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*Depto. deMatemticas, UAM-I. [email protected]
Acerca de
Horacio Tapia-Recillas*
y C d i g o s Criptografa
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62 ContactoS 90, 6168 (2013)
Recibido: 13 de mayo de 2013
Aceptado: 14 de junio de 2013
Resumen
En esta nota se presentan algunas ideas sobre temasenmarcados en
dos lneas de investigacion que se cul-tivan en el area de Algebra
del Departamento de Ma-tematicas de la Division de Ciencias Basicas
e In-geniera de la Universidad Autonoma Metropolita-na, Unidad
Iztapalapa. Nos referimos a la Teora Al-gebraica de Codigos
Lineales Detectores-Correctoresde Errores, y a la Criptografa.
Introducion
Para motivar las ideas que se desarrollaran a lo largode esta
nota, consideremos la siguiente situacion.
Supongase que se tienen una estacion (fuente) emi-sora de
informacion (datos, mensaje, etc., en forma-to digital), E, y una
fuente receptora de esa informa-cion, R. Ejemplos de la fuente
emisora podran ser:una estacion de radio, television, satelte
artificial al-rededor de la tierra, nave espacial navegando
alre-dedor de un cuerpo celeste, tomografo, terminal decomputadora,
telefono fjo, dispositivos de comuni-cacion moviles (telefono,
tableta, etc.), entre otros.Como estacion receptora, considerando
los casos an-teriores, podra ser: el aparato receptor de radio,
te-levision, estacion de recepccion de datos enviadospor el
satelite o la nave espacial, monitor o la impre-sion del tomografo,
terminal de computadora (ser-vidor) o dispositivo donde se desea
que los datos sereciban; respectivamente. La informacion
transmiti-da se hace por los canales de comunicacion
conven-cionales, los cuales no son los mismos en todos
loscasos.
Hay ocasiones, que por diversas circunstancias (cam-bio de
voltaje, situaciones geograficas y atmosferi-cas, factor humano,
etc.), la informacion enviadapor la fuente emisora, no es
exactamente la que re-cibe la estacion receptora. En algunos casos
es re-lativamente facil pedirle al emisor enviarla nueva-mente,
como en telefonia, correo electronico, y enocasiones en tomografa.
En otros casos es difcilque la fuente emisora re-envie la
informacion, co-mo son los satelites o naves espaciales. En
situacio-nes donde la informacion recibida por la estacion
re-ceptora no es la misma que la enviada por la fuen-te emisora,
obviamente han ocurrido errores en latransmision.
Aunado al problema de errores adquiridos duran-te la transmision
de informacion entre dos estacio-
nes, esta este otro: alguna entidad no autorizada(enemigo,
intruso) deseando conocer (adquirir) di-cha informacion. Por
ejemplo en llamadas telefoni-cas, correo electronico, obtenerla de
algun disposi-tivo de almacenamiento, etc. Esta situacion
obvia-mente esta vinculada a la seguridad informatica.
El siguiente diagrama muestra la situacion
descritaanteriormente:
Figura 1: Diagrama de comunicacion
y conlleva a las siguientes preguntas:
1. como detectar y corregir los errores adquiridosen la
transmision de informacion independiente-mente del medio de
comunicacion?
2. como saber si la informacion recibida provienede la entidad
autorizada, no ha sido alterada ofuentes ajenas no conocen su
contenido?
Una manera de abordar estas problematicas es: enel primer caso
por medio de la Teora de Codi-gos Detectores-Correctores de
Errores, parti-cularmente los Codigos lineales (de bloque). En
re-lacion a la otra pregunta, la Criptografa, tam-bien conocida
como Cifrado de datos ayuda a so-lucionar el problema.
Cabe senalar que hoy en da los codigos se encuen-tran en un buen
numero de actividades cotidianas,como es el caso de codigos de
barras que apare-cen en practicamente cualquier producto, el
codi-go ISBN (International Standard Book Number) quetienen los
libros, el RFC y CURP, boletos de diver-sos transportes, codigos
QR, codigos de autentica-cion o contrasenas, entre otros.
