación de Secuencias en tiempo discreto

Señales Reales: toma sólo valores reales.


[ ] 0),10(99,0 >= − nnsenenx

Señales de Energía y Señales de Potencia

La energía de una señal se define como:

La Potencia media de una señal discreta en el tiempo se define como:

Energíadeseñalunaesnx

EsinxEn

)(

)(2 ∞<= ∑

∞

−∞=

Potenciadeseñalunaesnx

finitaesPsinxN

PN

NnN

)(

)(12

1lim

2

∑−=∞→ +

=


Señales Pares y Señales impares :

Par: Simétrica respecto al eje “y” (vertical), cumplen la condición: x(t) = x(-t)

Impar: Antisimétrica respecto al eje “y”, cumplen la condición: x(t) = -x(-t)


≥<

=01

00)(

npara

nparanu

=

=coe

nparan

..0

01)(δImpulso Unitario:

Señal Escalón:

Señal Rampa: ≥

=coe

nparannUr

..0

0)(


De acuerdo a la duración finita ó infinita


Secuencia Exponencial: ℜ∈Ζ∈= ananx n ,,)(

Operaciones básicas con secuencias discretas

1. Con respecto a la variable tiempo :

a) Retardos y adelantos. Una señal x(n) se puede desplazar en el tiempo reemplazando la

variable independiente n por n-k , donde k es un entero. Si k es un enero positivo el desplazamiento temporal resulta en un

retrazo de la señal en |k| unidades de tiempo (derecha). Si k es un entero negativo, el desplazamiento temporal resulta en un

adelanto de la señal en |k| unidades de tiempo (izquierda).

b) Reflejar. Si al reemplazar la variable discreta n por –n se está reflejando la señal

con respcto al origen.

c) Operación de submuestreo ó diezmación. Consiste en agregar ceros entre muestras por el factor M.

Operaciones básicas con secuencias discretas

2. En la variable de amplitud :

a) Suma de secuencias.Sea x1(n) y x2(n) se define la secuencia suma como:

y(n)=x1(n)+x2(n)

b) Escalado de Amplitud.Se multiplica la secuencia de entrada x(n) por un factor a

y(n)=ax(n) Ejemplo. Amplificador electrónico.

c) Producto (punto a punto) entre secuencias.z(n)=x(n)y(n)

Definición de Sistemas

Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce una transformación de señales. Todo sistema debe tener al menos una entrada x y una salida y, la señal de salida está relacionada con la entrada mediante una relación de transformación y = f(x) .

Sistemas en tiempo continuo:

Sistemas en tiempo discreto:

Sistema

Continuox(t) y(t)

Sistema

Discretox[n] y[n]

Elementos básicos de un Sistema

1. Sumador . Es un bloque sin memoria, su tarea es sumar dos ó más señales, se representa como:

2. Multiplicador por escalar. Es un bloque sin memoria, se utiliza para escalar toda una secuencia por un mismo factor. Se representa como:

3. Multiplicador de señal. Es un bloque sin memoria, que genera una nueva secuencia a partir de los productos entre muestras de las señales de entrada correspondientes a un mismo instante n.

Elementos básicos de un Sistema

4. Retardador de un elemento . Es un bloque con memoria de longitud 1, se representa como se muestra a continuación:

5. Adelantador de un elemento. Físicamente no es realizable y sólo existe en sistemas de tratamiento de señales fuera de línea.

Ejemplo: Realice el diagramas de bloques para

Clasificación de los sistemas discretos

Sistemas estáticos y sistemas dinámicos.Sistemas invariantes en el tiempo y sistemas variantes en el tiempo.Sistemas lineales y sistemas no lineales.Sistemas causales y sistemas no causales.Sistemas estables y sistemas inestables.

Clasificación de Sistemas Discretos

Sistemas Estáticos : (sin memoria) sistemas cuya salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas o futuras de la entrada, por ejemplo:

y(n) = ax(n)y(n) = nx(n)+bx3(n)

Sistemas Dinámicos : (Con memoria), sistemas que dependen de entradas presentes y pasadas, ejemplo:

∑

∑∞

=

=

−=

−=

−+=

0

0

)()(

)()(

)1(3)()(

k

n

k

knxny

knxny

nxnxny


Sistemas Invariantes en el tiempo : Un sistema es invariante en el tiempo si sus características de entrada-salida no cambian con el tiempo.

Ejm. Determinar si el siguiente sistema es ó no invariante en el tiempo:

y(n) = x(n) - x(n-1)

El sistema y(n) = x(n) – x(n-1) es invariante en el tiempo. Para demostrarlo:

1. Se calcula la respuesta del sistema en reposo a la entrada desplazada x(n-k),que resulta en yk(n)=x(n-k)-x(n-k-1).

2. La respuesta a x(n), retrasada k muestras es y(n-k) =x(n-k)-x(n-k-1).

3. Como y(n-k)=yk(n) el sistema es invariante en el tiempo.


Sistemas lineales/no lineales : Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición, es decir, para cualesquiera dos constantes a1, a2 y para toda señal x1(n) y x2(n) se cumple

Ejemplo. Compruebe si el siguiente sistema es lineal.

y(n)=nx(n)

Para comprobar se obtiene:1. La respuesta del sistema a una entrada igual a la suma ponderada de dos señales x1(n) y x2(n), es decir, para una entrada total x(n) = a1x1(n)+a2x2(n) y se obtiene yt(n)=n(a1x1(n)+a2x2(n))=a1nx1(n)+a2nx2(n).

2. Ahora, la suma ponderada de las salidas del sistema para x1(n) y x2(n), por separado es ys(n)= a1y1(n)+a2y2(n), con y1(n)=nx1(n) y y2(n)=nx2(n), lo que es igual a ys(n)=a1nx1(n)+a2nx2(n). Como yt(n)=ys(n) se puede afirmar que el sistema y(n)=nx(n) es lineal.


Sistemas causal/no causal : Un sistema es causal si la salida del sistema y(n) en cualquier instante n (y(n)) depende sólo de las entradas presentes y pasadas (es decir, x(n), x(n-1), x(n-2),…) pero no de las futuras (x(n+1),x(n+2),…). De lo contrario es no causal.

Ejemplo.y(n) = x(n) – x(n-1) Causaly(n) = x(n) + 3x(n+4) No causal

Sistemas estable/inestable : Un sistema arbitrario en reposo se denomina estable de entrada acotada – salida acotada si toda entrada acotada produce una salida acotada

Basta con que alguna entrada acotada produzca una salida no acotada (es infinita), para que el sistema sea inestable.

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Clases de Procesamiento Digital de Señales_I