TEORÍA DE COLAS

Caso 1: Hospital Público de la Ciudad de Mexía

En un hospital público, se ha podido establecer una red de colas, que representa el proceso de internamiento y/o análisis clínicos de los pacientes.

Cada día el hospital atiende alrededor de 200 pacientes, de los cuales el 25% pertenece al proceso que se describirá a continuación.

En este hospital se recepcionan tres tipos de pacientes:

Tipo 1 (30%): Aquellos pacientes que serán internados y han completado previamente el proceso de pre-admisión (pruebas de laboratorio, actualización de la historia clínica, etc.)

Tipo 2 (20%): Aquellos pacientes que serán internados pero no han completado el proceso de pre-admisión.

Tipo 3 (50%): Aquellos pacientes que sólo van por pruebas de pre-admisión.

El horario de atención es de 8:00 a.m. a 2:00 p.m., en otro horario los pacientes se atienden en el pabellón de Emergencia.

En la oficina de Admisión hay dos recepcionistas que atienden a los pacientes que llegan al hospital. Los pacientes forman una cola, y se atiende a los pacientes Tipo 1 antes que a los pacientes Tipo 2 y Tipo 3.

Luego de llenar los formularios que se les entrega en Admisión, los pacientes Tipo 1 le entregan los formularios a un auxiliar de enfermería, quien los traslada en una silla de ruedas o en una camilla, a la Sala de espera. En este ambiente hay dos auxiliares de enfermería que trasladarán a los pacientes al pabellón donde serán internados.

Los pacientes Tipo 2 y 3, luego de pasar por Admisión, se dirigen hacia el laboratorio para que les hagan las pruebas solicitadas. En el laboratorio hay una Mesa de registro donde un auxiliar de enfermería inscribe a los pacientes. Los pacientes son atendidos conforme van llegando. Luego de ello, los pacientes deben esperar hasta que la Laboratorista los llame. Al ser llamados los pacientes entregan la muestra de orina y se les toma la muestra de sangre.

Finalizado este proceso en el laboratorio, los pacientes Tipo 2 regresan después de algunas horas a la oficina de Admisión, pero en calidad de pacientes Tipo 1. Los pacientes Tipo 3, abandonan el hospital.

Los diversos tiempos de proceso se presentan a continuación: Tiempo entre llegadas a Admisión: Exponencial, 1/λ depende del tipo de paciente Tiempo de atención en la oficina de Admisión: Exponencial, 1/μ = 5 minutos Tiempo de llenado del formulario: Uniforme, a = 4 minutos y b = 6 minutos Tiempo del recorrido entre la oficina de Admisión y la Sala de espera: Uniforme, a = 6 minutos y b =

10 minutos (paciente Tipo 1 y auxiliar de enfermería) Tiempo del recorrido entre la Sala de espera y el piso de internamiento (de ida con el paciente en la

silla de ruedas o en la camilla y de regreso con ésta vacía) : Exponencial, 1/μ = 20 minutos (se supone que el tiempo de recorrido de ida tiene igual duración que el de regreso)

Tiempo de recorrido entre Admisión y el Laboratorio (pacientes Tipo 2 y Tipo 3): Uniforme, a = 3 minutos y b = 5 minutos

Tiempo de atención en la mesa de registro: Erlang, K = 3 y 1/ μ = 5 minutos Duración de los análisis en el laboratorio:

Análisis de orina: Exponencial, 1/ μ = 4 minutos Análisis de sangre: Exponencial, 1/ μ = 4 minutos

Tiempo transcurrido para el retorno de un paciente a la oficina de Admisión: Determinístico, 4 horas (paciente Tipo 2 en calidad de paciente Tipo 1)

Se pide:a) Hacer un bosquejo del modelo de colas descrito, indicando para cada subsistema de colas: sus

características, tasas de llegada y de servicio.b) El tiempo promedio que a un paciente Tipo 1, le lleva internarse en el hospital.

c) El tiempo promedio que a un paciente Tipo 2, le lleva internarse en el hospital (considere el regreso más tarde).

d) El tiempo promedio que a un paciente Tipo 3, le lleva la realización de los análisis clínicos.

Se ha observado que el subsistema crítico es el correspondiente al Laboratorista. Por ello se hizo una revisión de los tiempos, y se determinó que en realidad entregar la muestra de orina toma 1 minuto y no 4 minutos, mientras que tomar la muestra de sangre toma 7 minutos y no 4 minutos.

e) Determinar el tiempo de permanencia de un paciente en el subsistema Laboratorista.