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Acerca de codigos y criptografa. H. Tapia-Recillas. 63
En las siguientes paginas se abordaran algunos as-pectos, sin
pretender dar una descripcion detalla-da, sobre los codigos
lineales detectores-correctoresde errores y los sistemas de
cifrado, haciendo enfa-sis en la relacion que existe entre estas
dos lneasde investigacion y otras areas de la Matematica co-mo son
el Algebra conmutativa, Teora de nume-ros, Gemetra algebraica,
Combinatoria, las cualesse cultivan en nuestro Departamenteo. Se
incluyeuna bibliografa basica, principalmente libros, don-de ademas
se encuentra una gama de referenciasespecializadas.
Teora de codigos
La Teora de codigos detectores-correctores de errorno es nueva.
C.E. Shannon (1948) y R. Hamming(1950) fueron precursores de los
codigos para detec-tar y corregir errores en la transmision de
informa-cion. Los codigos que Hamming introdujo son re-lativamente
sencillos: detectan tres errores y corri-gen uno, y actualmente
llevan su nombre. Sin embar-go han sido pilares para construir
codigos mas uti-les que son usados en diversas circunstancias y
pro-blematicas. En las siguientes lneas se introducirandiversas
ideas relacionadas con este tipo de codi-gos, y como se dijo antes,
haciendo enfasis en va-rios aspectos ligados a lneas de
investigacion quese cultivan en el Departamento de Matematicas dela
UAM-I, en especial en el area de Algebra. De-talles sobre codigos
lineales pueden consultarse enen [9], [6].
Para motivar algunos conceptos consideremos el si-guiente
ejemplo. Supongamos que una emisora de in-formacion desea
transmitir, a una receptora, un SIal cual le asigna, tomando el
alfabeto de los nume-ros binarios, F2 = {0, 1}, digamos, (0101).
Esta in-formacion se envia y la fuente receptora recibe, di-gamos,
(1101). La pregunta es cual es la informa-cion originalmente
enviada? Este ejemplo se pue-de generalizar: una estacion emisora
envia un men-saje m y la receptora recibe m. La pregunta es:que tan
diferente es m de la informacion m ori-ginalmente enviada? En otros
terminos, m = m+e,donde e es el error adquirido durante la
transmi-sion. Este error es debido a multiples razones quevan desde
el factor humano hasta cambios no con-trolables en los medios de
comunicacion (variacionde voltaje, mal funcionamiento en los
aparatos usa-dos, cambios atmosfericos, etc.). Por consiguiente
lapregunta es: como saber que tan lejos esta la in-formacion
recibida de la enviada?, equivalentemen-
te, cual es el error, e = m m, adquirido durantela
transmision?
Los precursores de los codigos lineales detectores-correctores
de error introdujeron una idea muy sen-cilla pero bastante util
para detectar los errores ad-quirido durante la transmision: antes
de enviar lainformacion se codifica agregando otros bits
(ele-mentos del alfabeto binario) que esten en funcionde los bits
del mensaje original. Por ejemplo, en elcaso anterior se tiene la
informacion original c =(c1c2c3c4) = (0101), y se decide agregar,
por ejem-plo, tres bits, c5, c6, c7, determinados de la siguien-te
manera:
c5 = c1 + c2 + c4, c6 = c2 + c3 + c4, c7 = c1 + c4.
As, se tiene el nuevo mensaje
c = (c1c2c3c4c5c6c7) = (0101101),
que consiste de la informacion original (c1c2c3c4) ylos bits
(c5c6c7).
Los bits que se anexan a la informacion originalson llamados de
redundancia ya que estan en fun-cion de los bits del mensaje
original. Esta nue-va informacion se conoce como mensaje
codifica-do o palabra codificada, y es la que envia la
fuenteemisora.
Observese que lo anterior conduce al siguiente siste-ma de
ecuaciones lineales (tomando en cuenta queen la aritmetica binaria,
1 = 1):
c1 + c2 + c4 + c5 = 0,
c2 + c3 + c4 + c6 = 0,
c1 + c4 + c7 = 0,
el cual se puede expresar como
H ct = 0,
donde H =
1 1 0 1 1 0 00 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 1
y c = (c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7). Por consiguiente, unelemento
x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) con entradasbinarias, es
informacion codificada si y solo si es so-lucion de este sistema de
ecuaciones lineales.
Recordemos que el conjunto de soluciones de un sis-tema lineal
homogeneo es un subespacio vectorial (li-neal), en este caso sobre
el campo de los numeros bi-narios F2 = {0, 1}. Por consiguiente,
las palabras co-dificadas son precisamente los elementos de este
su-bespacio vectorial.
