Cognición y Representaciones en Matemática

7/25/2019 Cognición y Representaciones en Matemática

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No podemos, como profesores de Matemática, pretender gestionar satisfactoriamente una

clase sin conocer las características que poseen los objetos cuyo estudio aborda laMatemática, como así también lo que atañe a su comprensión, significado y

conceptualización

Objetos matemáticos y conceptualizaciónAbordar la problemática de la cognición en Matemática no es una tarea sencilla y lejos

estamos de poder hacerlo con profundidad en este espacio.

Es nuestra obligación mencionar aquí que nociones como comprensión, concepto,

significado, sentido, representación, situación -solo por mencionar algunas- son abordadas

y descriptas de maneras muy diferentes, en algunos casos, de acuerdo con el marco teórico

que se tome como referencia.

Consideraremos de estas perspectivas aquellos constructos que nos posibiliten crear unmarco de reflexión, no de investigación, sobre la cognición en Matemática:

Primer día de clase en un curso del Nivel Superior. El profesor escribe en el pizarrón: 2, e

inmediatamente pregunta ¿Este es el número dos? Los alumnos no saben qué responder.Intuyen que el profesor esconde algo. Ante el silencio reinante el profesor afirma: No. Es una

representación de una idea que nosotros llamamos número dos. Es una idea porque está en

sus cabezas. ¿O alguno de Uds. vio alguna vez al uno caminando por la calle? Además, ¿qué

creen que 2 puede significar para un habitante de una tribu del Amazonas que nunca tuvo

contacto con nuestro sistema de representación?

El mismo profesor varias semanas después le plantea al mismo grupo de alumnos la siguiente

cuestión: Supongamos que, cuando entramos en el aula, lo único que encontramos escritoen el pizarrón es 10. ¿Podemos asegurar que se trata del diez? Los jóvenes, que ya han

entrado en confianza con el profesor se animan a decir lo que piensan. Uno de ellos comenta:

No es el número 10, es una representación del número 10. A lo que el profesor le responde:

¿Y a Ud. quién le dijo que esa representación corresponde al sistema de numeración

decimal? ¿Nunca estudió el sistema binario?

Los objetos matemáticos no son objetos materiales: son abstractos, ideales. Las personas no

entramos en contacto directo con los objetos matemáticos ni sensorial ni instrumentalmente.

El conocimiento de los objetos matemáticos es esencialmente conceptual. Y para lograr ese

conocimiento hay que emplear representaciones. Desde el punto de vista de la enseñanza,

esta observación es fundamental ya que si no se advierte sobre la diferencia entre objeto yrepresentación, los alumnos confundirán el objeto con una representación específica de este.

Es más, atendiendo a que un objeto matemático no posee una única representación, para la

comprensión conceptual del mismo, es necesario emplear varios registros semióticos de

representación. En consecuencia, en Matemática: más que hablar de conceptos matemáticos

se habla de objetos matemáticos. Adquirimos un conocimiento conceptual de los objetos

matemáticos.

Intentaremos clarificar las ideas expuestas precedentemente en los desarrollos que siguen.Mencionábamos que, en nuestras clases, trabajamos con un universo de elementos muy

variados, organizados y relacionados de una manera particular : son los objetos

matemáticos. Al respecto, Bruno D’Amore (2006 b), p. 181) define:



Objeto matemático es todo lo que es indicado, señalado, nombrado cuando se construye, se

comunica o se aprende matemática.

(…) hemos sugerido considerar los siguientes tipos de objetos matemáticos:

• “lenguaje” (términos, expresiones, notaciones, gráficos) en sus diversos registros (escrito,oral, gestual)

• “situaciones” (problemas, aplicaciones extra-matemáticas, ejercicios)• “acciones” (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos)

• “conceptos” (introducidos mediante definiciones o descripciones) (recta, punto, número,

media, función)

• “propiedad o atributo de los objetos” (enunciados sobre conceptos, etc.)

• “argumentos” (por ejemplo, los que se usan para validar o explicar los enunciados, pordeducción o de otro tipo).

