ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGAS E INGENIERA

MTODOS NUMRICOS

TRABAJO MOMENTO 2

Presentado por:

OSCAR JOS RAMREZ CARDONA

Cd. 79810115

CHRISTIAN EDUARDO TORRES HERRAN

Cd. 79992506

CAMILO EDUARDO MORALES

Cd. 80098024

RODOLFO DANIEL BOGOTA

Cd.: 79976308

WILSON PULIDO

Cd. 79850780

Tutor

JOSE ADEL BARRERA

Grupo:

100401_12

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

BOGOTA D.C. COLOMBIA

Octubre de 2014

INTRODUCCIN

En el mundo de las matemticas, hay varios tipos de ecuaciones que los cientficos,

economistas, estadsticos y otros profesionales utilizan para predecir, analizar y explicar el

universo que los rodea. Estas ecuaciones relacionan las variables de tal forma que una

puede influir o predecir la salida de la otra. En matemticas bsicas, las ecuaciones lineales

son la opcin ms popular de anlisis, pero las ecuaciones no lineales dominan el mbito de

las matemticas avanzadas y la ciencia.

Por medio de la realizacin de este trabajo se adquiri conocimiento de igual manera se

identificaron sus propsitos y temticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se

evidencie el contenido del mdulo, orientando a estudiar la aplicacin de los conceptos y

normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y

considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes

herramientas que se usan en los mtodos numricos para fortalecer nuestros conocimientos

en este nuevo proceso de formacin.

Objetivo

Comprender la estructura del mdulo Para la unidad 2, entenderla para fundamentar el

estudio de Sistema de ecuaciones lineales, no lineales e interpolacin. Como son las

diferencias entre los sistemas lineales y no lineales. Para dar la solucin a problemas reales

y adquirir conocimiento sobre las temticas y los objetivos del curso.

Para esto se dispone a realizar las 4 fases de aprendizaje para este momento y as llevar a

buen trmino la materia y lograr cumplir las metas propuestas durante el semestre.

Desarrollo de la Actividad

Fase 1.

Realizar un cuadro comparativo entre los sistemas lineales y los sistemas no lineales.

ECUACIONES LINEALES ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de varias ecuaciones lineales que se resuelven simultneamente, y comparten la o las soluciones (Si es que hay solucin).

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

Sustitucin Mtodo de biseccin

El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuacin sustituirla en otra ecuacin por su valor. En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente.

Es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raz.

Igualacin Mtodo de la regula falsi (regla del falso) o

falsa posicin

El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.

Es un mtodo iterativo de resolucin numrica de ecuaciones no lineales. El mtodo combina el mtodo de biseccin y el mtodo de la secante.

Reduccin Mtodo de la secante

Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.

Es un algoritmo de la raz de investigacin que utiliza una serie de races de las lneas secantes para aproximar mejor la raz de una funcin f. El mtodo de la secante se puede considerar como una aproximacin en diferencias finitas del mtodo de Newton- Raphson.

Mtodo Grfico Mtodo de Newton-Raphson

Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin.

Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o races de una funcin real. Tambin puede ser usado para encontrar el mximo o mnimo de una funcin, encontrando los ceros de su primera derivada.

Mtodo de Gauss Mtodo Iterativo

El mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tiene n incgnita, la segunda ecuacin tiene n - 1 incgnitas,..., hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas.

Trata de resolver un problema matemtico (como una ecuacin o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solucin, empezando desde una estimacin inicial. Esta aproximacin contrasta con los mtodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los mtodos iterativos son tiles para resolver problemas que involucran un nmero grande de variables (a veces del orden de millones), donde los mtodos directos tendran un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Eliminacin de Gauss-Jordan Aceleracin de la convergencia

Una variante de este mtodo, denominada eliminacin de Gauss-Jordan, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico.

