Colección de problemas de Teoría Microeconómica IV · Colección de problemas de Teoría Microeconómica IV Curso 3º - LE- 2011-2012 Iñaki Aguirre Norma Olaizola Marta San Martín

Colección de problemas de

Teoría Microeconómica IV

Curso 3º - LE-

2011-2012

Iñaki Aguirre

Norma Olaizola

Marta San Martín

Fundamentos del Análisis Económico I

Universidad del País Vasco UPV/EHU

Tª Microeconómica IV Colección de problemas

2

Tema 1. Teoría de Juegos No Cooperativos

1.- Considere los siguientes juegos en forma extensiva:

(0, 0)

12

D

I

O

Pu

rs

v

(3, 0)

(0, 3)

(4, 2)

1

(2, 3)

2

r

s

(1, 1)

Juego 3

(4, 2)

(2, 3)

(3, 2)

(1, 1)

1

2

2D

M

L

I

O

P

(4, 2)

(2, 3)

(3, 2)

(1, 1)

1D

M

L

I

L

M

2

Juego 1 Juego 2

(-1, 0)

12

M

L

T

Pu

r

sv

(3, 1) (1, 3)

(1, 1)1

(1, 2)

2Juego 4

(3, 1)

2

L

(0, 0)M

1

2

D

I

O

P

1

u

u

v

v (3, 0)

(2, 2)

(0, 3)

(1, 1)1Juego 5


3

(i) Para todos los juegos: describa las estrategias de cada jugador y los subjuegos.

(ii) Represente en forma normal los juegos 1, 2, 3 y 5.

(iii) Obtenga los equilibrios de Nash de todos los juegos. Considerando la

representación de los juegos en forma normal, ¿qué equilibrios sobreviven a la

eliminación de estrategias débilmente dominadas?

(iv) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.

Solución

(i) Juego 1⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: LO, LP,

MO y MP. Juego 2⇒ 1 subjuego. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: L

y M. Juego 3⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: Iu, Iv, Du y Dv. Estrategias jugador

2: Or, Os, Pr y Ps. Juego 4⇒ 4 subjuegos. Estrategias jugador 1: Lu, Lv, Mu y Mv.

Estrategias jugador 2: Tr, Ts, Pr y Ps. Juego 5⇒ 5 subjuegos. Estrategias jugador 1:

Iuu, Iuv, Ivu, Ivv, Duu, Duv, Dvu y Dvv. Estrategias jugador 2: LO, LP, MO y MP.

(ii) Inmediato desde apartado (i).

(iii) Juego 1⇒ EN⇒ (I, MP) y (D, MO) (sobrevive a EIEDD). Juego 2 ⇒EN⇒ (I,

M) .

(iv) Juego 1⇒ EPS⇒ (D, MO). Juego 2⇒ EPS⇒ (I, M) . Juego 3⇒ EPS⇒ (Dv,

PS). Juego 4⇒ EPS⇒ (Mu, Pr) . Juego 5⇒ EPS⇒ (Ivv, LP) .


4

2.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:

(i) Represente el juego en forma normal.

(ii) ¿Para qué valores de αααα y ββββ la combinación de estrategias (Ia, SP) constituye el

único equilibrio perfecto en subjuegos?

(iii) ¿Existen valores de αααα y ββββ tales que la combinación de estrategias (Db, TP) es un

equilibrio de Nash?

(iiiv) Suponga que αααα = 0, ¿Hay algún valor de ββββ que haga que la combinación de

estrategias (Da, SQ) sea un equilibrio perfecto en subjuegos?

Solución

(ii) αααα >1 y ββββ < 2. (iii) No. (iv) No.

2

T

S

(2, 1)

(3, α)1

I

D P

Q

a

b

a

b

(2, 2)

(1, 3)

(3, β)

(0, 0)

12


5

3.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma estratégica adjunto:

a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.

b) La combinación de estrategias (C, I) no es un equilibrio de Nash.

Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.

Si la combinación de estrategias (C, J) constituye un equilibrio de Nash:

(ii) Es el único equilibrio de Nash.

(iii) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A.

(iv) (C, J) es el único equilibrio no basado en estrategias débilmente dominadas.