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64 ContactoS 90, 6168 (2013)
El ejemplo anterior motiva a dar una formulaciongeneral.
Supongase que se desea enviar el mensaje(binario) y = (y1, ..., yk)
el cual se codifica agregandon k > 0 bits de redundancia, xk+1,
. . . , xn+k, quedependen en forma lineal de los bits de
informacion:
xk+i = a0,k+iy0 + + ak,k+iyk, aj,k+i F2,
i = 1, . . . , n k, j = 1, . . . k.
Estas relaciones dan origen a un sistema homogeneode ecuaciones
lineales de la forma:
H xt = 0,
donde H es la matriz del sistema, llamada de pa-ridad. Por lo
tanto, considerando que los prime-ros k bits corresponden a la
informacion original,x1 = y1, . . . , xk = yk, el mensaje
codificado es:x = (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn). Por
consiguiente, unelemento x = (x1, . . . , xn) con entradas binarias
esuna palabra codificada s y solo si es solucion de es-te sistema
lineal homogeneo.
Debido a que los bits de redundancia se expresan co-mo
combinacion lineal de los bits de informacion ylas palabras
codificadas son elementos de un espa-cio vectorial, a este se le
llama un codigo lineal conalfabeto el campo de los numeros
binarios, o sim-plemente un codigo lineal binario. En general,
uncodigo lineal (binario), C, con parametros [n, k], esun
subespacio lineal de dimension k del espacio li-neal Fn2 . El
parametro n es la longitud del codigo,por esta razon a estos
codigos se les denomina debloques. Ademas de estos dos parametros,
la longi-tud (n) y dimension (k), hay otro que es la distan-cia
mnima del codigo la cual esta definida en termi-nos del peso de
Hamming. Este parametro es de losmas importantes, aunque el mas
difcil de determi-nar, y permite decir cuantos errores detecta el
codi-go lineal. En terminos generales, un codigo lineal
condistancia mnima d, corrige a los mas [d1
2] erro-
res (los codigos de Hamming tienen distancia mni-ma igual a 3).
Otra manera de definir un codigo li-neal (binario) es por medio de
su matriz genera-dora cuyos renglones generan el codigo
(subespaciolineal).
Una vez que se tiene la informacion codificada, lafuente emisora
la envia y al recibirla la estacion re-ceptora debe determinar el
numero de errores y loslugares donde esto ocurrio. Este proceso se
deno-mina decodificacion. La matriz de chequeo de pari-dad juega un
papel importante en esta etapa. De-pendiendo del codigo lineal que
se uso para codifi-
car la informacion, se debe tener un algoritmo deco-dificador
adecuado, siendo el de Berlekamp-Masseyuno de los mas utiles y
usados.
Dependiendo del tipo de informacion que se de-sea transmitir se
debe elegir el codigo adecuado.Entre los codigos mas destacados por
sus propie-dades y multiples aplicaciones, se pueden mencio-nar los
BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenhem), RS(Reed-Solomon), RM
(Reed-Muller), Golay, y resi-duos cuadraticos. Los codigos RS son
empleados, porejemplo, en los lectores de discos compactos (CDs)y
en comunicacion satelital; los codigos RM han si-do usado por naves
espaciales para transmitir image-nes de cuerpos celestes. Los
codigos RS tienen variaspropiedades interesantes ya que son, entre
otras co-sas, codigos cclicos, lo cual los hace muy utiles
enaplicaciones pues no resultan costosos desde un pun-to de vista
computacional. Otra propiedad de es-tos codigos es que alcanzan la
mayor distancia mni-ma posible de acuerdo a su longitud y
dimension, esdecir, son codigos MDS (Maximal Distance Separa-ble,
[9]). Desde un punto de vista del Algebra con-mutativa, los codigos
lineales cclicos se pueden re-presentar como ideales de un anillo
de polinomiosen una indeterminada con coeficientes en un cam-po
(binarios). Estos anillos son euclidianos y de idea-les
principales, por esta razon a los codigos ccli-cos (binarios) se
les conoce mejor por su polinomiogenerador.