A pesar de que se ha logrado disminuir el tiempo de permanencia de un paciente en el subsistema Laboratorista, se ha vuelto ha revisar los tiempos, y se determinó que entregar la muestra de orina tomaba cero minutos, pues se podía entregar dicha muestra en la Mesa de registro.

f) Determinar nuevamente el tiempo de permanencia de un paciente en el subsistema Laboratorista.g) ¿Con cuántos laboratoristas conviene ésta última alternativa? ¿Cuál es el subsistema crítico ahora?

Solucion

a)

2

b) Tiempo promedio que a un paciente Tipo 1, le lleva internarse en el hospital.

E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 1) = E(t1) + E(t2) + E(t3) + E(t4)

Cálculo de E(t1) Modelo de disciplina con prioridades sin prioridad adquirida = 50 pacientes/día = 72 pacientes/díaS = 2 recepcionistas

A = [2! (2 x 72 – 50)/(50/72)2][1 + 50/72] + 144 = 804.56B0 = 1B1 = 1 – 15/144 = 0.89

Wq1 = 0.50 minutosW1 = 0.50 + 5 = 5.5 minutos

E(t1) = 5.5 minutos

Cálculo de E(t2)

E(t2) = 5 minutos

Cálculo de E(t3)

E(t3) = 8 minutos

Cálculo de E(t4) (M/M/2/DG/∞/∞)

= 15 pacientes/día = 18 pacientes/díaS = 2 recepcionistas

Wq = 14.2 minutosW = 14.2 + 10 = 24.2 minutosE(t4) = 24.2 minutos

E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 1) =

E(t1) + E(t2) + E(t3) + E(t4) = 42.7 minutos

c) Tiempo promedio que a un paciente Tipo 2, le lleva internarse en el hospital.E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 2) =

E(t1) + E(t2) + E(t5) + E(t6) + E(t7)+ Retorno + E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 1)

Cálculo de E(t1) Modelo de disciplina con prioridades sin prioridad adquirida

= 50 pacientes/día = 72 pacientes/díaS = 2 recepcionistas

A = [2! (2 x 72 – 50)/(50/72)2][1 + 50/72] + 144 = 804.56B1 = 1 – 15/144 = 0.89B2 = 1 – 50/144 = 0.65

3

Wq2 = 0.7 minutosW2 = 0.7 + 5 = 5.7 minutos

E(t1) = 5.7 minutos

Cálculo de E(t2)

E(t2) = 5 minutos

Cálculo de E(t5)

E(t5) = 4 minutos

Cálculo de E(t6) (M/E3/1/DG/∞/∞)

= 35 pacientes/día = 72 pacientes/díaK = 3 (Erlang)S = 1 auxiliar de enfermería

Wq = [35/(72*(72-35))][(1 + 3)/(2*3)] = 3.2 minutosW = 3.2 + 5 = 8.2 minutosE(t6) = 8.2 minutos

Cálculo de E(t7) (M/E2/1/DG/∞/∞) = 35 pacientes/día = 45 pacientes/díaK = 2 (Erlang)S = 1 laboratorista

Wq = [35/(45*(45-35))][(1 + 2)/(2*2)] = 21 minutosW = 21 + 8 = 29 minutos

E(t7) = 29 minutos

Cálculo de Retorno240 minutos

E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 2) = E(t1) + E(t2) + E(t5) + E(t6) + E(t7)+ Retorno + E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 1) = 334.6 minutos

d) Tiempo promedio que a un paciente Tipo 3, le lleva hacerse los análisis clínicos.E(Tiempo promedio de internamiento de un paciente Tipo 3) =

E(t1) + E(t2) + E(t5) + E(t6) + E(t7)

Cálculo de E(t1)E(t1) = 5.7 minutos

Cálculo de E(t2)E(t2) = 5 minutos

Cálculo de E(t5)E(t5) = 4 minutos

Cálculo de E(t6)E(t6) = 8.2 minutos

4

Cálculo de E(t7)E(t7) = 29 minutos

E(Tiempo promedio de análisis clínicos de un paciente Tipo 3) = E(t1) + E(t2) + E(t5) + E(t6) + E(t7) = 51.9 minutos.

e) Tiempo promedio de permanencia de un paciente en el subsistema Laboratorista. = 35 pacientes/día1/1 = 1 minuto1/2 = 7 minutosK = 2 (Erlang)S = 1 laboratorista

1/ = 1/1 + 1/2 = 8 minutos

2 = [1/(1)2]/k+ [1/(2)2]/k = 25 minutos2

Distribución de servicio desconocidaW = 27.5 minutos

f) Tiempo promedio de permanencia de un paciente en el subsistema Laboratorista. = 35 pacientes/día1/ = 7 minutosS = 1 laboratorista (M/M/1)

W = 21.9 minutos

g) Número de laboratoristas = 35 pacientes/día1/ = 7 minutosS = 2 laboratoristas

W = 7.9 minutosConviene tener dos laboratoristas.El subsistema crítico ahora es Mesa de Registro.