Solución

(i) Verdadera, J es una estrategia dominante.

(ii) Falsa. (a)⇒c ≥ 0 y si (C, J) es un EN⇒a ≥ c⇒pueden existir más equilibrios.

(iii) Falsa.

(iv) Verdadera.

1

2

A

B

C

IH J

(a, b) (6, 2) (5, 1)

(c, 4) (3, 2) (5, 1)

(0, 3) (2, 0) (4, 2)


6

4.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:

(a) Defina la noción de equilibrio de Nash.

(b) ¿Es (M1 f1 r1, L2 T2 r2) un equilibrio de Nash?

(c) Defina la noción de equilibrio perfecto en subjuegos?

(d) Obtenga el equilibrio perfecto en subjuegos?

Solución

(b) No. ⇒ MR1(L2T2r2) = { L1f1l1, L1f1r1}

(d) EPS⇒ (L1f1r1,S2M2r2) .

5.- Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva:

(2, 1)

(2, 2)

(0, 4)

(4, 0)

(1, 1)

(-1, -1)

(0, 0)

(3, 0)

2

1

2

2

h1

1

1L2

M2

T2M1

L1

S2

l 2

l1

f 1

r1

r2l 2

r2

(2, 0, 0)

L2

L3

1

2

M1

L1

S2

T2

L3M2

2

3

3

M3

M3S3

S3

T3

T3

(2, 1, 1)

(3, 2, 2)

(0, 2, 0)

(4, 2, 1)

(0, 0, 3)

(2, -1, -1)

(-1, -2, 0)


7

¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? ¿ Por qué?:

(a) Se trata de un juego de información perfecta.

(b) La mejor respuesta del jugador 2 ante la combinación de estrategias de los demás

jugadores (M1, L3T3) es S2.

(c) (4, 2, 1) es un equilibrio de Nash.

(d) (M1, L2T2,L3S3) es un equilibrio de Nash.

(e) Existe un único equilibrio perfecto en subjuegos.

Solución

(a) No. (b) No, S2 no es una estrategia del jugador 2. (c) No. Un equilibrio de Nash

siempre será una combinación de estrategias. (d) No, el jugador 1 tiene incentivos a

cambiar de estrategia (v) Si. EPS⇒ (L 1, M2S2,L3T3).

6. Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva: (a) Defina las nociones de estrategia y equilibrio de Nash.

(b) Obtenga los equilibrios de Nash.

(7, 9, 11)

w

(9, 7, 8)

(2, 15, 6)

(10, 5, 3)

w

(11, 5, 11)

(9, 20, 5)3

(0, 2, 1)

(5, 3, 4)


8

(c) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.

Solución

(b) EN: (I, MP, w), (D, LP, u) y (D, MP, u).

(c) EPS: (D, MP, u).

7.- Considere el siguiente juego simultáneo con tres jugadores

Obtenga los equilibrios de Nash.

Solución

A

B

IH

(0, 8, 2) (3, 11, 0)

(4, 11, 1) (5, 3, 2) Jugador 1

Jugador 2

A

B

IH

(4, 8, 2) (9, 0, 3)

(5, 11, 0) (1, 3, 6)

Jugador 2

Jugador 1

Jugador 3

R T

(0, 8, 2) (3, 11, 0)

(4, 11, 1) (5, 3, 2)

(4, 8, 2) (9, 0, 3)

(5, 11, 0) (1, 3, 6)


9

8. (i) Defina las nociones de estrategia estrictamente dominada y de equilibrio de Nash

(en estrategias puras).

Considere el siguiente juego en forma normal:

A

B

IH

(1, 2, 3) (4, 4, 1) (5, 1, 0)

C

J

(1, 0, 1) (3, 1, 0)

(4, 1, 1) (1, 0, 0)

(6, 3, 1)

(3, 0, 1)

1

2

3

R T

A

B

IH

(2, 0, 1) (4, 1, 3) (0, 3, 1)

C

J

(3, 2, 4) (3, 3, 2)

(2, 2, 3) (2, 0, 2)

(5, 1, 2)

(2, 1, 2)

A

B

IH

(1, 2, 0) (4, 3, 2) (3, 3, 1)

C

J

(1, 1, 3) (3, 2, 1)

(1, 1, 2) (0, 2, 1)

(4, 4, 3)

(0, 0, 2)

1 1

2 2

S

(ii) ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente

dominadas? Explique detalladamente.