Como se ha mencionado anteriormente, una matriz(no-cero) con
entradas, por ejemplo, en los nume-ros binarios, se puede usar para
definir un codigo li-neal (binario), ya sea que se tome como la
matriz deparidad o bien generadora. Matrices de esta natu-raleza se
pueden obtener asociadas a diversos obje-tos en varias areas de la
Matematica (como las grafi-cas), pudiendo de esta manera definirse
codigos li-neales. Las propiedades de estos codigos se debenobtener
del estudio de los correspondientes objetosmatematicos.
Los codigos lineales binarios, es decir, donde el alfa-beto es
el campo de los numeros binarios (bits) fue-ron los primeros que se
estudiaron y son los que seusan en aplicacines practicas. Sin
embargo, el estu-dio de codigos se ha extendido a usar otros
alfabe-tos, en general con alguna estructura algebraica co-mo son
los campos finitos (tambien llamados de Ga-lois) y anillos finitos,
como los enteros modulares, deGalois, de cadena, Frobenius, entre
otros.
No solo el Algebra conmutativa es util para el estudio
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Acerca de codigos y criptografa. H. Tapia-Recillas. 65
de los codigos lineales, sino tambien areas como laGeometra
algebraica sobre campos finitos, particu-larmente curvas
algebraicas. Los codigos geometrico-algebraicos, tambien llamados
de Goppa, (en honor aV.D. Goppa, quien los introdujo, [4]) se
definen eli-giendo un curva algebraica con propiedades adecua-das
(irreducible, no-singular, etc.) sobre un campo fi-nito donde se
toman dos divisores racionales con cier-tas propiedades (por
ejemplo con soporte ajeno), yel espacio de funciones racionales
asociado a uno delos divisores. Evaluando estas funciones sobre el
so-porte del otro divisor se obtiene un codigo lineal so-bre el
campo finito. Las propiedades de estos codigosestan fuertemente
ligados a la geometra de la cur-va algebraica as como a las
propiedades de los divi-sores, donde el Teorema de Riemann-Roch
([13]) jue-ga un papel vital es este estudio. La Teora de nume-ros
tambien es importante en el estudios de codi-gos ya que se pueden
definir los codigos de resi-duo cuadratico, y determinar cotas para
la distan-cia mnima, usando resultados de esta area. La
Com-binatoria se usa por ejemplo para describir los codi-gos de
Reed-Muller, usar los sistemas de Steiner oconjuntos parcialmente
ordenados para obtener codi-gos con buenos parametros. El analisis
de Fourier so-bre grupos abelianos finitos es muy util en la
des-cripcion de la distribucion de pesos de codigos linea-les. Para
cuestiones de aplicacion se desea que el es-tudio matematico de los
codigos conduzca a un al-goritmo y para su implementacion es
indispensa-ble hacer uso de la computacion (software), as co-mo
tambien de la Ingeniera Electronica (hardwa-re). Estos son algunos
ejemplos de como la Teorade codigos lineales interactua con otras
areas de laMatematica.
Hoy en da son varias y de diversa ndole las apli-caciones de los
codigos lineales binarios detectores-correctores de errores, y
entre estas se incluyen algu-nas cotidianas como son los lectores
de CDs, DVDs,y almacenamiento de informacion hasta otras
massofisticadas como informacion satelital y de
navesespaciales.
Criptografa
La palabra criptografa proviene del griego krytosque significa
esconder y graphein cuyo significa-do es escritura, se usa ahora
para nombrar al areaque estudia las tecnicas y metodos para
prevenir quela informacion este al alcance de entidades no
auto-rizadas a conocerla. A estos metodos tambien se leconoce como
cifrado de datos. La criptografa tam-poco es nueva, de hecho es mas
antigua que los
codigos detectores-correctores de error. A lo largode la
Historia de la Humanidad se han desarrolla-do formas para esconder
la informacion, y se tie-ne conocimiento que la cultura egipcia
usaba crip-tografa, principalmente en la elite (faraones);
JulioCesar tambien uso tecnicas de cifrado para enviar in-formacion
a sus huestes, actualmente hay un sistemaque lleva su nombre.
Durante la Primera y Segun-da guerra mundial se desarrollaron
varios sistemascriptograficos, de particular relevancia fue la
Maqui-na Enigma ([7], [12]). En Mexico tambien se utili-zaron
metodos para cifrar informacion durante laRevolucion ([1]), y su
relacion con el conocido Te-legrama Zimmermann.
