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2016
Cátedra Matemática
ISBN: 978-987-754-004-8
Cónicas en las Ciencias
Agropecuarias
Serie Didáctica
Cónicas en las ciencias agropecuarias / Norma Macchioni de Zamora ... [et al.]. - 1a edición para el alumno - San Miguel de Tucumán: Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Agronomía y Zootecnia, 2016. Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-754-004-8 1. Geometría Analítica. I. Macchioni de Zamora, Norma CDD 516.3
Fecha de catalogación: 3 de junio, 2016
Cónicas en las Ciencias
Agropecuarias
Para alumnos de las carreras:
Ingeniero Agrónomo Ingeniero Zootecnista
Cátedra Matemática Edición 2016
ISBN: 978-987-754-004-8
AUTORÍA Y COMPILACIÓN
Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla Profesora Titular
Mg. Lic. Graciela S. Galindo
Profesora Asociada
Lic. Liliana N. Isa Profesora Adjunta
Lic. Norma I. Macchioni de Zamora
Profesora Adjunta
Esp. Lic. Silvia E. Carando Profesora Adjunta
Lic. Ana M. García
Jefe de Trabajos Prácticos
Lic. María L. Vallejo de Márquez Jefe de Trabajos Prácticos
Las autoras son docentes de la Cátedra Matemática de la Facultad de Agronomía y Zootecnia de la Universidad Nacional de Tucumán
Primera edición: Junio 2016
San Miguel de Tucumán – República Argentina
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 1
SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que se obtienen cuando se intersecta un plano con un cono
circular recto. Dependiendo de la posición del plano, se obtiene: una circunferencia, una
parábola (que no se desarrollará en este libro), una elipse o una hipérbola.
El conjunto de puntos en el plano que satisfacen determinadas condiciones geométricas define
cada cónica. A partir de su definición se podrá encontrar la ecuación del lugar geométrico
descripto y bosquejar su gráfica.
Las cónicas se representan por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y, cuya
expresión general es:
A x 2 + B x y + Cy
2 + Dx + Ey + F = 0
donde los coeficientes A, B, C, D, E y F son números reales que determinan el tipo de curva
correspondiente que, en caso de existir, podrá ser una circunferencia, una parábola, una elipse
o una hipérbola.
El desarrollo de estos contenidos es de importancia por su aplicación en la física, en la
arquitectura, en la mecánica y en las ciencias agropecuarias.
En el campo se utilizan estructuras con las distintas formas de las secciones cónicas como en
silos, invernaderos, estanques de agua, puentes, tinglados, etc., que se verán con más detalle
en el desarrollo de cada una de ellas.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 2
CIRCUNFERENCIA
Circunferencia es una sección cónica que se obtiene intersecando un cono con un plano
perpendicular al eje que no contiene al vértice, como se observa en el gráfico
Circunferencia
La circunferencia está presente en innumerables construcciones y diseños, por ejemplo: en un
anfiteatro romano, en una vuelta al mundo, en arquitectura, en dibujos, como se observa en las
imágenes:
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 3
Importancia de la circunferencia en las Ciencias Agropecuarias
La circunferencia tiene aplicación en agronomía y en zootecnia. Se observa en los silos de
acopio de granos, en tanques para agua, en bebederos para animales, etc.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 4
Definición: Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo c. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cada
punto de la circunferencia al centro se llama radio.
Se considera un punto c coincidente con el origen de coordenadas y un punto p (x, y)
perteneciente a la circunferencia.
Uniendo c con el punto p y trazando por él la paralela al eje y, queda determinado un
triángulo rectángulo. Por el Teorema de Pitágoras:
x 2 + y
2 = r
2 Ecuación canónica de la circunferencia con
centro en c (0, 0) y radio r.