(iii) Obtenga el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras? Explique su respuesta.

Solución

(iii) EN: (B, J, T).


10

9.- (i) Defina las nociones de estrategia estrictamente dominada y de equilibrio de Nash

(en estrategias puras).

Considere el siguiente juego de cuatro jugadores en forma normal:

(ii) ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente

dominadas? Explique detalladamente.

(iii) Obtenga el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras? Explique su respuesta.

(1, 3, 2, 2) (3, 2, 3, 1)

(5, 2, 3, 0) (2, 1, 1, 1)

(4, 4, 4, 3) (1, 3, 2, 1)

(5, 1, 2, 1) (2, 0, 0, 2)

αααα

(4, 1, 0, 1) (3, 0, 2, 0)

(2, 5, 3, 3) (1, 4, 1, 2)

(5, 2, 2, 4) (2, 1, 3, 0)

(3, 7, 1, 3) (3, 6, 2, 1)

(5, 0, 4, 0) (6, 2, 2, 2)

(3, 1, 4, 4) (7, 3, 5, 1)

(1, 2, 1, 3) (2, 3, 0, 4)

(2, 2, 0, 1) (1, 5, 1, 0)

Jugador 4

ββββ

γγγγ


11

10. Considere el siguiente juego con tres jugadores. En la primera etapa del juego el

jugador 1 dispone de dos posibles acciones, L y R. Una vez que ha decidido el jugador 1

el jugador 2 que no observa lo que ha jugado el jugador 1, tiene que elegir entre O y P.

Por último, le toca jugar al jugador 3 que sin observar lo que han elegido los jugadores

1 y 2 tiene que elegir entre h y s. Los pagos (desde arriba hacia abajo en el árbol de

decisión) son (2,1,3) (4,2,1) (0,2,0) (1,0,1) (4,0,2) (3,1,1) (α, β, γ) (0,0,0).

(i) Represente el juego en forma extensiva. Defina la noción de estrategia. Represente el

juego en forma normal.

(ii) Defina la noción de equilibrio de Nash. ¿Bajo qué condiciones existirá en este

juego un único equilibrio de Nash? (R, O, h) único equilibrio de Nash si a) β < 0 b) β =

0 α o γ <0. (R, P, h) único equilibrio de Nash si β>0, 0≥α y 0≥γ .¿Bajo qué

condiciones existirá en este juego dos equilibrios de Nash? (R, O, h) y (R, P, h) son

ambos equilibrios de Nash si β=0, 0≥α y 0≥γ . Explique detalladamente su respuesta.

(iii) Defina subjuego y equilibrio perfecto en subjuegos. ¿Es cierto que este juego tiene

siempre al menos un equilibrio perfecto en subjuegos? Si β > 0 y α o γ < 0 entonces no

hay equilibrio de Nash y, por tanto, tampoco hay equilibrio perfecto en subjuegos.

11. Dado el siguiente juego en forma estratégica:

(i) ¿Qué relación debe existir entre los parámetros para que sea un dilema del

prisionero?

A

B

C

NC

NCC

(c, d)(a, a)

(d, c) (b, b)


12

(ii) Suponga que el juego se repite un número infinito de veces. ¿Cómo debe ser el

factor de descuento para que la colusión se pueda sostener como equilibrio?

Solución

(i) c > b > a > d.

(ii)δ ≥ c − bc − a

.

12.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma normal adjunto:

a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.

b) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A del jugador 1.

c) La combinación de estrategias (C, J) no es un equilibrio de Nash.

Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.

(ii) El jugador 2 tiene una estrategia estrictamente dominada.

(iii) B es una estrategia débilmente dominada para el jugador 1.

(iv) En el juego existe un único equilibrio de Nash.

(v) En el juego existe un único equilibrio de Nash no basado en estrategias débilmente

dominadas.