A mediados de 1970 se introdujeron nuevos siste-mas de cifrados,
la mayora de ellos basados en con-ceptos y resultados matematicos
mas alla de ser ele-mentales y basicos, de tal manera que este
hecho fueun parteaguas en esta area ([3]). Actualmente se
con-sidera que la criptografa tiene dos grandes grupos:la moderna,
a partir de esa fecha, y la clasica, an-tes de ella.
Entre los principales servicios que proporciona lacriptografa
moderna se cuentan la confidencialidad,integridad, y no-repudiacion
de la informacion. Enalgunos casos se pide el control al acceso y
disponi-bilidad de la misma. El desarrollo de los sistemas
decifrado estuvo ligado fuertemente a cuestiones beli-cas y de
seguridad nacional pero actualmente tie-nen otros usos y
aplicaciones en areas donde se re-quiere alta seguridad en el
manejo y almacenamien-to de informacion.
Esquema de un cifrado
Un sistema de cifrado requiere de dos llaves pararealizar la
operacion, una llave para cifrar y otrapara descifrar. El esquema
de un cifrado de texto enbloques es relativamente sencillo y se
representa enla Figura 2.
Un sistema criptografico se dice robusto cuando no sepuede
recuperar la(s) llave(s) del sistema u obtenerel texto original del
texto cifrado. El criptoanalisises el area que describe los metodos
y tecnicas pararecuperar el texto original a partir del texto
cifrado,ya sea obteniendo la llave para decifrar o a partir
deltexto cifrado, y un sistema se hace mas robusto en lamedida que
resiste diversos tipos de criptoanalisis.
Cifrados de llave privada
Si en la Figura 2 la Llave para cifrar es la misma que
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66 ContactoS 90, 6168 (2013)
Figura 2: Esquema de cifrado
la Llave para descifrar, y esta debe estar bien res-guardada.
Estos sistemas se denominan de Llave pri-vada o simetricos. Los
sistemas criptograficos que seconocan hasta antes de la decada de
1970, es de-cir, los sistemas clasicos, practicamente todos sonde
llave privada, como el de Julio Cesar y Vigene`reentre otros. Los
sistemas de cifrado de llave pri-vada modernos incluyen, el Data
Encryption Stan-dard (DES), Twofish, Advaced Encryption
Standar(AES), los cuales son los mas robustos y usados
ac-tualmente. La robustez de estos sistemas radica enlas bases
matematicas que los sustentan y su comple-jidad computacional. La
descripcion y algoritmos delos sistemas de cifrado es publica y se
puede consul-tar en libros, revistas, internet, etc., y varios son
losconceptos de diversas areas de la Matematica usa-dos en el
diseno de tales sistemas. Por ejemplo, en elsistema AES, la
unidadde cifrado es el byte (ochobits), el cual se pueden ver como
elemento del espa-cio vectorial F82. Los bytes tambien se pueden
iden-tificar con polinomios de grado menor o igual a 7con
coeficientes binarios, ya que, como espacio vecto-rial F82 es
isomorfo a F2[x]/x
81, donde x81 esel ideal de F2[x] generado por el polinomio
(x
81), yeste tiene una estructura algebraica mas rica ya quees un
anillo (conmutativo finito). Estas dos estructu-ras, como espacio
vectorial binario son a la vez iso-morfas a F2[y]/y
8 + y4 + x3 + x + 1. La gran ven-taja de esta ultima es que
ademas de ser un ani-llo, tiene la estructura algebraica de campo
(fini-to con 28 elementos), donde todo elemento distin-
to de cero tiene un inverso multipilicativo. Otra pro-piedad de
los campos finitos es que el conjunto de ele-mentos distintos de
cero es un grupo cclico (multi-plicativo), es decir, cualquier
elemento de este gru-po es potencia de un elemento, llamado el
genera-dor del grupo. Este hecho es muy importante pa-ra realizar
aritmetica rapida sobre campos finitos, yse usa tanto en Teora de
codigos como en los sis-temas de cifrado. Otro concepto matematico
que seha empleado en criptografa, tanto en cifrados clasi-cos como
modernos, es el de permutacion. El gru-po simetrico, de las
permutaciones, es uno de los masinteresantes y estudiados y su uso
comprende tan-to cuestiones teoricas como aplicadas. Por ejemplo,en
los sistemas DES, AES, Twofish y algunos otros,las permutaciones
son parte importante de las lla-madas cajas de sustitucion
(S-boxes). Usando la es-tructura de campo finito, la permutacion a
a1,para a 6= 0, es parte medular de la caja de sus-titucion del
sistema AES. Lo anterior es un ejem-plo que muestra la relevancia
del Algebra conmuta-tiva y Teora de grupos en Criptografa de llave
pri-vada, pero no son las unicas. Mas adelante se comen-tara como
la Teora de Numeros y la Geometra al-gebraica, son la base
matematica de los cifrados masrobustos de llave publica que se
emplean actualmen-te ([10]).