Del mismo modo si se considera una circunferencia con el centro desplazado en c (k, h),
la ecuación canónica será: (x – k) 2 + (y – h)
2 = r
2
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 5
Observando los gráficos anteriores se puede completar el cuadro comparativo de la
circunferencia con centro en el origen de coordenadas y la circunferencia con centro (k, h):
Ecuación
canónica x
2 + y
2 = r
2 (x – k)
2 + (y – h)
2 = r
2
Centro c (0, 0) c (k, h)
Radio r > 0 r > 0
Dominio [– r, r] [k – r, k + r]
Codominio [– r, r] [h – r, h + r]
Simetría de la gráfica
Se observa que la circunferencia es simétrica respecto a las rectas de ecuación x = k
e y = h, y respecto al centro de la gráfica (todas las rectas que pasan por el centro son ejes de
simetría de la circunferencia).
Ejemplo:
1-a) ¿Cómo se denomina la gráfica de la ecuación x 2 + y
2 = 16?
Circunferencia
b) Determine sus elementos.
Los elementos son centro: c (0, 0) y radio: r = 4
c) Represente
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 6
Ecuación general de la circunferencia
Al desarrollar los cuadrados en la ecuación canónica (x – k) 2 + (y – h)
2 = r
2, se obtiene
(x 2 – 2 x k + k
2)
+ (y
2 – 2 y h + h
2) = r
2 igualando a cero y agrupando:
x 2 + y
2 – 2 k x – 2 h y + k
2 + h
2 – r
2 = 0
Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia es:
x2 + y
2 + d x + e y + f = 0 (1)
Si se comparan los coeficientes de la ecuación (1) con la ecuación general de 2º grado en las
variables x e y: A x 2 + B x y + C y
2 + D x + E y + F = 0
Se observa que:
A = 1, B = 0, C = 1
d = – 2 k k = – d/2
e = – 2 h h = – e/2 por lo tanto c (– d/2, – e/2)
f = k 2 +
h
2 – r
2 r
2 = k
2 + h
2 – f
La expresión (x – k) 2
+ (y – h) 2
= r 2, no siempre representa una circunferencia. Como el
radio se obtiene por la expresión: fhkr 22 existen tres posibilidades:
Si k 2 + h
2 – f > 0 la ecuación (1) representa una circunferencia. Existen infinitos
puntos que verifican la expresión.
Si k 2 + h
2 – f = 0 la gráfica corresponde a un punto (k, h) y no a una
circunferencia.
Si k 2 + h
2 – f < 0 no existen valores reales para x e y que satisfagan la ecuación
por lo que no se puede representar en el plano real.
Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su
gráfica represente una circunferencia (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C).
La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es:
A x 2 + B x y + C y
2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la circunferencia
es:
x2 + y
2 + d x + e y + f = 0 (1).
Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes se deduce que:
A 0, C 0 y A = C = 1 (A igual a C en valor y signo) y el coeficiente B = 0.
Si A = C pero distinto de 1, se divide por ese valor a toda la ecuación de segundo grado para
obtener la ecuación (1).
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 7
Ejemplo:
Encuentre los elementos característicos de 2 x 2
+ 2 y 2
– 8 x + 4 y – 16 = 0, utilizando las
fórmulas correspondientes.
2 x 2 + 2 y
2 – 8 x + 4 y – 16 = 0 como A = C = 2, se divide ambos miembros de la
igualdad en 2
x 2 + y
2 – 4 x + 2 y – 8 = 0 donde d = – 4, e = 2 y f = – 8
Utilizando las fórmulas, resulta:
k = – (– 4/2) k = 2; h = – 2/2 h = – 1 Centro c (2, – 1)
r 2 = 2
2 + (– 1)
2 – (– 8) r
2 = 4
+ 1 + 8 r
2 = 13 radio 13r
Ejemplo:
Analice si la expresión – 5 x 2
– 5 y 2
– 20 x + 10 y – 25 = 0 corresponde a una
circunferencia.
Se observa que B = 0 y A = C = – 5, se debe dividir en – 5 a toda la expresión para poder
saber el valor de los restantes coeficientes.
x 2 + y
2 + 4 x – 2 y + 5 = 0
d = 4, e = – 2 y f = 5
Para obtener las coordenadas del centro, se calcula:
k = – 4/2 k = – 2; h = – (– 2)/2 h = 1
r 2 = (– 2)
2 + 1
2 – 5 r
2 = 0 La expresión no corresponde a una circunferencia.