Solución

a) 0≥⇒ c ; b) 0>⇒ a ; c) ambas. 2 oacobo ><⇒

1

2

A

B

C

IH J

(a, b) (6, 2) (5, 1)

(c, 4) (3, 2) (5, 1)

(0, 3) (2, 0) (4, 2)


13

Tema 2. El oligopolio

1.- Considere un duopolio de Cournot que se enfrenta a una función inversa de demanda

p(x) = a - bx. Sean 1c y c2 los costes marginales constantes de las empresas 1 y 2,

respectivamente (y no hay costes fijos).

(i) ¿Cuál es el equilibrio de Nash si , , 1,2, ?2

ji

a cc i j j i

+< = ≠

(ii) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash si 11 2 2 y ?

2

a cc c a c

+< < >

Solución

(i) * 2, , 1,2, .

3i j

i

a c cx i j j i

b

− += = ≠

(ii) * *11 2, 0.

2

a cx x

b

−= =

2.- Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien

homogéneo. La función inversa de demanda es 12

( ) 10p x x−= y todas las empresas

tienen el mismo coste marginal constante, c > 0 (no hay costes fijos). (Nota: la función

directa de demanda es 2( ) 100x p p−= )

(i) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio (simétrico) de Cournot-Nash,

la producción de la industria y el precio de equilibrio.

(ii) ¿Cuáles son la producción y el precio de monopolio en este mercado? Considere el

acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de monopolio) ¿Qué

cantidad produciría cada empresa si todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el

acuerdo de colusión simétrico no se puede sostener como equilibrio.


14


homogéneo. La función inversa de demanda es p(x) = a – bx y todas las empresas

tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).

(i) Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las producciones de las

demás empresas, fi(x-i), donde x-i = x1 +..+ xi-1 +.+ xi+1 +..+ xn = jj i

x≠∑ . Calcule la

producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la

industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa. Muestre que un

aumento en el número de empresas reduce la producción de cada empresa en equilibrio,

eleva la producción agregada, reduce el precio y los beneficios. ¿Qué ocurre cuando

n → ∞ ?

(ii) Considere el acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de

monopolio) y muestre que no se puede sostener como equilibrio.

(iii) ¿Es el juego de duopolio de Cournot un dilema del prisionero?

Solución

(i) fi(x-i) = max ,02

ia c bx

b−− −

; *

( 1)i

a cx

b n

−=+

, i = 1,..., n;

* ( )

( 1)

n a cx

b n

−=+

; p* =a + nc

n +1; πi

* =(a − c)2

b(n +1)2, i = 1,...., n.

*lim ( ) 0in

x n→∞

= ; *lim ( )n

a cx n

b→∞

−= ; limn→∞

p* (n) = c; limn→∞

πi* (n) = 0 .

(ii) El acuerdo de colusión simétrico, ( )

, 1,...,2

mmi

x a cx i n

n bn

−= = = no es equilibrio

de Nash ya que: ( )( 1) ( )

(( 1) ) ( )4 2

m mm m

i i i i

a c n x x a cf n f x x

bn n n bn−− + −= − = > = = .


15

(iii) Un juego es un dilema del prisionero si cada jugador tiene una estrategia

dominante, y el equilibrio de Nash resultante no es eficiente (existe otra asignación que

proporciona mayores pagos a ambos jugadores). El juego de duopolio de Cournot no es

un dilema del prisionero, ya que los jugadores no tienen estrategias dominantes. Aunque

es cierto que las empresas obtendrían mayores beneficios si cooperasen.

4.- Considere un mercado con n empresas que producen un bien homogéneo. La función

inversa de demanda es p(x) = a – x y todas las empresas tienen el mismo coste

marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).

(i) Suponga que n = 3 y las tres empresas eligen simultáneamente sus niveles de

producción. Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las

producciones de las demás empresas, fi(x-i). Calcule la producción de cada empresa en

el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la industria, el precio de equilibrio y el

beneficio de cada empresa.

(ii) Considere el siguiente juego en tres etapas:

Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.

Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, después de observar x1.

Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, después de observar x1 e x2.

(a) Obtener el equilibrio perfecto en subjuegos, las producciones de las empresas, el

precio de mercado y los beneficios.

(b) Obtenga otro equilibrio de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Explique su

respuesta.


