COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA

GUÍA DE APRENDIZAJE

MATEMATICAS

1

Índice Pág. Presentación 2 Introducción

3

Carta al docente

4

Características de las Asignaturas

5

Contenido temático

5

Desarrollo temático Bloque I: Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.

6

Desarrollo temático Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas I.

11

Desarrollo temático Bloque III. Resuelve ecuaciones lineales I.

15

Desarrollo temático Bloque IV. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras.

21

Desarrollo temático Bloque V resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la circunferencia

25

Desarrollo temático Bloque VI aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la probabilidad

29

Anexo 1 guía de ejercicios

32

2

Presentación Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior, RIEMS) cuyos propósitos son consolidar la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y subsistemas, además de brindar una educación pertinente que posibilite establecer una relación entre la escuela, contexto social, histórico, cultural y globalizado en el que actualmente vivimos. A continuación te presentamos el Cuadernillo de Actividades de Aprendizaje de la asignatura de Matemáticas I y II, que pertenece al campo disciplinar de Matemáticas; la cual tiene como finalidad desarrollar en ti competencias relacionadas con la comprensión y aplicación de las funciones, en los campos de estudio de las ciencias naturales, las disciplinas económico-administrativas y las ciencias sociales. En el Bachillerato General se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de las Matemáticas, por ello, la asignatura de Matemáticas IV mantiene una relación vertical y horizontal con el resto de las asignaturas: Matemáticas I y Matemáticas II que pertenecen al componente de formación básica; abordan aprendizajes y herramientas fundamentales de las matemáticas con relación a Aritmética y Álgebra en la primera, y de Geometría y Trigonometría en la segunda; asimismo también incluyen elementos básicos de la Probabilidad y la Estadística. Matemáticas III permite al alumnado la interpretación y diseño de las diversas figuras geométricas que sirven para el análisis de diversas funciones, motivo de estudio de la asignatura de Matemáticas IV. Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje están estructurados a partir de cuatro secciones en cada bloque de aprendizaje: Desarrollando competencias. En esta sección se describen las actividades de aprendizaje para desarrollar las competencias señaladas en el programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constantes por aprender ¿Qué he aprendido? En esta sección te presentamos actividades de consolidación o integración del bloque que te permitirán verificar cuál es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada bloque de aprendizaje. Quiero aprender más. En esta sección la consulta de diversas fuentes actualizadas ocupa el papel principal para complementar y consolidar lo aprendido. Acabamos de presentar un panorama general de la asignatura y las características de los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú inicies el estudio formal de Matemáticas.

3

Introducción Esta guía didáctica de aprendizaje es tu herramienta metodológica, estructurada para acompañarte durante el desarrollo del curso de matemáticas iii y iv, ubicada en el área de las matemáticas. En ella tienes a tu alcance, ejercicios y actividades didácticas para el conocimiento de las matemáticas en el aula y en tu entorno, teniendo como base las competencias a desarrollar, los indicadores de desempeño de cada bloque y los objetos de aprendizaje establecidos en el programa de estudio de la asignatura. Las competencias que desarrollas a través del trabajo de la guía son las genéricas que te permiten obtener una formación integral, pues se desarrollan de manera transversal en las asignaturas que cursaras en todo tu bachillerato y que te permiten desarrollar aptitudes para poder armonizar con los que convives y compartes cada rasgo de tu vida. de igual forma abordas lo necesario para el desarrollo de las competencias disciplinares básicas establecidas para el campo de las matemáticas, y las extendidas que implica la complejidad que necesitas para poder seguir estudiando a nivel superior, en este caso las ciencias experimentales. Las actividades que se señalan en cada sesión tienen como finalidad que desarrolles la creatividad, emplees el pensamiento lógico y critico mediante el razonamiento, utilizando la información que este a tu alcance y te lleven a la construcción de conocimientos, habilidades, actitudes y valores; además te sumerge en la resolución de problemas, para que sus aplicaciones tengan una trascendencia fuera del ámbito escolar. Las gráficas y figuras que conforman las actividades fueron creadas y elaboradas por el equipo disciplinario, con el propósito de tener un acercamiento más al contexto de aplicación, acorde al nivel de complejidad que pretende razonar el objeto de aprendizaje que aborda cada bloque. el contenido de la guía está formado por ocho bloques.