Los sistemas de cifrado de llave privada tienen lagran ventaja
de ser bastante rapidos, particularmen-te si se implementan en
hardware, y se usan para ci-frar grandes volumenes de
informacion.
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Acerca de codigos y criptografa. H. Tapia-Recillas. 67
Cifrados de llave publica
Si en la Figura 2 la Llave para cifrar es distintaa la Llave
para descifrar, una de las llaves se ha-ce publica y la otra la
conserva el usuario, el sis-tema se denomina de Llave publica. Un
hecho im-portante en estos sistemas es que de la llave publi-ca no
es posible obtener la otra llave del sistema,la privada. Entre los
sistemas de cifrado de este ti-po mas usados y robustos se tiene el
de ElGamal,RSA (Rivest-Shamir-Adleman), y Curvas elpticas.Los dos
primeros, estan sustentados principalmen-te en Teora de grupos y
Teora de numeros, particu-larmente en el anillo de enteros
modulares. En el sis-tema RSA el modulo m es el producto de dos
nume-ros primos p, q, distintos y grandes (del orden de100 dgitos),
es decir, m = pq. El grupo (multiplica-tivos) de unidades de este
anillo juega un papel im-portante en el diseno del RSA ya que la
llave para ci-frar es un elemento (no trivial), e 6= 1 de este
gru-po y el inverso, d = e1, de este elemento es la lla-ve para
descifrar. Dado que en un grupo el inver-so de un elemento es
unico, la pareja (e, d) es uni-ca. La funcion de Euler, la cual da
el orden del gru-po de unidades del anillo de enteros modulares, es
re-levante en la descripcion del sistema RSA. La seguri-dad y
robutez de este sistema descansa en varios he-chos, destacando la
generacion de numeros primosgrandes (aleatorios), determinar cuando
un nume-ro entero (grande) es primo, y el problema del loga-ritmo
discreto (PLD).
Otro cifrado de llave publica, introducido en formaindependiente
por V. Miller y N. Koblitz (1986-87,[10]), esta basado en la
estructura de grupo (abelianofinito) de los puntos racionales de
una curva elpticadefinida sobre un campo finito. Este sistema
tienepropiedades que el RSA no posee, por ejemplo lalongitud de las
llaves es mas corta as que se puedeutilizar en dispositivos que
requieren poca capacidadde computo. La robustez de este sistema
descanasaen el problema del logaritmo discreto (PLD) sobreel grupo
de puntos racionales de la curva elptica.
Debido a que los cifrados de llave publica realizanmuchos
calculos, algunos de ellos pesados, son len-tos y no se usan para
cifrar grandes volumens de in-formacion. En la practica se usan
sistemas hbridos:sistemas de llave privada para cifrar grandes
canti-dades de informacion, y cifrados de llave publica pa-ra
transmitir en forma segura las llaves de los cifra-dos de llave
privada, o informacion confidencial.
Cifrados en flujo
Los cifrados en flujo, tambien llamados en casca-da, difieren de
los antes mencionados en que la in-formacion a cifrar no se
presenta en bloques, sino enuna sucesion de bits. Estos cifrados se
puede consi-derar como un sistema de llave privada ya que pa-ra
cifrar y descifrar se usa la misma llave, la cual esuna sucesion de
bits.
Si el texto a cifrar esta representado por la sucesionbinaria M
= {mi} y la llave por Z = {zi}, entoncesla sucesion
M Z = C = {ci = mi zi},
representa el texto cifrado, donde es la sumabinaria.