16

(iii) Considere el siguiente juego en tres etapas:

Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.

Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, sin observar x1.

Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, sin observar x1 e x2.

(a) Represente el juego en forma normal.

(b) Obtenga el equilibrio de Nash y el equilibrio perfecto en subjuegos. Compare la

solución con el equilibrio de Cournot.

Solución

(i) fi(x-i) = max ,02

ia c x−− −

; *

4i

a cx

−= , i = 1, 2, 3; * 3( )

4

a cx

−= ;

* 3

4

a cp

+= ; 2

* ( )

16i

a cπ −= , i = 1, 2, 3.

(ii) (a)

EPS: *1 2

ma cx x

−= = ; * 12 1( ) max ,0

2

a c xx x

− − =

;

* 1 23 1 2( , ) max ,0

2

a c x xx x x

− − − =

*1 2

a cx

−= ; * * *2 2 1( )

4

a cx x x

−= = ;

* * * *3 3 1 2( , )

8

a cx x x x

−= = ; * 7( )

8

a cx

−= ; * 7

8

a cp

+=

2*1

( )

16

a cπ −= ; 2

*2

( )

32

a cπ −= ; 2

*3

( )

64

a cπ −= .

(b) 1 4

a cx

−= ; 2 1 1( ) , 4

a cx x x

− = ∀

3 1 2 1 2( , ) , 4

a cx x x x e x

− = ∀

.


17

5.- Considere dos empresas que venden productos diferenciados cuyas funciones

inversas de demanda vienen dadas por:

1 1 2 1 2

2 1 2 2 1

( , ) (1)

( , )

p x x x x

p x x x x

α β γα β γ

= − − = − −

Las funciones directas de demanda son:

1 1 2 1 2

2 1 2 2 1

( , ) (2)

( , )

x p p a bp dp

x p p a bp dp

= − + = − +

(i) Muestre que 2 2 2 2

; y a b dα β γ

β γ β γ β γ= = =

+ − −.

Suponga que los costes de producción de las empresas son nulos.

(ii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en

cantidades (equilibrio de Cournot).

(iii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en

precios (equilibrio de Bertrand).

(iv) Muestre que, en comparación con los resultados en Bertrand, las producciones de

las empresas son menores y los precios mayores en Cournot.

Solución

(ii) , , 1,2.2 2

c ci ix p i

α αββ γ β γ

= = =+ +

(iii) , , 1,2.2 2

b bi i

a abp x i

b d b d= = =

− −

(iv) ( )

, , 1,2.2 ( )(2 )

b bi ip x i

α β γ αββ γ β γ β γ

−= = =− + −

Por tanto, , , 1,2.b c b ci i i ip p x x i< > =


18

6.- Considere un duopolio de Bertrand que produce un bien homogéneo. La función de

demanda es 2( ) 100x p p−= y las empresas tienen el mismo coste marginal constante,

c > 0 (no hay costes fijos).

(i) Caracterice el equilibrio de Bertrand-Nash (describa el juego en forma normal, la

demanda residual de cada empresa, defina la noción de equilibrio, muestre que la

solución propuesta es efectivamente un equilibrio de Nash y que es único), obtenga la

producción de la industria en equilibrio y el beneficio de cada empresa.

(ii) ¿Cuáles serían el precio y la producción de monopolio en este mercado? ¿Qué

combinación de estrategias representaría el acuerdo de colusión? Muestre que el

acuerdo de colusión no se puede sostener como equilibrio.

(iii) Compare la producción agregada del equilibrio de Bertrand con la producción

eficiente. Calcule la pérdida irrecuperable de eficiencia.


homogéneo. La función inversa de demanda es ( )p x a bx= − y todas las empresas

tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).

(i) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la

producción de la industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa.

(ii) Considere el acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de

monopolio) y muestre que no se puede sostener como equilibrio. Calcule el beneficio

que obtendría una empresa si las demás respetan el acuerdo de colusión y ella se desvía

óptimamente.

(iii) Suponga que el juego se repite durante infinitos periodos. Obtenga el factor de

descuento crítico a partir del cual la colusión se puede sostener como equilibrio del

juego repetido. Muestre que el factor de descuento crítico aumenta al aumentar el


19

número de empresas y, por tanto, que cuanto mayor sea el número de empresas más

difícil es que la colusión sea estable.

