Coeficientes de determinación múltiple

INTRODUCCIÓN

La bondad de la predicción depende de la relación entre las variables. Si dos variables no covarían, no podremos hacer predicciones válidas, y si la intensidad de la covariación es moderada, las predicciones no serán demasiado buenas. En consecuencia, hay que disponer de alguna medida de la capacidad de la ecuación de Regresión para obtener predicciones buenas (en el sentido de que sean lo menos erróneas posible).

Esta medida es el Coeficiente de Determinación, que es el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson, y da la proporción de variación de la variable Y que es explicada por las variables X (variable predictora o explicativa). Si la proporción es igual a 0, significa que la variable predictora no tiene NULA capacidad predictiva de la variable a predecir (Y). Cuanto mayor sea la proporción, mejor será la predicción. Si llegara a ser igual a 1 la variable predictora explicaría TODA la variación de Y, y las predicciones NO tendrían error.

MEDIDAS DE VARIACIÓN.

El coeficiente de determinación de la muestra se desarrolla de la relación entre dos tipos de variación: la variación de los valores Y en conjunto de los datos alrededor de

la línea de regresión ajustadasu propia media

el termino variación en estos dos casos se refiere a “la suma de un grupo de desviaciones cuadradas”. Al usar esta definición, entonces es razonable expresar la variación de los valores Y alrededor de la línea de regresión con esta ecuación:

Variación de los valores Y alrededor de la línea de regresión = la segunda variación, la de los valores de Y con respecto a su propia media, está determinada por variación de los valores de Y alrededor de su propia media = uno menos la razón entre estas dos variaciones es el coeficiente de determinación de la muestra que se simboliza r2 esta ecuación es una medida del grado de asociación lineal entre X y Y

CÁLCULOS DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

Una vez ajustada la recta de regresión a la nube de observaciones es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajuste se utiliza el coeficiente de determinación, definido como sigue

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o bien

Como scE < scG, se verifica que 0 < R2 < 1.

El coeficiente de determinación mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente   respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por cien.

Por otra parte, teniendo en cuenta que   i -  =  1 , se se obtiene