Los sistemas de cifrado en cascada son de cierto mo-do una
aproximacion del sistema de cifrado one-time-pad, uno de los mas
seguros pero no de facilimplementacion ya que la llave debe ser tan
gran-de como el texto a cifrar. La robustez de estos sis-temas
radica principalmente en tener llaves fuertes,es decir, sucesiones
binarias con propiedades especia-les. Existen varios sistemas de
cifrado en cascada, co-mo son el A5/1, A5/2, A5/3, Fish, Panama,
Rab-bit, Snow, Turing, GEA3 (General Encryption Al-gorithm), entre
otros. Por su facilidad, rapidez y po-cos requisitos para su
implementacion, estos siste-mas tienen multiples y variadas
aplicaciones, las cua-les incluyen transmisiones inalambricas
(television,telefona, satelital, etc.), as como en
dispositivosmoviles.
Actualmente los sistemas de cifrado de da-tos, ademas se
emplearse en medios milita-res y de seguridad nacional, tienen
varias aplicacio-nes en actividades cotidianas como son la firma
di-gital (en Mexico empleada, por ejemplo en el Sis-tema de
Administracion Tributaria (SAT) y Nor-mas Oficiales Mexicanas (NOM)
para el mane-jo y seguridad de datos), sellos digitales, dinero
digi-tal, comercio electronico, votacion electronica, bio-metra,
proteccion de bases de datos, sistemas y me-dios de seguridad
informatica; por mencionaralgunos.
Temas afines
Son varios los temas relacionados con Teora de codi-gos y
Criptografa, y sera difcil mencionarlos todos.Algunos de estos como
comparticion de secretos (conaplicacion a votacion electronica),
esquemas de au-tenticacion, esteganografa, criptografa visual,
su-cesiones pseudoaleatorias, as como diversos aspec-
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68 ContactoS 90, 6168 (2013)
tos de campos de Galois ([8], [14]), han sido aborda-dos por
colegas de nuestro Departamento.
Comentarios finales
La intencion de esta nota, como se dijo al princi-pio de la
misma, es dar una descripcion basica delos codigos lineales
detectores-correctores de erroras como de sistemas de cifrado y su
conexion conotras areas de Matematicas que hasta hace poco
seconsideraban abstractas y de poca o nula aplica-cioon a
problematicas reales, ahora fundamentalesen el manejo y seguridad
de la informacion. Entre es-tas areas de cuentan Teora de grupos,
Algebra con-mutativa, Teora de numeros y Geometra algebrai-ca, y
aunque no se hizo alusion directa por falta deespacio,
Representacion de algebras, Teora de grafi-cas, Variedades
algebraicas y abelianas de dimen-sion superior, y sobre todo
Computacion, por men-cionar algunas.
Con el desarrollo de la tecnologa digital, tanto loscodigos como
la criptografa tienen una amplia ga-ma de aplicaciones relaciondas
con la trasmision yseguridad de la informacion, en la industria,
gobier-no, comercio, etc., y mientras los sistemas digitalesse
sigan empleando, estas dos areas seguiran siendode gran utilidad.
Companias relacionadas con comu-nicaciones, entidades
gubernamentales como la Na-tional Security Agency (NSA) de los
Estados Uni-dos de America, y grupos academicos realizan
inves-tigacion en estos temas, tanto en la parte matemati-ca como
en la computacional para ser usadas en di-versas problematicas. En
Mexico, a pesar de que haypersonas trabajando en estos temas, se
tiene la nece-sidad imperiosa de la formacion de mas recursos
hu-manos en estas direcciones que interactuen en los di-versos
ambitos de la vida nacional. El grupo del De-partamento de
Matematicas de la UAM-I que tra-baja en estos temas desde hace
varias decadas, seha ocupado de la formacion de recursos
humanoshabiendo graduado estudiantes a nivel de licencia-tura,
maestra y doctorado. Regularmente organi-za y participa en
actividades como platicas de di-vulgacion, conferencias,
seminarios, talleres; a diver-sos niveles. El Coloquio Nacional de
Codigos, Crip-tografa y Areas Relacionadas, organizado por es-te
grupo desde hace mas de 15 anos, y cuya deci-ma version se
realizara en septiembre, 2013, es unode los foros academicos que ha
permitido amalga-mar a personas de todo el pas y de diversos
ambi-tos (gubernamental, comercio, academico, etc.) inte-resadas en
estos temas. Este grupo tambien ha orga-nizado, en dos ocasiones,
eventos de talla internacio-
nal (las memorias publicadas por Springer-Verlag),y participa en
forma regular en foros academicos fue-ra del pas presentado
trabajos de investigacion y pu-blicando estos en revistas
especializadas.
Referencias
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