Cálculo Integral Grupos 19 Semestre 2015-2 Examen 3 de Casa en Equipo

E Q U I P O ( 8 1 N o m b r e I n t e g r a n t e % participación

forv-CiyTClD CriT:kwC) JLO

La t a b l a s i g u i e n t e p r e s e n t a 2 0 p o s t u l a d o s , a l g u n o s d e l o s c u a l e s s o n v e r d a d e r o s y o t r o s s o n f a l s o s . A n a l i z a d e t e n i d a m e n t e c a d a p o s t u l a d o y e l i g e t u r e s p u e s t a c i r c u l a n d o la V ( v e r d a d e r o ) o la F ( f a l s o ) {3 puntos)

1. S\entonces e* < ® F I

2. dx ^ — = t> ( V ) F

3 . S i X > 0, e n t o n c e s (Inxf =3lnx V £ )

4 . dy

E n la ecuación d i f e r e n c i a l — = kv, kes l a t a s a p o r c e n t u a l d e c r e c i m i e n t o e x p o n e n c i a l d x

V F

5 . , . r - Inx In^x = — 5 F

6 . f / n x ^ (Inxf J X 2 ® F

7 . 1 In5

log^S In8 V (b\ 8 . E l d o m i n i o d e la i n v e r s a d e la función e x p o n e n c i a l e s e l c o n j u n t o d e r e a l e s p o s i t i v o s 0 F 9 . a<b alnx<blnx, V x > 0 V ©

1 0 . ln{3e'-')-ln(3e'') = 2 V

1 1 . La derivación logarítmica n o e s a p l i c a b l e a f u n c i o n e s n o logarítmicas V

1 2 . "e'dx = é JO

V © 1 3 . La d e r i v a d a d e x ^ e s ex^'* F

1 4 . U n a indeterminación matemática d e l t i p o oo / oo c o n d u c e a i v a l o r c e r o , s i la función d e l n u m e r a d o r c r e c e más rápido q u e la función d e l d e n o m i n a d o r

V © 1 5 . ' La p r i m i t i v a d e f ( x ) - e* ^ s o l o s e p u e d e o b t e n e r a p a r t i r d e s u expansión e n s e r i e d e

T a y l o r o d e s u expansión e n s e r i e d e M a c l a u r i n V ©

1 6 . f •/ = lim 1 + ~

V ^ J

© F

1 7 . Las i n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e s e g u n d a e s p e c i e s o n a q u e l l a s q u e p r e s e n t a n límites d e integración i n f i n i t o s e i m p l i c a n asíntotas h o r i z o n t a l e s V © Las f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s 0°, <x>° y a p a r e c e n p o r la p r e s e n c i a o c u l t a d e l número e F

1 9 . S e d e n o m i n a c a t e n a r i a a la c u r v a q u e a d o p t a u n a c a d e n a , c u e r d a o c a b l e i d e a l p e r f e c t a m e n t e f l e x i b l e , c o n m a s a d i s t r i b u i d a u n i f o r m e m e n t e p o r u n i d a d d e l o n g i t u d , s u s p e n d i d a p o r s u s e x t r e m o s y s o m e t i d a a l a acción d e u n c a m p o g r a v i t a t o r i o u n i f o r m e ® F

2 0 . fdx_1

V © 2 1 . O b t e n e r las d e r i v a d a s d e las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s : (0.8puntos)

a ) f ( x ) = ln(x^x'-l), b ) f ( y ) = e*'"', c ) z = ¡og^, ú)y = 4 \ 0 — 1

2 2 . O b t e n e r las d e r i v a d a s d e las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s : (0.8puntos)

a ) y = ( f - x T b)y = {4x-3) 2x+4

2 3 . C a l c u l a r las s i g u i e n t e s p r i m i t i v a s : (1 puntos)

dx, b)j5fVdf, c ) J ^ - ^ d x , d)j4^^dx, e ) -1

x + x{lnx) dx

2 4 . E v a l u a r l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s : ( 0 . 6 puntos)

a ) j ; (5^-3^)dx , b ) r - ^ ° ^ ^ ° 3-sen(p

d(p, c ) e'"'dx

25. a ) O b t e n e r l a expansión e n s e r i e d e M a c l a u r i n d e la función / ( x ) = e " ' ^ , c o n s i d e r a n d o l o s p r i m e r o s s i e t e términos. (0.4 puntos) b ) C o n la expansión o b t e n i d a e n a ) , a p r o x i m e el valor de la función e n e l p u n t o x = 1 (0.2puntos) c) D e t e r m i n a r e l i n t e r v a l o d e c o n v e r g e n c i a d e la s e r i e . (0.2puntos)

2 6 . U n a s o l a cédula d e l e v a d u r a s e d i v i d e c a d a 1 0 m i n u t o s p a r a p r o d u c i r d o s células c o m p l e t a s d e l e v a d u r a , e n u n m e d i o n u t r i t i v o homogéneo. P o r c a d a célula, habrá d o s células l u e g o d e 1 0 m i n u t o s , t r a s o t r o s 1 0 m i n u t o s habrá c u a t r o células, 1 0 m i n u t o s después habrá o c h o , l u e g o 1 5 y así s u c e s i v a m e n t e . S i P(t) r e p r e s e n t a la c a n t i d a d d e células e n e l i n s t a n t e í, d o n d e t s e m i d e e n h o r a s , y s e e m p i e z a t e n i e n d o 2 0 células d e l e v a d u r a , a ) E s t a b l e z c a u n a ecuación q u e i n v o l u c r e una fundón exponencial general, q u e d e t e r m i n e e l número d e células d e l e v a d u r a e n c u a l q u i e r i n s t a n t e . {0.4pufítosl b j ¿En qué t i e m p o s e obtendría u n millón d e células d e l e v a d u r a ? ( 0 . 2 puntos)

2 7 . Calcule el volumen del sólido g e n e r a d o p o r la región a c o t a d a p o r la función y = x ^ , e l e j e h o r i z o n t a l y las r e c t a s X = 2 y X = 3 a ) al hacerla girar en torno al eje x ( 0 . 3 puntos) b ) al hacerla girar en torno al eje y ( 0 . 3 puntos)

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