Fue encontrado en la rectificacin del crculo, es decir, el clculo de pi. Es muy til para acelerar la convergencia de una sucesin que converge linealmente. Cuando se aplica el mtodo de Aitken a una sucesin obtenida mediante una iteracin de punto fijo se conoce como mtodo de Steffensen.

Regla de Cramer

La regla de Cramer da una solucin para sistemas compatibles determinados en trminos de determinantes y adjuntos.

Algoritmos numricos

La eliminacin de Gauss-Jordan es un algoritmo numrico usado para una gran cantidad de casos especficos, aunque posteriormente se han desarrollado algoritmos alternativos mucho ms eficientes. La mayora de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O (n) (donde n es el nmero de ecuaciones del sistema).

Fase 2

Analizarlas tcnicas Numricas para La solucin de Problemas de sistemas de

ecuaciones.

Resolver el sistema matricial planteado en el video Interpolacin por los mtodos:

Sistema matricial aplicando el mtodo de gauss jordan

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

1 10 100 61

1 15 225 82

Encuentra el pivote en la primera columna de la primera fila

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

1 10 100 61

1 15 225 82

Resta la primera fila de la segunda

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

0 5 75 42

1 15 225 82

Resta la primera fila de la tercera

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

0 5 75 42

0 10 200 63

Hace el pivote en la segunda columna dividiendo la segunda fila por 5

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

0 1 15 42/5

0 10 200 63

Multiplica la fila 2 por 5

X1 X2 X3 b

1 5 25 19

0 5 75 42

0 10 200 63

Resta la segunda fila de la primera fila y se restaura

X1 X2 X3 b

1 0 -50 -23

0 1 15 42/5

0 10 200 63

Multiplica la fila 2 por 10

X1 X2 X3 b

1 0 -50 -23

0 10 150 84

0 10 200 63

Resta la segunda fila de la tercera fila y se restaura

X1 X2 X3 b

1 0 -50 -23

0 1 15 42/5

0 0 50 -21

Hace el pivote en la tercera columna dividiendo la tercera fila por 50

X1 X2 X3 b

1 0 -50 -23

0 1 15 42/5

0 0 1 -21/50

Multiplica la tercera fila por -50

X1 X2 X3 b

1 0 -50 -23

0 1 15 42/5

0 0 -50 21

Resta la tercera fila de la primera fila y se restaura

X1 X2 X3 b

1 0 0 -44

0 1 15 42/5

0 0 1 -21/50

Multiplica la tercera fila por 15

X1 X2 X3 b

1 0 0 -44

0 1 15 42/5

0 0 15 -63/10

Resta la tercera fila de la segunda fila y restaurarla

X1 X2 X3 b

1 0 0 -44

0 1 0 147/10

0 0 1 -21/50

Donde tenemos como solucin:

Para corroborar la solucin reemplazamos los valores en la ecuacin 1 y se nos debe

cumplir la igualdad.

Fase3

Distinguir las aplicaciones de los sistemas de ecuacin en la Ingeniera.

Eliminacin de gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel

Eliminacin de gauss

El mtodo de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente

de forma que ste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminacin de ecuaciones dependientes.

Si todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinacin lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1. Si a ambos miembros de una ecuacin de un sistema se les suma o se les resta una misma expresin, el sistema resultante es equivalente.

2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un nmero distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3. Si sumamos o restamos a una ecuacin de un sistema otra ecuacin del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4. Sin en un sistema se sustituye una ecuacin por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por nmeros no nulos,

resulta otro sistema equivalente al primero.

5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incgnitas, resulta otro sistema equivalente.

El mtodo de Gauss consiste en utilizar el mtodo de reduccin de manera que en cada

ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.

1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el cmo coeficiente de x: 1 -1, en caso

de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2

ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

E'2 = E2 3E1

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminar el trmino en x.

E'3 = E3 5E1

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminar el

trmino en y.