Solución

(ii) 2 2

2

( 1) ( )( ( ), )

16d m mi i i i i

n a cf x x

bnπ π − −

+ −= =

(iii)2

* 2

( 1)( )

( 1) 4

d mi idi i

nn

n n

π πδπ π

− += =− + +

( )0 lim ( ) 1

n

d nn

dn

δ δ→∞

> =


20

Tema 3. El monopolio

1.- Demuestre gráfica y analíticamente que un monopolista que se enfrenta a una

demanda lineal producirá en el tramo elástico de la demanda si su coste marginal

constante de producción c es positivo y en el punto de elasticidad unitaria si c = 0.

Solución

p ε(x) = ∞

ε(x) >1

p(x) ε(x) = 1

ε(x) <1 ε(x) = 0

x

r' (x)

2.- Considere un monopolista con una función de costes C(x) = cx, con c > 0, y una

función inversa de demanda p(x), con p’(x) < 0. Suponga que p(0) > c.

(i) ¿Cómo es dpm

dc si la función inversa de demanda es estrictamente convexa? ¿Cuál

dpm

dces si la inversa de demanda es ( ) lnp x a b x= − ?

(ii) ¿Cómo es dpm

dc si la función inversa de demanda es lineal?

(iii) ¿Cómo es dpm

dc si la función inversa de demanda es estrictamente cóncava?


21

Solución

(i) dpm

dc> 1

2.

dpdc

= 1. (ii) dpm

dc= 1

2. (iii)

dpm

dc< 1

2.

3.- Considere dos funciones de costes alternativas para el monopolista: 1( )C x y

2( )C x . Suponga que las funciones de costes son diferenciables y que

' '2 1( ) ( ) xC x C x> ∀ . Demuestre que el precio de monopolio es una función no

decreciente del coste marginal.

Solución

Sean 1 1( , ) m mp x y 2 2 ( , )m mp x el precio y la producción de monopolio cuando los costes

son 1( )C x y 2( )C x , respectivamente. Por maximización de beneficios (argumento de

rentabilidad revelada):

1 1 1 1 2 2 1 2( ) ( )m m m m m mp x C x p x C x− ≥ −

2 2 2 2 1 1 2 1( ) ( )m m m m m mp x C x p x C x− ≥ −

Sumando

2 1 2 2 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )m m m mC x C x C x C x− ≥ −

Por tanto,

1

2

' '2 1[ ( ) ( )] 0

m

m

x

xC z C z dz− ≥∫

Por hipótesis ' '2 1( ) ( ) C x C x x> ∀ , luego 1 2

m mx x≥ . Como '( ) 0p x < se concluye

p2m ≥ p1

m.


22

4.- Considere un monopolista que se enfrenta a una función inversa de demanda lineal

p(x) = a − bx y coste marginal constante c > 0.

(i) Obtenga el precio, la producción y el beneficio del monopolista.

(ii) Calcule el bienestar social correspondiente a la producción de monopolio.

(iii) Obtenga la producción eficiente y la pérdida irrecuperable de eficiencia.

Solución

(i) xm = a − c2b

; pm = a + c2

;π m = (a − c)2

4b

(ii) W(xm ) = [u' (z) − c' (z)]dz0

xm

∫ = 3(a − c)2

8b

(iii) 2( ) ( )

; [ '( ) '( )]8

e

m

xe

x

a c a cx PIE u z c z dz

b b

− −= = − =∫

5.- Considere un monopolista que se enfrenta a una función de demanda ( ) bx p Ap−=

con b > 1 y coste marginal constante c > 0.

(i) Obtenga el precio, la producción y el beneficio del monopolista.

(ii) Calcule el bienestar social correspondiente a la producción de monopolio.

(iii) Obtenga la producción eficiente y la pérdida irrecuperable de eficiencia.