Ejemplo de aplicación:
Se detectó una plaga que afecta a un campo sembrado y se cree conveniente fumigar con un
avión en forma circular con un radio de 4 km la zona, para impedir que la plaga se extienda.
Si la región en cuestión se encuentra a 7 km al oeste y 2 km al norte de los galpones ¿Cuál
será la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión?
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 8
Para resolver esta situación, ubicamos en un sistema de ejes coordenados, la distancia a los
galpones y una posición del avión de acuerdo a los datos del problema, considerando el Norte
como el semieje positivo y.
Por lo tanto, el centro del círculo se ubica en el punto de coordenadas (– 7, 2).
La trayectoria del avión resulta ser el lugar geométrico de los puntos que equidistan 4 km del
centro r = 4
Así la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión es la de la circunferencia:
(x + 7) 2 + (y – 2)
2 = 16
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 9
ELIPSE
Elipse es una sección cónica que se obtiene intersectando una de las hojas de la superficie
cónica con un plano inclinado, como se observa en el gráfico
La importancia de las cónicas radica en su constante presencia en situaciones reales. En el
caso de elipse, esta curva puede presentarse en innumerables situaciones, por ejemplo: las
órbitas que describe la Tierra alrededor del Sol, la emisión de un haz de luz, la sombra que
genera una esfera, la Plaza de San Pedro, la forma de un estadio deportivo, y el Coliseo, entre
muchas otras.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 10
Cabe destacar que las elipses son cortes de cuerpos denominados elipsoides, como se puede
observar en las siguientes fotografías:
Teatro Nacional de Beijing
En la arquitectura se utilizan elipses, como superficies de revolución, para la construcción de
edificios, aprovechando sus características físicas singulares en cuanto a resistencia, acústica
y armonía visual.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 11
Una de las propiedades más notables se da en lo que se llaman “galerías murmurantes”. Estas
galerías, de forma elíptica, producen un extraño fenómeno: si una persona ubicada en uno de
los focos de la elipse murmura una frase, podría oirla nítidamnete alguien situado en el otro
foco; pero los que estén en otros lugares de la galería no lo oirán. Esto sucede porque el
sonido emitido en todas direcciones desde el primer foco, al rebotar en las paredes elípticas
pasaran indefectiblemente por el otro foco.
Importancia de la elipse en las Ciencias Agropecuarias
Dentro de las cónicas, la elipse tiene múltiples aplicaciones en agronomía y en zootecnia.
Basta recorrer las fincas de citrus de nuestra provincia de Tucumán, para observar que debido
a las características topográficas del suelo es común visualizar curvas de nivel en forma
elíptica en la plantación de limoneros, también en los campos de cultivos de caña de azúcar y
de otras variedades: soja, trigo, tabaco, etc.
También se utilizan cubiertas de forma elíptica para la producción de flores, arándano,
frutillas y hortalizas en general.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 12
En criaderos de aves.
Introducción al tema
Estos ejemplos y muchos más forman parte de las aplicaciones de la elipses en los diferentes
campos del conocimiento, por esa razón es necesario estudiar los conceptos, analizar los
parámetros y visualizar sus gráficos.
Definición: Se llama elipse al conjunto de puntos del plano que cumplen con la condición de
que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
'fpfp = constante
La recta que contiene a los focos se llama eje mayor.
Para poder obtener la expresión canónica de esta curva, se considera la constante igual a 2a.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 13
Ecuación de la elipse
Centrada en el origen Con traslación
Eje mayor coincidente con el eje x Eje mayor paralelo al eje x
La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1b
y
a
x2
2
2
2
1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0) Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)
v1 (0, b) v1' (0, – b) v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)
Focos f (c, 0) f ' (– c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)
Longitud del eje mayor v v ' = 2 a Longitud del eje mayor v v ' = 2 a
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
mayor y = 0 eje mayor y = h
Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
menor x = 0 eje menor x = k
Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c
Dom R = [– a, a] Dom R = [k – a, k + a]
Cod R = [– b, b] Cod R = [h – b, h + b]
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 14
Relación entre los parámetros a, b y c
Se considera el triángulo rectángulo v1 c f, se llama a a la hipotenusa y a los catetos b y c.