Chevallard (1991, citado por Godino, 1994) define objeto matemático como:

Un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales

que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras oexpresiones pronunciadas; registro de lo gestual; dominio de la inscripción, lo que se

escribe o dibuja (grafismo, formulismos, cálculos, etc.). Es decir, registro de lo escrito.

(p.6)

Vergnaud (1990) nos advierte, a aquellos que estamos interesados en la enseñanza y elaprendizaje, que un concepto no puede reducirse simplemente a su definición. Son las

situaciones y los problemas que se intentan resolver los que posibilitan que un concepto adquiera sentido para un alumno. También nos aclara que, así como un concepto no toma

su significado de un solo tipo de situaciones, tampoco una situación puede analizarse con

la ayuda de un solo concepto. Para Gerard Vergnaud, la conceptualización es la esencia del desarrollo cognitivo y, como

tal, se trata de un proceso progresivo, en muchos casos, inconcluso.Como una aproximación a tan compleja problemática, diremos que la conceptualización

sobre los objetos matemáticos es parte del proceso cognitivo que realizamos las personaspara aprehenderlos. Por tratarse de objetos ideales solo es posible acceder a ellos

manipulando sus representaciones. Desde el punto de vista de la enseñanza, debemos asumir

que la conceptualización exige tiempo, variedad de situaciones, problemas y

representaciones, y la aceptación de que se trata de un proceso progresivo y, en muchos casos,

inacabado. Por otra parte, los objetos matemáticos no emergen en forma aislada a partir de

las prácticas que realizamos, sino que forman parte de una red con otros objetos con los que

guardan estrecha relación y que, a su vez, son los que otorgan significatividad a esas

prácticas.

Semiótica y Matemática.La única forma de trabajar con los objetos matemáticos es a través de sus representaciones.

Toda la actividad matemática se apoya en algún tipo de representación: escritura algebraica,

figuras geométricas, gráficos cartesianos, escrituras para expresar operaciones o relaciones,

etc.

Los signos de los que se valen las representaciones que se emplean en Matemática son el

resultado de la propia evolución de la actividad humana. Pensemos, simplemente, en elproceso evolutivo que significó haber pasado de las marcas que dejaba el hombre sobre una

pieza o madera hasta las formas actuales de representación del sistema de numeración

decimal.



Hablar del estudio de los signos nos lleva, necesariamente, a referirnos, muy brevemente por

cierto, a la Semiótica. Para ello tomaremos la primera aproximación que nos brinda

Victorino Zecchetto (2010) de Semiótica como “La ciencia de los signos que circulan y

producen sentido en el ámbito de las culturas y las sociedades humanas, tomando en cuentasus lenguajes, los que ellos revelan, lo que dicen y cómo dicen las cosas que la gente hace”

(p.13).Y, como aceptamos la idea de que la Matemática es un lenguaje, adoptamos la propuesta de

Luis Puig (p. 8) de que la Semiótica de la Matemática más que centrarse en el estudio de los

signos, debe abordar el de los sistemas de significación y los procesos de producción de

sentido.

Registros y representaciones en Matemática¿Reconoce la siguiente representación? ¿Qué otras representaciones admite?

a)

1,75.

b)

= ()

− 2

En lo que sigue tomaremos ideas de Bruno D’Amore (2004, 2006 a, 2006 b) y Raymond

Duval (2006 a, 2006 b, 2010).

Comencemos con dos nociones básicas:

Un registro de representación semiótica es un conjunto de signos (en el sentido más

amplio de la palabra) organizados y entrelazados de acuerdo con ciertas reglas que

conforman un sistema de representación semiótica.

Una representación semiótica es toda producción constituida por el empleo de signos

que pertenecen a un sistema de representación.

• Los nombres de los registros y de las representaciones suelen variar y, generalmente, son

definidos previamente. Es interesante mencionar aquí que la incorporación de la tecnologíacomputacional ha ampliado el campo de estudio de la Semiótica. En la última fila de la tabla

anterior hemos denominado registro computacional al sistema que impone, en este caso,

GeoGebra y que exige el conocimiento de los signos y reglas que lo rigen.