E''3 = E'3 2E'2

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontrar las soluciones.

z = 1

y + 4 1 = 2 y = 6

x + 6 1 = 1 x = 4

Mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

En matemticas, la eliminacin de Gauss-Jordan, llamada as debido a Carl Friedrich Gauss

y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del lgebra lineal para determinar las soluciones de un

sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus

soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada

ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. El mtodo de Gauss transforma la

matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

El mtodo de Gauss-Jordan contina el proceso de transformacin hasta obtener una matriz

diagonal.

Aplicaremos el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan: obtener la forma escalonada

reducida de la matriz ampliada del sistema de ecuaciones mediante operaciones elementales

fila. Una vez obtenida la matriz, aplicaremos el Teorema de Rouch-Frobenius para

determinar el tipo de sistema y obtener las soluciones, que dice as

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas (sobre un cuerpo en

general), siendo m y n naturales (no nulos):

AX = B es compatible si, y slo si, rango( A ) = rango ( A | B ).

AX = B es compatible determinado si, y slo si, rango( A ) = n = rango( A | B ).

Ejercicios resueltos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

MTODO DE GAUSS-SEIDEL

El mtodo de Gauss-Seidel es un mtodo iterativo y por lo mismo resulta ser bastante

eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuacin 1 despejar x1, de la ecuacin 2 despejar x2, , de la ecuacin n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este ltimo conjunto de ecuaciones son las que forman las frmulas iterativas con las que

se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las

variables x2,, xn; esto dar un primer valor para x1. Ms precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuacin 2, y las variables x3,, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos ltimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuacin 3, mientras que x4,, xn siguen teniendo el valor de cero; y as sucesivamente hasta llegar a la ltima ecuacin.

Todo este paso arrojar una lista de primeros valores para las incgnitas, la cual conforma

el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensin esto se simbolizar de

esta forma:

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos ltimos datos en vez de ceros

como al inicio. Se obtendr una segunda lista de valores para cada una de las incgnitas, lo

cual se simbolizar as:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una

de las incgnitas. La lista de errores se presenta a continuacin:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

Donde se debe prefijar convenientemente.

Aplicacin del mtodo Gauss-Jordn Para la resolucin de un problema de Ingeniera

DISTRIBUCIN DE RECURSOS

Todos los campos de la ingeniera enfrentan situaciones en las que la distribucin correcta

de recursos es un problema crtico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios

deconstruccin, distribucin de productos y recursos en la ingeniera, Aunque los

problemas siguientes tienen que ver con la fabricacin de productos, el anlisis general

tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero Civil supervisa

la produccin de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboracin de prefabricados.

Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava, Arena y Agua

Aplicacin del mtodo gauss-seidel

Problema 1.Una compaa minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la

mina I el 1% de nquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de nquel y 5% de cobre. Qu

cantidad de mineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de nquel y 9

toneladas de cobre? Solucin: Cul es el problema? Qu se busca? Queremos saber el

nmero de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina, asignemos literales a

esos nmeros. Sean x el nmero de toneladas que se extrae de la mina I. y el nmero de

toneladas que se extrae de la mina II. Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las

literales. Cunto se obtiene de nquel de la mina I?0.01 x Y de la mina II?0.02Entonces la

ecuacin queda: 0.01x + 0.02y =4

Anlogamente para el cobre tenemos: 0.02x+0.05y=9

As, para saber cuntas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema

Dedos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

La matriz queda de la siguiente forma

Encontr que el mtodo de la ecuacin por seidel no es convergente por este motivo no es

viable, por favor corregirme si me equivoco.

1 5 25 19

1 10 100 61

1 15 225 82

El primer paso es observar que la diagonal principal contiene el mayor coeficiente de cada

ecuacin, en esta sistema no se cumple no es convergente por eso no aplica.

Fase 4

Teniendo en cuenta los datos de la tabla que se presenta en el video

TIEMPO 5 10 15 X

NIVEL DEL AGUA 19 61 82 P(X)

Suponga las condiciones ideales y halle el polinomio de diferencias divididas de newton.