La relación pitagórica entre ellos es: a 2 = b
2 + c
2
Excentricidad
Se denota a la excentricidad con y se define como = c / a , como c < a 0 < < 1
Este es el parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica respecto a
una circunferencia, en la que la excentricidad es cero.
Ejemplo:
Dada la expresión de la elipse 4 x 2 + 25 y
2 – 100 = 0
a) Escríba en la forma canónica.
b) Determine sus elementos.
c) Represente.
a) 4 x 2 + 25 y
2 = 100 dividiendo ambos miembros en 100 obtenemos la
ecuación canónica de la elipse
14
y
25
x 22
b) Centro c (0, 0)
a 2 = 25 a = 5 Vértices v (5, 0) v ' (– 5, 0)
b 2 = 4 b = 2 v1 (0, 2) v1' (0, – 2)
c 2
= a 2
– b 2
c 2
= 25 – 4
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
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c 2
= 21 c = 21 Focos f ( 21 , 0) f ' (– 21 , 0)
= c / a = 21 / 5 < 1
Longitud del eje mayor v v' = 10
Longitud del eje menor v1 v1' = 4
Ecuación de la recta que contiene al eje mayor y = 0
Ecuación de la recta que contiene al eje menor x = 0
c)
Ecuación de la elipse
Centrada en el origen Con traslación
Eje mayor coincidente con el eje y Eje mayor paralelo al eje y
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 16
La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1a
y
b
x2
2
2
2
1a
h)(y
b
k)(x2
2
2
2
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (0, a) v' (0, – a) Vértices v (k, h + a) v' (k, h – a)
v1 (b, 0) v1' (– b, 0) v1 (k + b, h) v1' (k – b, h)
Focos f (0, c) f ' (0, – c) Focos f (k, h + c) f ' (k, h – c)
Longitud del eje mayor v v' = 2 a Longitud del eje mayor v v' = 2 a
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
mayor x = 0 eje mayor x = k
Longitud del eje menor v1 v'1 = 2 b Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
menor y = 0 eje menor y = h
Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c
Dom R = [– b, b] Dom R = [k – b, k + b]
Cod R = [– a, a] Cod R = [h – a, h + a]
Ecuación general de la elipse
Sea la ecuación canónica de la elipse con centro en c (k, h):
1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
Se desarrollan los cuadrados:
1b
hhy2y
a
kkx2x2
22
2
22
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 17
Se iguala a cero, se saca común denominador y se obtiene:
(x 2 – 2 x k + k
2)
b
2 + (y
2 – 2 y h + h
2) a
2 – a
2 b
2 = 0
b 2 x
2 – 2 b
2 k x + b
2 k
2 + a
2 y
2 – 2 a
2 h y + a
2 h
2 – a
2 b
2 = 0
b 2 x
2 + a
2 y
2 – 2 b
2 k x – 2 a
2 h y + b
2 k
2 + a
2 h
2 – a
2 b
2 = 0
Se llama A = b 2; C = a
2; D = – 2 b
2 k; E = – 2 a
2 h; F = b
2 k
2 + a
2 h
2 – a
2 b
2
y se llega a la ecuación general de la elipse:
A x 2 + C y
2 + D x + E y + F = 0
Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de 2º grado para que su gráfica
represente una elipse (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C)
La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es:
A x 2 + B x y + C y
2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la elipse:
A x 2 + C y
2 + D x + E y + F = 0.
Se comparan los coeficientes de los términos correspondientes y se deduce que:
A ≠ 0 C ≠ 0, además A y C deben ser de distinto valor e igual signo. Y el
coeficiente B = 0, para que su gráfica represente una elipse.