• Un mismo objeto puede tener varias representaciones muy diferentes, ya sea pertenecientes

a un mismo registro o a diferentes registros.

• Cada representación enfatiza alguna propiedad del concepto representado y oculta otras.

• Para que las representaciones puedan ser útiles en la actividad matemática deben pertenecer

a un sistema semiótico que sea registro de representación. Un sistema semiótico es registro

de representación si permite las siguientes tres actividades cognitivas:- La formación de un conjunto de signos, a partir de las unidades y reglas de formación

propias de cada registro, que sean identificables como una representación de algo en ese

registro.- El tratamiento es la transformación de una representación en el mismo registro en el cual

ha sido formada, haciendo uso solo de las reglas propias de ese registro (es interna al registro).

- La conversión es la transformación de una representación en otra que pertenece a otro

registro conservando la totalidad o una parte solamente del contenido de la representación

inicial (es externa al registro).



Enseñanza, aprendizaje y representacionesLos profesores de Matemática queremos que nuestros alumnos entiendan Matemática.

Permanentemente hacemos juicios valor sobre cuánto comprenden y sobre la gravedad que

reviste el hecho de que no entiendan. Una gran parte de la evaluación se hace sobre lo quelos alumnos han comprendido de Matemática.

La enseñanza de los objetos matemáticos no puede reducirse a una definición y algunosejemplos. Por el contrario, la enseñanza debe recurrir a la mayor variedad de situaciones,

problemas y representaciones. Es la interacción del alumno con esa riqueza de posibilidades

la que le permite una mejor comprensión de los objetos que emerjan. Ese proceso contribuye

a que el alumno otorgue significado a los objetos matemáticos.

La comprensión es un proceso continuo y muchas veces inacabado. Por lo tanto, la enseñanzadebe propiciar sucesivas aproximaciones a los objetos matemáticos.

La comprensión de los objetos matemáticos solo puede hacerse a través de sus

representaciones, y la enseñanza debe prestar mucha atención a las transformaciones

(tratamiento y conversión) entre ellas. En muchos casos, se enfatiza el tratamiento y sedescuida la conversión. Los alumnos pueden dominar las técnicas de tratamiento de las

representaciones en el registro algebraico pero evidenciar dificultades para interpretarlas en

otro registro. Los profesores de Matemática solemos pasar de un registro a otro

permanentemente sin darnos cuenta de que los alumnos solo dominan uno de ellos, o bien,dominando varios, no pueden traducir de uno a otro, con la rapidez que nosotros lo hacemos.

Godino (1994, p.2) afirma que la preocupación central para la Didáctica de la Matemática esel significado que los alumnos atribuyen a cada objeto matemático y a los procesos que dan

origen a esos significados.

Una parte de la evaluación de nuestros alumnos consiste en detectar cuán próximo es el

significado que los alumnos otorgan a tal o cual objeto matemático con el significado

institucional que nosotros, como profesores, hemos otorgado a ese mismo objeto a través denuestra enseñanza. Cuando decimos que un alumno ha comprendido queremos expresar que

desde nuestro punto de vista (institucional) ha otorgado a cierto objeto matemático unsignificado personal muy próximo al significado institucional. Es sumamente importante

considerar la dimensión institucional al teorizar sobre los procesos de enseñanza y de

aprendizaje de la Matemática. Cada institución (escuela, aula) restringe y legitima ciertos

significados que no necesariamente son compartidos por otra institución.

Juan Godino y Vinceç Font Moll son representantes de un programa de investigación en

Didáctica de la Matemática denominado Enfoque Ontosemiótico de la cognición e

instrucción matemática (EOS). Es un enfoque que plantea líneas de investigación para el

análisis didáctico con una riqueza conceptual e instrumental que excede ampliamente

cualquier pretensión de abordaje en este texto. Simplemente mencionemos que se analizan ycuestionan las nociones básicas presentadas en esta clase, y se reformulan a los fines de crear

algunos de los constructos teóricos que forman parte del núcleo duro de ese programa de

investigación.

i Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 03: Cognición y representación en atem!tica"

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