-
Notacin:
Primera derivada = =
Segunda derivada = =2
2
Tercera derivada =3
3
Cuarta derivada =4
4
Quinta derivada (5) =5
5
. . .
n-sima derivada () =
Variable Dependiente
Variable independiente
-
Se dice que una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms
variables dependientes, con respecto a una o ms variables
independientes, es una ecuacin diferencial (ED). Para referirse a
ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden
y linealidad.
-
Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales
Tipo Orden Grado Linealidad
Ordinaria Parcial
-
Ecuacin Diferencial Ordinaria:
Es una ecuacin diferencial que contiene derivadas ordinarias de
una o ms variables dependientes con respecto de una variable
independiente. Ejemplos:
,5 xeydx
dy 062
2
ydx
dy
dx
ydyx
dt
dy
dt
dx 2y
-
Ecuacin Diferencial Parcial:
Es una ecuacin diferencial que contiene derivadas parciales de
una o ms variables dependientes con respecto de dos o ms variables
independientes. Ejemplos:
,02
2
2
2
y
u
x
u
t
u
tx
u u
2
2
2
2
2
x
v
y
u
y
-
Orden de una Ecuacin diferencial:
Se determina por la derivada de mayor orden en la ecuacin
Ejemplos:
xeydx
dy
dx
yd
45
3
2
2
Segundo orden Primer orden
-
Grado de una Ecuacin Diferencial:
Es el exponente de la derivada de mayor orden en la ecuacin
Ejemplos:
02
3
2
25
3
3
dx
dy
dx
ydx
dx
yd
-
Forma General de una Ecuacin Diferencial lineal de orden n:
son funciones de variable x
Caractersticas de las ecuaciones diferenciales lineales: Los
coeficientes de la variable dependiente, las derivas y a lo que est
igualado son funciones de la variable independiente.
El exponente de la variable dependiente y todas sus derivadas
son uno.
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
011
1
1 ...
xaxaxg n,...,, 0
-
Ejemplos de Ecuaciones Lineales:
xxexydx
yd 22
2
33
xyyxyy sec324 ''''''
xydx
dyx
dx
ydx 22512 4
2
22
-
Ejemplos de Ecuaciones No-Lineales
yyxdx
dycos32
8212
22 y
dx
dyx
dx
ydy
xydx
ydtan4
3
3
El coeficiente no es funcin de la variable independiente x
No es funcin de la variable independiente
Potencia diferente de uno en la variable dependiente
-
Comprobacin de una solucin: Compruebe que la funcin indicada es
una solucin de la ecuacin diferencial en el Intervalo ,
SOLUCIN Una forma de comprobar que la funcin que se tiene es una
solucin es ver, despus de sustituir, si los lados de la ecuacin son
equivalentes para toda x en el intervalo. a) De Lado izquierdo:
Lado derecho:
,334
14
16
1xx
dx
dy
32
2/1
42/1
4
1
4
1
16
1xxxxxxy
42/1
16
1,/ xyxydxdy xxeyyyy ;02 '''(a) (b)
-
Se ve que los lados de la ecuacin son iguales para todo nmero
real x. Observe que es, por definicin, la raz cuadrada no negativa
de . (b) De las derivadas se tiene, para todo nmero Real x, Lado
izquierdo: Lado derecho: 0.
22/1
4
1xy
4
16
1x
0222 ''' xxxxx xeexeexeyyy
xxxx exeyyexey 2'''
-
La relacin es una solucin implcita de la ecuacin diferencial En
el intervalo Al derivar en forma implcita se obtiene: Al despejar
el smbolo dy/dx en la ultima ecuacin, se obtiene
2522 yx
y
x
dx
dy
55 x
2522
dx
dy
dx
dx
dx
d 022
dx
dyyxo
y
x
dx
dy