Pregunta 2

Decidido a darle un sentido a su vida luego de 8 años de egresado de la carrera de ingeniería industrial, el joven Waldo se emociona al leer en el Boletín de la Bolsa de Trabajo de la PUCP, que desde ayer se ha instalado una Feria de Empleos en el Coliseo Polideportivo del campus.

Dispuesto a tomar la oportunidad de conseguir un empleo de verdad al fin, Waldo desempolva su terno, y con su CV en mano se dirige al evento. En la puerta de ingreso de la Feria se encuentra con su amiga Chabuca, quien está decidida a lograr una oferta de trabajo que le permita despreocuparse de las reducciones de personal que la han afectado durante su corta carrera.

Ya que se encontraron juntos por sólo un instante en la entrada del local, ambos amigos deciden reencontrarse al salir de la Feria para conversar e intercambiar experiencias. Así que antes de separarse cada uno a hacer cola frente a las mesas de entrevistas de las empresas que les atraen, acuerdan que quien salga primero de la Feria esperará al otro en una banca cercana. Para no esperar por mucho tiempo, acuerdan que cada uno pasará sólo una única vez por cada empresa que le interese.Unas horas antes de abrir la Feria nuevamente por el día de hoy, y completamente ajeno a estos hechos, el Coordinador de la Feria de Empleos, Ricardo, se encuentra meditando sobre su elección de las empresas participantes en el evento. Su preocupación se debe a que le acaban de llegar reportes del día anterior sobre las preferencias de empresas entre los visitantes según la secuencia en la que hicieron colas durante su estancia. Adicionalmente, Ricardo tiene a su disposición datos respecto al tiempo que tomaron las entrevistas en cada empresa.

A continuación, se reproduce la información relevante de los reportes:

5

LEYENDATipo de Empresa Empresa Identificador

Servicios Financieros AsilVank AServicios Financieros Banco Blanco BServicios Financieros Cambios CBB2 CComercio Distribuidora R.Murga DComercio Tiendas E.Will EConfecciones Confecciones Fiorella FConfecciones Grupo Industrial KiKeSa G

Movimiento de Personas entre Estacionesel día de ayer

A B C D E F G Salida TOTAL

A 0 4 7 2 1 5 9 6 34B 3 0 5 6 3 5 3 1 26C 5 7 0 5 10 9 2 9 47D 6 7 9 0 5 1 2 5 35E 1 5 2 1 0 4 3 0 16F 6 3 4 9 8 0 8 9 47G 3 7 8 3 5 7 0 8 41

Tiempo promedio que toma una entrevista(en horas)

A B C D E F G

0.4 0.2 0.34 0.45 0.25 0.26 0.33

Ricardo piensa que ayer hubo algunas descoordinaciones, pues le pareció ver algunas colas que prácticamente crecieron sin cesar. El cree que en lugar de tener un solo entrevistador por empresa sería conveniente esta vez tener más de uno en algunas, o en todas si fuese necesario. “A 30 dólares por hora cada entrevistador adicional, espero no gastar hoy mucho más que ayer” – dice Ricardo para sí mismo, poco antes de enfrascarse en cálculos sobre procesos estocásticos.

Las Preguntas: (1 punto c/u)

Poniéndose en el lugar de Ricardo, y asumiendo que el tiempo de cada entrevista se distribuye exponencialmente se pide:

a) Suponga que el ingreso de postulantes a empleo a la Feria en promedio se da a razón de 10 por hora. Calcule la tasa de llegadas desde afuera de la Feria hacia cada uno de los sistemas de colas suponiendo que dichas llegadas siguen una distribución Poisson.Sol:

b) Utilice los datos dados y su respuesta en (a) para calcular la tasa efectiva de llegadas a cada uno de los sistemas de colas.

c) Considere el caso de un postulante cualquiera que ingresa desde afuera de la Feria hasta la cola B. Suponga también que los postulantes no reingresan al local una vez que salen de allí, pero sin embargo, podrían regresar a cada estación las veces que deseen mientras permanezcan dentro del recinto (quizás para tratar de ser entrevistados por otra persona, o para hacer preguntas adicionales). Diga usted en promedio cuántas veces pasará este postulante por cada estación hasta antes de retirarse de la Feria.

d) Calcule el número mínimo de entrevistadores que se necesitarán en cada estación para que la Feria sea exitosa a partir de hoy.

e) Calcule el costo horario adicional (respecto a ayer) que Ricardo tendrá que pagar desde hoy para que se cumpla lo estipulado en la parte (d).