4

CARTA AL DOCENTE La guía didáctica de aprendizaje, es un material diseñado para que pueda utilizarse a manera de secuencias didácticas, teniendo los tres momentos de aplicación: apertura, desarrollo y cierre. El desarrollo de las sesiones tiene una metodología establecida en la relación existente entre los desempeños al concluir el bloque, los objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y el nivel taxonómico que se pretende lograr, los cuales llegan al último nivel de concreción, que es el aula. La guía es un apoyo que permite y facilita la interacción entre los estudiantes y los contenidos como argumentación de los conocimientos significativos; en las actividades a realizar, sin embargo, reconocemos que sin usted no podría llevarse a cabo dicho proceso, por tanto, está en sus manos enriquecer y facilitar el aprendizaje. Al inicio de cada bloque se le presentan los aspectos a evaluar, los porcentajes y los criterios para cada evaluación los dejamos a su consideración. Recuerde: 1. Expondrá temas antes, durante y después de cada sesión, con el fin de comprobar que los desempeños se han logrado. 2. En esta Guía es importante tomar en cuenta todas y cada una de las actividades a desarrollar. 3. Esta guía no sustituye al Programa de Estudios. 4. No es un libro de texto. 5. Es una herramienta de apoyo para el aprendizaje. 6. Se sugiere una bibliografía complementaria. 7. Se sugieren los enlaces como consulta electrónica. 8. Los instrumentos de evaluación sugeridos también permiten conocer los atributos de las competencias a desarrollar. Esperando que este material cumpla con la intención para el cual fue diseñado, le deseamos buen éxito en su aplicación.

5

Características de las Asignaturas Las matemáticas están presentes en todos los aspectos de la vida del hombre: en el arte, la ciencia y la cultura. Su relación con otras ciencias es de carácter teórico instrumental porque genera modelos que permiten representar la realidad. El campo de conocimiento matemático se concibe como una ciencia formal, debido a que en su desarrollo histórico ha construido métodos, lenguajes y procedimientos sistemáticos que posibilitan la representación simbólica de los fenómenos del entorno. La importancia del campo es trascendental ya que sus aplicaciones en la vida cotidiana son múltiples e inevitables ya que la aritmética más sencilla la utilizamos al hacer nuestras compras diarias o efectuar una transacción financiera en un cajero automático, la geometría elemental nos es útil en circunstancias comunes como en la de elegir en forma adecuada el camino que debe llevarnos a un destino determinado, así como para el diseño de vehículos terrestres o aéreos cada vez más cómodos, rápidos y eficientes; también la matemática nos ayuda a generar estructuras bioquímicas para realizar investigaciones en la biología molecular, sin embargo gran parte de la población desconoce que algunos de los problemas que se presentan en la arqueología, biología, inmunología, ingeniería genética pueden ser descritos en forma eficiente y práctica en términos matemáticos. El enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas resulta esencial para el aprendizaje de otras ciencias. Su incorporación para el trabajo en el aula amplia la visión que deben desarrollar los alumnos al participar activamente en el análisis de temas y problemas que afectan a su comunidad. Contenido temático

DISTRIBUCIÓN DE BLOQUES

BLOQUE I Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

BLOQUE II Realizas Transformaciones algebraicas

BLOQUE III Resuelves ecuaciones lineales y cuadráticas

BLOQUE IV Resuelve problemas de congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras

BLOQUE V Resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la circunferencia

BLOQUE VI Aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la probabilidad

6

Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.

Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.

Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.

Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.

Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa

Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Desarrollando competencias Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Inicia participando en una lluvia de ideas sobre la representación de relaciones entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos. Recuerda participar activamente. En equipos de 3 personas elaboren ejemplos en los deben identificar y representar la relación entre diversas magnitudes. Dichos ejemplos deben estar centrados en recursos o situaciones que forman parte de tu vida diaria. Toma nota detallada de la forma en que las relaciones entre magnitudes pueden ser expresadas. Al terminar cada equipo propondrá dos o tres ejemplos para que el resto del grupo encuentre la solución. Participa activamente con el equipo ayudando a la resolución de los ejercicios (ver anexo 1) y en la propuesta de nuevos ejemplos al grupo entero. Toma nota tanto de los aciertos como de los errores, para corregir estos últimos y consolidar los primeros. Propongan modelos aritméticos o algebraicos para dar solución a las situaciones propuestas por el o la asesor. Investiguen o inventen otros ejemplos en los que puedas consolidar lo aprendido. En esta actividad se empleara la coevaluación entre los miembros de cada equipo. Participa activamente en equipos de máximo 4 personas en la solución de los problemas (ver anexo 1) propuestos por el asesor sobre la representación de relaciones entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos. Identifica aquellos aspectos que no queden suficientemente claros para solicitar el apoyo correspondiente por parte del asesor o de tus compañeras y compañeros de equipo. Emplea la calculadora para estimar la solución numérica o algebraica y/o verificar los resultados obtenidos. Elaboren una lista de cotejo, que les permita evaluar la resolución de los problemas que resolvieron. El profesor presenta al grupo (imágenes, diapositivas, volantes, trípticos entre otros), de centros comerciales o tienda más cercana, o de algunas tiendas departamentales para investigar los precios de algunos productos y el porcentaje de descuento que se otorga. A partir de la información, diseña dos o tres problemas que involucren construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para que comprendas y analices situaciones reales como el caso de las hipotéticas.

7

Los problemas que propongas formarán parte de tu portafolios de evidencias. (ver anexo 1) REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS Investiga sobre series o sucesiones numéricas aritméticas y geométricas y elabora un mapa conceptual sobre el tópico. Solicite se integren en equipos y socialicen su mapa conceptual y menciona ejemplos Aprovecha la exposición de tu asesor, relacionada con las sucesiones aritméticas y geométricas. (Ver anexo 1), los ejercicios formarán parte de tu portafolios de evidencias. UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES. Desarrollando competencias En el tema anterior trabajaste con números positivos únicamente pero no son los únicos, ellos pertenecen a un conjunto más extenso de números llamado el conjunto de los números reales. Realiza en compañía de tres alumnos una investigación en los medios bibliográficos que tengan a su alcance, ya sea en la biblioteca o en Internet sobre estos temas:

• Números naturales • Números racionales • Números irracionales • Números reales • Números complejo

Elabora para cada tipo de número una ficha de trabajo con información precisa, clara y con 5 ejemplos de cada tipo de número. Anexa tus fichas de trabajo a tu portafolios de evidencias. Diseña a partir de la información recabada, un mapa conceptual en el que organices la información, haciendo énfasis en la relación entre los diversos tipos de números. Resuelve, colaborando activamente en el equipo, los ejercicios propuestos por el o la asesor. (ver anexo 1. Para la evaluación de esta actividad intercambien los resultados de los ejercicios entre los integrantes del equipo. Los conceptos de tasas, razones y proporciones se aplican en la resolución de diversos problemas por eso aprovecha la exposición del asesor. Asimismo, participa de forma activa y entusiasta en equipo, resolviendo los problemas propuestos (ver anexo 1) de tasa, razones y proporciones, colaborando en el aprendizaje de las y los integrantes del mismo. Concluyan con una reflexión acerca de cómo estos procesos contribuyen a la comprensión de fenómenos sociales SITIOS EN INTERNET

El huevo de chocolate http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm [consulta: 28/01/2014]

Se hace saber

http://www.sehacesaber.org/profesores/galeriaimagenes?idcategoria=7080&paginaactual=1 [consulta: 28/01/2014]

Junta de Andalucía http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/4esosoluciolibro-a.htm [consulta: 28/01/2014]

Números reales. Tasa, razones y proporciones

http://investigacionmatematica.wikispaces.com/ [consulta: 28/01/2014]

Disfruta las matemáticas http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html [consulta: 28/01/2014]

Eduteka.org http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/pattern1.html [consulta: 28/01/2014]

Red Escolar.ilce.edu.mx http://redescolar.ilce.edu.mx [consulta: 28/01/2014]

8

¿Qué he aprendido? Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos Hasta aquí, aprendiste las características básicas de los números, resuelve los siguientes ejercicios para reafirmar este aprendizaje. Para los siguientes problemas, formen 5 equipos dividiendo equitativamente al grupo para resolverlos. Presenta tus resultados en una exposición a todo el salón. Al finalizar lleven a cabo el ejercicio de retroalimentación a fin de mejorar el desempeño académico de cada uno.

1. Juan quiere vender un lote de 50 cajas de plumas donde cada caja tiene 12 plumas. Si tiene las siguientes propuestas: la primera le ofrecen $2.50 por pluma más $30 y en la segunda $2.70 por pluma. Si Juan compró el lote completo por $1600 que sucede si:

Acepta la primera propuesta ¿gana o pierde dinero? ¿Cuánto gana o pierde?

