2.- 𝑆𝑖 h(x )= x√x ; halle el valor de h ' ' (3)

Solución.

Primero organizamos la función: h(x )=x

√x

h ( x )= x√x

= x

x12

=x ×x−12 =x

1−12=x

12

Derivamos la función a partir de: h ( x )=x12

h '( x)=12x

12−1

=12x

−12

Volvemos a derivar a partir de h' ( x )=12x

−12

h' ' (x)=(−12 )( 1

2 ) x−12 −1

=(−14 ) x

−32

h' ' (x)= −1

4 x32

= −14 √x3

Evaluamos la segunda derivada en x=3

h' ' ( x )= −1

4 x32

= −14 √x3

h' ' ( x )= −1

4 (3)32

= −14√(3)3

= −14 √27

= −14×5,20

= −120,8

3.- Hallar la derivada de f ( x )=sen22 x

Solución.

Para resolver esta derivada hay que aplicar el concepto de REGLA DE LA CADENA

ya que es una función compuesta, primero derivando respecto de la potencia, luego

derivando la función trigonométrica y derivando internamente el ángulo doble se tiene:

f ( x )=sen22 x

f ( x )=(sen2x )2

f ' ( x )=2(sen2 x)×cos 2x ×2

f ' ( x )=4 (sen2 x)×cos 2x

FASE 2.

4.- f ( x )=¿ x3

¿ x5

Solución.

Antes de derivar, conviene simplificar la función aplicando propiedades de los

logaritmos.

f ( x )=¿ x3

¿ x5

f ( x )=¿ x3

¿ x5 =3∈x5∈x

=35

Puesto que la función es constante su derivada es cero.

f ( x )=35

f ' ( x )=0

5.- f ( x )= xex

Solución.

Para resolver esta derivada hay que aplicar la definición de la derivada de un cociente,

el cual es: c ' (x)=gx× f ' x−fx ×g ' ( x )

g2(x )

Donde para este caso: g ( x )=ex 𝑦 f ( x )=x

Aplicando la definición se tiene: f ( x )= xex

f '( x)=(1×ex )−(x×ex )

(ex )2=

(ex )−(x ×ex )(ex )2

=ex (1−x )e2x =

ex (1−x )e2x =

(1−x )ex

Por lo tanto: f '( x)=(1−x )ex

6.- Hallar la tercera derivada de: f ( x )=ex∈x

Solución.

La primera derivada corresponde a un producto:

f ( x )=ex∈x

f '( x)=ex∈x+ex 1x=ex∈x+ e

x

x

La segunda derivada corresponde a un producto y a un cociente:

f ' ' ( x )=ex∈x+ex 1x+ e

x×x−ex×1x2 =ex∈x+ e

x

x+ e

x x−ex

x2

f ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+ e

x x−ex

x2 =ex∈x+ ex

x+ e

x

x− e

x

x2=ex∈x+ 2e x

x− e

x

x2

La tercera derivada corresponde a un produccto y a un cociente:

f ' ' ' (x)=ex∈x+e x 1x+2ex×x−2ex×1

x2 − ex×x2−ex×2x

x4

f ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+ 2ex x−2ex

x2 − ex x2−e x2xx4

f ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+ 2ex xx2 −2ex

x2 − ex x2

x4 + ex2xx4

f ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+ 2ex

x−2ex

x2 − ex

x2 +2ex

x3

f ' ' ' ( x )=ex∈x+3 ex

x−3ex

x2 + 2ex

x3

La cuarta derivada coresponde a un producto y a un cociente:

f ' ' ' ' ( x )=ex∈x+ex 1x+ 3ex× x−3ex×1

x2 −3ex×x2−3ex×2xx4 +2ex×x3−2ex×3 x2

x6

f ' ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+3e x x−3ex

x2 −3ex x2−6ex xx4 + 2ex x3−6ex x2

x6

f ' ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+3e x xx2 −3ex

x2 −3ex x2

x4 + 6ex xx4 + 2e x x3

x6 −6e x x2

x6

f ' ' ' ' ( x )=ex∈x+ ex

x+3e x

x−3ex

x2 −3e x

x2 +6 ex

x3 + 2ex

x3 −6ex

x4

f ' ' ' ' ( x )=ex∈x+ 4 ex

x−6 ex

x2 + 8ex

x3 −6 ex

x4

f ' ' ' ' ( x )=ex (¿ x+ 4x− 6x2 +

8x3 −

6x4 )

FASE 3

7.- Usando la regla de L’Hopital halle el siguiente límite: limX→0

cosx−1senx

Solución.

El teorema de la regla de L’Hopital dice lo siguiente:

Sean Las funciones f (x) y g(x )derivables en el intervalo abierto (a, b). Sea un valor c

que pertenece al intervalo (a, b). Asumiendo que g ' (x ) ≠ 0 para todo x en dicho

intervalo.

𝑆𝑖 limX→ 0 ( f (x)g (x))=0

0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, limX→0 ( f (x)g (x))= lim

X→ 0 ( f ' (x )g '(x ))La solución directa produce una indeterminación.

limX→ 0

cosx−1senx

=cos (0)−1sen(0)

=1−10

=00

Aplicando el teorema de L’Hopital:

limX→ 0

cosx−1senx

= limX→0

−senxcosx

=−sen (0)cos (0)

=01=0

8.- Usando la regla de L’Hopital halle el siguiente límite: limX→2

x2+2 x−8x2−x−2

Solución.

La sustitución directa produce una indeterminación:

limX→ 2

x2+2 x−8x2−x−2

=¿(2)2+2(2)−8(2)2−2−2

= 4+4−84−2−2

=00¿

Como en el ejercicio anterior puede aplicarse el teorema de L’Hopital. Por tanto:

limX→2

x2+2 x−8x2−x−2

=limX→2

2x+22x−1

=¿2 (2 )+22(2)−1

= 4+24−1

=63=2¿

9.- Derivadas implícitas. Hallar la derivada con respecto a x de: ex−e y=x+ y Solución. Aplicando la regla de la cadena para derivar “y” respecto a “x”.

ex−e y=x+ y

ex−e y=1+ y

ex−e y dydx

=1+ y dydx

ex−1= y dydx

+e y dydx

ex−1=dydx

( y+e¿¿ y )¿

ex−1=dydx

( y+e¿¿ y )¿

ex−1y+e y

=dydx

dydx

= ex−1y+ey

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo? 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝐶 (𝑥)

CT (X )=100.000 .000X2 +2 X+100

Solución. El problema se resuelve calculando primero el punto crítico, para lo cual se debe igualar a cero la derivada. C ' T (X )=−200.000 .000

X3 +2=0

Trasladando términos y multiplico por (-1) a ambos lados: −200.000 .000=−2X3

200.000 .000=2 X3

200.000.0002

=X3

100000000=X3

3√100000000=3√ x3

464,16=x

x=464,16

Para determinar si se trata del valor mínimo empleo la segunda derivada. C ' 'T (X )=600.000 .000

X4

C ' 'T (464,16 )=600.000.000(464,16)4 =0,0129

0,0129 > 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑛 𝑚ì𝑛𝑖𝑚𝑜. Finalmente obtenemos el costo de los 1000 bultos de cemento:

CT (X )=100.000 .000X2 +2 X+100

CT (464,16 )=100.000 .000(464,16)2 +2 ( 464,16 )+100=1492,48

Por tanto la cantidad de bultos de cemento que se deben pedir a la fábrica son 464,16 y tendrán un costo mínimo de 1492,48 pesos.