6

Poniéndose ahora en el lugar de los amigos Waldo y Chabuca, y sabiendo que la preferencia de Waldo es por las empresas de servicios financieros y de comercio, y que la preferencia de Chabuca es por empresas de confecciones y de comercio, diga usted:

f) ¿Cuál de los dos amigos es más probable que tenga que esperar al otro? ¿Por cuánto tiempo espera usted que esta persona esté sentada sola en la banca? Considere que el tiempo de recorrido entre estaciones es despreciable, y que el tiempo en pasar desde la entrada de la Feria hasta la zona de empresas es de 2 minutos en promedio, mientras que llegar desde dicha zona hasta la salida es de 1.5 minutos en promedio.

g) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los sistemas de colas presentes en la Feria estén ocupados a la vez? Calcule de acuerdo al número de servidores hallado en (d).

h) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un postulante cualquiera en la Feria, desde que ingresa hasta que sale, si empieza su recorrido en la cola B? Utilice el supuesto de la parte (f) y su respuesta en la parte (c) para contestar.

Solucion:(A) La tasa de llegadas a cada estación, desde afuera, es:    

  A B C D E F G    

  1.38 1.06 1.91 1.42 0.65 1.91 1.67    

                   

(B) La tasa de llegadas total a cada estación es:      

  A B C D E F G    

  8.54 11.31 12.50 9.53 9.53 12.12 10.16    

                   

(C) El postulante pasará, para cada estación:        

  A B C D E F G    

  0.81 2.01 1.21 0.99 0.97 1.17 0.93 (en veces)  

                   

(D) El número mínimo de entrevistadores por estación debe ser:    

  A B C D E F G TOTAL  

  4 3 5 5 3 4 4 28  

                   

(E) El costo horario por cada entrevistador adicional es $ 30  

  Entonces, ( 28 - 7 ) * 30 = $ 630        

                   

(F) El tiempo promedio que tarda cada uno en salir es:      

  Waldo = 2 + 1.5 + 52.6 + 21.4 + 38.2 + 52.4 + 30.5 =   198.46 minutos

                3.308 horas                   

  Chabuca = 2 + 1.5 + 52.4 + 30.5 + 26.2 + 40.2 =   152.72 minutos

                2.545 horas

  Entonces, Chabuca esperará a Waldo por:        

  45.7 minutos            

  0.8 horas              

                   

(G) Probabilidad de que todos los sistemas estén ocupados:    

  A B C D E F G TOTAL  

  0.70 0.57 0.65 0.67 0.64 0.58 0.67 0.043  

                   

(H) El tiempo promedio que pasa un postulante que empieza en B es:  

  A B C D E F G TOTAL  

# 0.81 2.01 1.21 0.99 0.97 1.17 0.93    

W 52.6 21.4 38.2 52.4 30.5 26.2 40.2 281.40 minutos

                   

  En total, el postulante pasa 2 + 1.5 + 281.4 = 284.90 minutos  

              4.75 horas  

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a) Suponga que el ingreso de postulantes a empleo a la Feria en promedio se da a razón de 10 por hora. Calcule la tasa de llegadas desde afuera de la Feria hacia cada uno de los sistemas de colas suponiendo que dichas llegadas siguen una distribución Poisson.Sol: Ingreso promedio = Lamda del sistema , este lamda se divide de forma proporsionada para cada sub sistema.