Ejemplo:
Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las siguientes condiciones: f (0, 2), f ' (0, – 4)
y = 4
3
Al conocer las coordenadas de los focos se sabe que 2 c = 6 c = 3
El centro, punto medio entre los focos, es: c (0, – 1)
Además se conoce el valor de la excentricidad = 4
3, como c = 3 y =
a
c entonces
reemplazando e igualando, se puede obtener el valor de a:
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 18
a
3 =
4
3 a = 4
Para poder escribir la ecuación canónica de la elipse se necesitan las coordenadas del centro,
los valores de a y b y la posición que tendrá la curva.
Con los valores de a y c, se puede obtener el valor de b, usando la relación pitagórica:
a 2 = b
2 +
c
2 b
2 =
a
2 –
c
2 b
2 =
16
–
9 = 7
Los focos están en el eje mayor de la curva que contiene los vértices v y v ', y en este caso es
paralelo al eje y. El mayor denominador que es el valor de a 2, deber ser del término que
contenga la variable y
116
1)(y
7
x 22
Ejemplo:
Escriba la ecuación de la elipse, cuya gráfica es:
Del gráfico: c (– 1, 1) a = 4 b = 2 14
1)(u
16
) 1 (v 22
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 19
Ejemplo de aplicación:
Una galeria murmurante de 20 m de ancho tiene los focos a 7 m del centro. Calcula la altura
de la galería.
Se ubican convenientemente los ejes coordenados de tal manera que sobre el eje x estén los
focos y el origen, en la mitad de la distancia entre ellos.
Como datos se tiene que a = 10 y c = 7
La altura de la galería será la semidistancia b y se la obtiene utilizando la relación pitagórica
para la elipse:
a 2 = b
2 + c
2 b
2 =
a
2 – c
2 b
2 =
100 – 49 b
2 =
51 b = 7,14
La altura de la galería es de 7,14 m
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 20
HIPÉRBOLA
Hipérbola es una sección cónica que se obtiene intersectando las dos hojas de la
superficie cónica con un plano inclinado que no contiene al vértice del mismo, como se
observa en el gráfico
La hipérbola está presente en situaciones reales, tales como: el planetario Mc Donnell, la
emisión de un haz de luz de una lámpara, una estructura arquitectónica, la Basílica de
Brasilia, una pista de skate, etc.
Hipérbola
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 21
Importancia de la hipérbola en las Ciencias Agropecuarias
Al igual que en la elipse, la hipérbola también se aplica en agronomía para los campos de
cultivo, como se observa en la siguiente figura:
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 22
Definición: Se llama hipérbola al conjunto de puntos del plano que cumplen con la
condición de que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es
constante.
'fpfp = constante
La recta que contiene a los focos se llama eje real o focal.
Para poder obtener la expresión canónica de esta curva, se considera la constante igual a 2a.
Ecuación de la hipérbola
Centrada en el origen Con traslación
Eje real coincidente con el eje x Eje real paralelo al eje x
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 23
La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1b
y
a
x2
2
2
2
1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0) Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)
v1 (0, b) v1' (0, – b) v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)
Focos f (c, 0) f ' (– c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)
Longitud del eje real o focal Longitud del eje real o focal
v v ' = 2 a v v ' = 2 a
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
real o focal y = 0 eje real o focal y = h
Longitud del eje imaginario Longitud del eje imaginario
v1 v1' = 2 b v1 v1' = 2 b
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
imaginario x = 0 eje imaginario x = k
Ecuaciones de las asíntotas Ecuaciones de las asíntotas
xa
by ;x
a
by h k) x(
a
by
h k) x(a
by
Las asíntotas de la hipérbola son las rectas que unen los vértices opuestos del rectángulo cuyo
centro está en el centro de la hipérbola y sus lados tienen longitud 2 a y 2 b.
Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c
Dom R = (– ∞, – a] [a, ∞) Dom R = (– ∞, k – a] [k + a, ∞)
Cod R = (– ∞, ∞) Cod R = (– ∞, ∞)
Relación entre los parámetros a, b y c
Se considera el triángulo rectángulo o v p, se llama c a la hipotenusa y a y b a los catetos.