Adems identifique los coeficientes de x y x2 y compare su respuesta con la obtenida en el

anterior procedimiento.

Conocido como Polinomio de interpolacin por diferencias divididas de Newton. Las evaluaciones de las funciones puestas entre corchetes (f[x1, x0], por ejemplo) son

diferencias divididas finitas.

La primera diferencia dividida finita se representa como:

La segunda diferencia dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras

diferencias divididas, se expresa como:

La nsima diferencia dividida finita es:

Diferencias Divididas de Newton

TIEMPO 5 10 15 X

NIVEL DEL AGUA 19 61 82 P(X)

En este caso

0 = 5 1 = 10 2 = 15

Para determinar el valor de los coeficientes, se construye la tabla de diferencias divididas.

Xi F(Xi) = b_2

5 19

8,4

10 61 -0,42

4,2

15 82

5 19

10 61

15 82

Polinomio

() = 19( 5) 0,42( 5)( 10)

() = 19 + 8,4 42 0,422 4,2 + 2,1 + 4,2

() = , + , ,

=61 1910 5

= 8,4

=82 6115 10

= 4,2

=, ,

= ,

Para hallar los valores de 1 2 se usa la ecuacin cuadrtica, la cual se implementa de la

siguiente forma:

() = , + , ,

= 0,42

= 6,3

= 18,8

1,2 = 2 4

2

Luego entonces:

1,2 =6,3 (6,3)2 4(0,42)(18,8)

2(0,42)

1,2 =6,3 39,69 31,584)

0,84

1,2 =6,3 8,106

0,84

1 =6,3 + 2,85

0,84 2 =

6,3 + 2,85

0,84

= , = ,

Conclusiones

Podemos concluir que los estudiantes involucrados en el presente trabajo colaborativo

comprendieron los conceptos de la unidad II del curso Mtodo Numrico. Algunos de los

conceptos estudiados se relacionan con los mtodos de iterativos de eliminacin y las

interpolaciones de polinomios, por este motivo los estudiantes tienen el conocimiento

necesario para utilizarlos en casos reales de la vida profesional.

Los mtodos de Newton y de La Grange son compatibles con los datos espaciados en forma

arbitraria, se debe de preguntar por qu se aborda el caso de los datos igualmente

espaciados. Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos mtodos tuvieron

gran utilidad en la Interpolacin de tablas con datos igualmente espaciados. De hecho se

desarrolla un esquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar la

implementacin de estas tcnicas .Sin embargo, y debido a que las frmulas son un

subconjunto de los es quemas de Newton y La gran ge compatibles con la computadora y

ya que se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad

de puntos equidistantes se fue perdiendo. En particular, se puede emplear en la derivacin

de frmulas de integracin numrica que emplean comnmente datos equidistantes .La

extrapolacin es el proceso de calcular un valor de f(X) que cae fuera del rango de los

puntos base conocidos X0, X1, ... , Xn. La interpolacin ms exacta usualmente se obtiene

cuando las incgnitas caen cerca de los puntos base. Obviamente, esto no sucede cuando las

incgnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolacin puede ser muy

grande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolacin representa un paso en la

incgnita porque el proceso extiende la curva ms all de la regin conocida. Como tal, la

curva verdadera diverge fcilmente de la prediccin. Por lo tanto, se debe tener cuidado

extremo en casos donde se deba extrapolar.

Bibliografa

Bucheli Chaves, Carlos Ivn (2013): Curso Acadmico Mtodos Numricos. Pasto, Nario.

Chapra C., Steven; Canale, Raymond P. (2007): Mtodos Numricos para Ingenieros.

Mxico.

http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/teaching/clases/08-

09/trabajos/metodo%20biseccion.pdf

EL MTODO DE LA BISECCIN

http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-biseccion/metodo-biseccion.shtml

http://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-la-regla-falsa