La tasa de llegadas a cada estación, desde afuera, es:

A B C D E F G

1.38 1.06 1.91 1.42 0.65 1.91 1.67

b) Utilice los datos dados y su respuesta en (a) para calcular la tasa efectiva de llegadas a cada uno de los sistemas de colas.Se comprueba que es Jackson:1. Matriz Probabilidad interna a-a / total de a , a-b /total de a 2. Transponer las filas de la matriz se vuelven columnas en orden. = Ptras3. (I-Ptras)^-14. (I-Ptras)^-1 x solucion ai = lamba efectivo

La tasa de llegadas total a cada estación es:  

A B C D E F G

8.54 11.31 12.50 9.53 9.53 12.12 10.16

c) Considere el caso de un postulante cualquiera que ingresa desde afuera de la Feria hasta la cola B. Suponga también que los postulantes no reingresan al local una vez que salen de allí, pero sin embargo, podrían regresar a cada estación las veces que deseen mientras permanezcan dentro del recinto (quizás para tratar de ser entrevistados por otra persona, o para hacer preguntas adicionales). Diga usted en promedio cuántas veces pasará este postulante por cada estación hasta antes de retirarse de la Feria.1. Matriz Probabilidad interna a-a / total de a , a-b /total de a .. = Q2. (I-Q)^-13. Si comienzo en B ( cojo toda la fila B)

El postulante pasará, para cada estación:      

A B C D E F G  

0.81 2.01 1.21 0.99 0.97 1.17 0.93 (en veces)

d) Calcule el número mínimo de entrevistadores que se necesitarán en cada estación para que la Feria sea exitosa a partir de hoy.1. Para este punto necesitamos u de servicio , matriz de tiempo promedio de entrevista se pasa

a Tasa de servicio : 1/ui = 0.4 => ui=2.5 postulantes/h 2. Se emplea el Lamda hallado en B) , tasa de llegada efectiva a cada estación.3. Con Lamda y mu , se verifica que numero de servidores cumple ( lamda/s*u)<1 MODELO

3.HP4. Se halla el min S para que rho ( parecido a p doblado) sea menor a 1 (p <1) usar HP

El número mínimo de entrevistadores por estación debe ser:    

A B C D E F G TOTAL  

4 3 5 5 3 4 4 28  

e) Calcule el costo horario adicional (respecto a ayer) que Ricardo tendrá que pagar desde hoy para que se cumpla lo estipulado en la parte (d).Nro de entrevistores adicional * costo = costo adicional

El costo horario por cada entrevistador adicional es $

Entonces, ( 28 - 7 ) * 30 = $ 630

Poniéndose ahora en el lugar de los amigos Waldo y Chabuca, y sabiendo que la preferencia de Waldo es por las empresas de servicios financieros y de comercio, y que la preferencia de Chabuca es por empresas de confecciones y de comercio, diga usted:

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f) ¿Cuál de los dos amigos es más probable que tenga que esperar al otro? ¿Por cuánto tiempo espera usted que esta persona esté sentada sola en la banca? Considere que el tiempo de recorrido entre estaciones es despreciable, y que el tiempo en pasar desde la entrada de la Feria hasta la zona de empresas es de 2 minutos en promedio, mientras que llegar desde dicha zona hasta la salida es de 1.5 minutos en promedio.1. Con el S optimo hallado ,Lamda de b) y U de Dato se calcula MODELO 3 HP , sacar

P(n>=s) y W (sistema ocupado y tiempo total)2. Tiempo total = T entrada a zona + T total + T salida

El tiempo promedio que tarda cada uno en salir es:      

Waldo = 2 + 1.5 + 52.6 + 21.4 + 38.2 + 52.4 + 30.5 =   198.46 minutos

              3.308 horas                 

Chabuca = 2 + 1.5 + 52.4 + 30.5 + 26.2 + 40.2 =   152.72 minutos

              2.545 horas

g) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los sistemas de colas presentes en la Feria estén ocupados a la vez? Calcule de acuerdo al número de servidores hallado en (d).1. De lo hallado en f).1 se extrae P(n>=s) probabilidad de estar ocupado 2. Como piden la proba de que todos ocupados se multiplican todos los Pi = Pa*Pb*..*PG

Probabilidad de que todos los sistemas estén ocupados:  

A B C D E F G TOTAL

0.70 0.57 0.65 0.67 0.64 0.58 0.67 0.043

h) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un postulante cualquiera en la Feria, desde que ingresa hasta que sale, si empieza su recorrido en la cola B? Utilice el supuesto de la parte (f) y su respuesta en la parte (c) para contestar.1. Se emplea lo hallado en c) numero de veces por cada estación y se multiplica por cada W

hallado en f 2. Numero de Veces i * Wi = W total

El tiempo promedio que pasa un postulante que empieza en B es:

A B C D E F G TOTAL

0.81 2.01 1.21 0.99 0.97 1.17 0.93  

52.6 21.4 38.2 52.4 30.5 26.2 40.2 281.40

               

En total, el postulante pasa 2 + 1.5 + 281.4 = 284.90 minutos

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