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 24
La relación pitagórica entre ellos es: c 2
= b 2 + a
2
Excentricidad
Se define excentricidad al cociente: = c / a y como c > a > 1
Ejemplo:
Dada la expresión 9 x 2 – 36 y
2 – 324 = 0
a) Escriba en la forma canónica.
b) Determine sus elementos.
c) Represente.
a) 9 x 2 – 36 y
2 = 324 dividiendo ambos miembros en 324 obtenemos la
ecuación canónica de la hipérbola
19
y
36
x 22
b) Centro c (0, 0)
a 2 = 36 a = 6 Vértices v (6, 0) v ' (– 6, 0)
b 2 = 9 b = 3 v1 (0, 3) v1' (0, – 3)
c 2
= a 2
+ b 2
c 2
= 36 + 9
c 2
= 45 c = 45 Focos f ( 45 , 0) f ' (– 45 , 0)
Excentricidad = c / a = 45 / 6 > 1
Longitud del eje real o focal v v ' = 12
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 25
Longitud del eje imaginario v1 v1' = 6
Ecuación de la recta que contiene al eje real o focal y = 0
Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario x = 0
Ecuaciones de las asíntotas x2
1yx
6
3ye x
2
1y x
6
3y
c)
Ecuación de la hipérbola
Centrada en el origen Con traslación
Eje real coincidente con el eje y Eje real paralelo al eje y
Cónicas en las Ciencias Agropecuarias 2016
Página 26
La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:
1b
x
a
y2
2
2
2
1b
k)(x
a
h)(y2
2
2
2
Centro c (0, 0) Centro c (k, h)
Vértices v (0, a) v ' (0, – a) Vértices v (k, h + a) v ' (k, h – a)
v1 (b, 0) v1' (– b, 0) v1 (k + b, h) v1' (k – b, h)
Focos f (0, c) f ' (0, – c) Focos f (k, h + c) f ' (k, h – c)
Longitud del eje real v v ' = 2 a Longitud del eje real v v ' = 2 a
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
real o focal x = 0 eje real o focal x = k
Longitud del eje imaginario v1 v1' = 2 b Longitud del eje imaginario
v1 v1' = 2 b
Ecuación de la recta que contiene al eje Ecuación de la recta que contiene al
imaginario y = 0 eje imaginario y = h
Distancia focal f f ' = 2 c Distancia focal f f ' = 2 c
Ecuaciones de las asíntotas Ecuaciones de las asíntotas
xb
ay ;x
b
ay h k) x(
b
ay
h k) x(b
ay
Dom R = (– ∞, ∞) Dom R = (– ∞, ∞)
Cod R = (– ∞, – a] [a, ∞) Cod R = (– ∞, h – a] [h + a, ∞)
En la gráfica de una hipérbola puede ocurrir que a > b (en la generalidad de los casos que
vimos), que a < b o que a = b.
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Hipérbolas conjugadas
Dos hipérbolas son conjugadas si el eje real de una de ellas es el imaginario de la otra.
Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (0, 0) y sus gráficas, son:
1b
y
a
x2
2
2
2
(1) 1a
x
b
y2
2
2
2
(2)
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Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (k, h) y sus gráficas, son:
1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
(1) 1a
k)(x
b
h)(y2
2
2
2
(2)
Ejemplos:
La hipérbola de ecuación 19
y
25
x 22
es conjugada con la de ecuación 125
x
9
y 22
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La hipérbola de ecuación 116
2)(y
4
3)(x 22
es conjugada con la de ecuación
14
3)(x
16
2)(y 22
Hipérbola equilátera rectangular
Es aquella que tiene los semiejes real e imaginario de igual longitud. Sus asíntotas son
perpendiculares.