Solución

(i) xm = Ab

b −1c

−b

; pm = bb − 1

c;π m = Ab

bb −1

c

− (b−1)

(ii) W(xm ) = [u' (z) − c' (z)]dz0

xm

∫ = Ab

b −1

−b (2b − 1)(b − 1)2 c− (b−1)


23

(iii) e bx Ac−=

PIE = [u' (z) − c' (z)]dzxm

x*

∫ = A(b − 1)

c− (b−1) (b − 1)− (b−1) − b−b (2b −1)(b − 1)− (b−1)

6.- ¿Si deseamos que un monopolista produzca la cantidad eficiente qué debemos hacer:

subvencionarle o gravarle con un impuesto por unidad?

Solución

Impuesto por unidad producida: t

π' (xtm) = p(xt

m) + xtmp' (xt

m) − c' (xtm ) − t = 0

Si queremos que m etx x= entonces '( ) 0e et x p x= < .

7.- Un monopolista vende en dos mercados y aunque puede cobrar precios distintos en

los dos, debe vender todas las unidades dentro de un mercado al mismo precio.

(i) Si las funciones de demanda son lineales, 1

( ) , 1,2ii i i

i i

ax p p i

b b= − = , y el coste

marginal de producción es nulo, ¿en qué condiciones relativas a los parámetros decidirá

el monopolista no practicar la discriminación de precios? (ii)¿Bajo qué condiciones la

discriminación de precios representará una mejora en el sentido de Pareto con respecto

al precio uniforme?

(iii) Si las funciones de demanda son ( ) , 1,2ibi i i ix p A p i−= = , y coste marginal

constante c > 0, en qué condiciones relativas a los parámetros decidirá el monopolista

no practicar la discriminación de precios. (Suponga soluciones interiores).

Solución

(i) a1 = a2


24

(ii) Si pm = max p1m, p2

m{ }y p1m ≠ p2

m

(iii) b1 = b2

8.- Un monopolista es capaz de distinguir dentro de su mercado total tres submercados

completamente separados cuyas demandas lineales aparecen representadas en el gráfico

adjunto. Suponga que el coste marginal constante es igual a c > 0.

p

1 1( )x p 2 2( )x p 3 3( )x p

c

x

¿En qué mercado establecerá el monopolista el mayor precio? Demostrar.

Solución

Con demanda lineal: pi (x) = ai − bi x ; 1

( ) ii

i i

ax p p

b b= −

( ) i ii

i

a b xx

b xε −= y ( )i

i

pp

a pε =

−

Por tanto, p1m = p2

m = p3m = pm


25

9.- Considere un mercado en el que hay dos consumidores con las siguientes funciones

de utilidad:

U1(x1,y1) = 4x1 − (x1)2

2+ y1; U2(x2,y2) = ax2 − (x2)2

2+ y2 con 4 > a >0

donde xi , i =1,2, es la cantidad del bien x consumida por el individuo i, yi es la

cantidad de renta que le queda al consumidor i para comprar otros bienes y mi es la

dotación inicial de renta de cada individuo. El bien x es producido por un monopolista

cuya función de coste total de producción es C(x) = x.

(i) Muestre que el consumidor 1 tiene una disposición total a pagar y una disposición

marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 2 para todo x. Obtenga las

funciones inversas de demanda.

(ii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad (r1* , x1

* ) y (r2* , x2

* )que maximizan los

beneficios del monopolista y el valor de éstos cuando puede practicar la discriminación

de precios de primer grado o discriminación perfecta. Muestre que x1* y x2

* son

socialmente eficientes.

(iii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad (˜ r 1 , ˜ x 1 ) y (˜ r 2 , ˜ x 2) correspondientes a

la discriminación de precios de segundo grado. ¿Cómo debe ser el parámetro a para que

el monopolista decida servir el bien a los dos consumidores?

Solución

(ii) r1* = 7.5, x1

* = 3, 2

12*2

−= ar y x2

* = a −1.

(iii) ˜ r 1 = 7.5− (2a − 5)(4− a) , ˜ x 1 = x1* = 3, ˜ r 2 = 2.5(2a − 5) y ˜ x 2 = 2a − 5 .

a > 2.5

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Colección de problemas de Teoría Microeconómica IV · Colección de problemas de Teoría Microeconómica IV Curso 3º - LE- 2011-2012 Iñaki Aguirre Norma Olaizola Marta San Martín