Si el centro está en (0, 0), su ecuación sería
1a
y
a
x2
2
2
2
Si el eje real es el eje x Si el eje real es el eje y
x 2 – y
2 = a
2 y
2 – x
2 = a
2
Si el centro está en (k, h), su ecuación sería:
(x – k) 2 – (y – h)
2 = a
2 (1) (y – h)
2 – (x – k)
2 = a
2 (2)
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Ecuación general de la hipérbola
A partir de la ecuación canónica de la hipérbola con centro en c (k, h):
1b
h)(y
a
k)(x2
2
2
2
Se desarrollan los cuadrados, se acomodan términos y se iguala a cero, obteniendo la ecuación
general de la hipérbola: A x 2 + C y
2 + D x + E y + F = 0
Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su
gráfica represente una hipérbola (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C)
La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es:
A x 2 + B x y + C y
2 + D x + E y + F = 0 y la ecuación general de la hipérbola
es:
A x 2 + C y
2 + D x + E y + F = 0.
Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes, se deduce que:
A ≠ 0 C ≠ 0, además A y C deben ser de distinto valor y signo. Y el coeficiente B = 0,
para que su gráfica represente una hipérbola.
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Ejemplo:
Encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las siguientes condiciones:
f (– 2, 7), f ' (– 2, – 3) y = 5/3.
Conociendo las coordenadas de los focos se sabe que 2 c = 10 c = 5
El centro, punto medio entre los focos, es: c (– 2, 2)
Como el valor de la excentricidad es = 5/3 y se sabe que c = 5 entonces reemplazando y
despejando, se puede obtener el valor de a: 5/a = 5/3 a = 3
Para poder escribir la ecuación canónica de la hipérbola se necesitan las coordenadas del
centro, los valores de a y b y la posición que tendrá la curva.
Sabiendo los valores de a y c, se puede obtener el valor de b2, usando la relación pitagórica:
c 2 = a
2 +
b
2 b
2 =
c
2 –
a
2 b
2 =
25
–
9 = 16
Los focos están en el eje real de la curva que contiene los vértices v y v ', y en este caso es
paralelo al eje y. El término positivo es el que contiene a la variable y
116
2)(x
9
2)(y 22
Ejemplo:
a) Escriba la ecuación de la hipérbola, cuya gráfica es:
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b) Escriba las ecuaciones de sus asíntotas
a) Del gráfico: c (3, – 2) a = 2 b = 4 116
3)(x
4
) 2(y 22
b) 2)(7x2)(1y2 3) (x2)(1y ///
2)(1x2)(1 y2 3) (x2)(1 y ///
Problema de aplicación
Dos estaciones LORAN (ubicadas en la costa) están separadas 200 km entre sí. Un barco
registra una diferencia de tiempo de 0,0004 segundos entre las dos señales LORAN.
Encuentre a qué distancia de la estación principal tocaría tierra el barco si sigue la trayectoria
de una hipérbola. (Velocidad de la luz 300.000 km/s)
LORAN (LOng RAnge Navigation): Sistema de radionavegación hiperbólica de largo alcance
y gran precisión.
Para resolver este problema, se ubican convenientemente los ejes coordenados de tal manera
que sobre el eje x estén las estaciones y en la mitad de la distancia de entre ellas, el origen.
Como el barco sigue una trayectoria hiperbólica, las estaciones serían los focos de la
hipérbola.
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Se sabe, por definición de hipérbola, que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos
llamados focos es 2a. Es decir, la diferencia de las distancias d del barco a cada estación es
d = 2a y como d = v . t v . t = 2a
300000 km/s . 0,0004 s = 2a 120 km = 2a a = 60 km
Los vértices de la hipérbola están en ( 60, 0).
La diferencia de las abscisas entre (100, 0) y (60, 0) dará la distancia del barco a la estación
principal:
c – a = 100 km – 60 km c – a = 40 km
El barco tocará tierra a 40 km de la estación principal.
BIBLIOGRAFÍA
Di Caro, H. – Álgebra y Elementos de Geometría – Tomo I – 1994 – Editorial Reverte
Argentina, S. A. – Argentina.
Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Geometría Analítica – 1ª edición –
2005 – Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.
Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. – Precálculo - Matemáticas para el cálculo – 5°
edición – 2007– Cengage Learning Editores, S. A. – México D. F.
Stewart, J. y otros – Introducción al cálculo – 2007– Thomson Learning – Buenos Aires
– Argentina.