Acepta la segunda propuesta ¿gana o pierde dinero? ¿Cuánto gana o pierde?

¿A quién tendría que venderle Juan, para tener la mayor ganancia?

2. En un depósito, el lunes había 3000 litros de agua y estaba lleno. El martes se gastos 1/6 del depósito. El miércoles se sacaron 1250 litros. ¿Cuántos litros quedan?

3. Un depósito de agua tiene tres tomas de agua. Si se abren las tres, el depósito se llena en 2 horas. Abriendo

las dos primeras, el depósito se llena en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría la tercera en llenar el depósito?

4. Un taxista cambia el aceite de su vehículo cada 3500 Km y le hace una revisión general cada 8000 Km ¿Cada cuantos kilómetros coinciden ambas operaciones de mantenimiento?

5. Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que visita vende la mitad de las naranjas más media. En la segunda casa vende la mitad de las que le quedaban mas media. En la tercera y en la cuarta casa, repite la misma operación, con lo que se le agota la mercancía. ¿Cuántas naranjas llevaba? NOTA: en ningún momento parte naranjas.

¿Qué he aprendido? Realiza sumas y sucesiones de números Forma parejas y resuelvan los siguientes ejercicios, al finalizar intercambien sus respuestas con otra pareja, para evaluar resultados diferentes a los que elaboraron.

1. Elabora una lista en donde clasifiques los siguientes números en: Naturales , Enteros , racionales e Irracionales . Recuerda que un número puede tener varias clasificaciones.

2. Relaciona las columnas, indicando que operación le corresponde a su propiedad.

a) 2+(5+3)= (2+5)+ 3 b) 2+0=2 c) (8) 1/8 = 1 d) 7+(-7)= 0 e) 9x1=9 f) 4+6=6+4

( ) Neutro Aditivo ( ) Inverso Aditivo ( ) Neutro Multiplicativo ( ) Asociativa ( ) Conmutativa ( ) Inverso Multiplicativo

3. Un motor gira 36 revoluciones en 3 segundos. ¿Cuántas revoluciones girara en 1 minuto?

9

4. Un refrigerador fue vendido en $4000 luego de aplicarle un 20% de descuento. ¿Cuál es el precio original del refrigerador?

5. Una fábrica de televisores estima que 3 de cada 1000 resultan ser defectuosos, si se producen 2800

televisores ¿Cuántos serán defectuosos? Después de haber terminado los ejercicios intercambia con otra pareja tus resultados y asigna un punto por cada respuesta correcta que hayan tenido.

Si obtuviste 5 puntos ¡Excelente! Has aprendido el concepto de los números reales, propiedades, reglas, aplicaciones y el manejo correcto de sus elementos. Si obtuviste de 4 puntos ¡Bien! Tienes la idea principal de cómo se relacionan los elementos de los números reales, continua estudiando el tópico para que alcances un aprendizaje mayor. Si obtuviste 3 o menos puntos ¡A mejorar! Repasa de nueva cuenta el tópico, recuerda que de los errores se aprende. ¿Qué he aprendido? Utiliza magnitudes y números reales. Es importante que repases lo aprendido con respecto a series y sucesiones, aritmética y geométricas.

Te presentamos 5 problemas, para resolverlos el grupo se dividirá en 5 equipos de forma equitativa y elegirán uno de los problemas para resolverlo y exponer su procedimiento ante todos los compañeros y compañeras. Posteriormente realizarán el ejercicio de retroalimentación del final. 1. El patio de una casa tiene forma de trapezoide. El patio tiene 20 hileras de ladrillo. Si en la primera hilera tiene

14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, determina el número de ladrillos que hay en el patio.

2. Un objeto que cae libremente recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies en el siguiente, 80 pies en el tercero y así sucesivamente. Determina la distancia que cae el objeto durante el sexto segundo y la distancia total que cae durante los primeros 6 segundos.

3. En una ciudad de 200,000 habitantes la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima la población dentro de 30 años.

4. Una empresa ofrece como salario las siguientes alternativas: Propuesta A: sueldo mensual equivalente al 32% de 120, 000 Propuesta B: Pagarte un centavo por el primer día, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así sucesivamente hasta 22 días. El número que resulte del término 22 de la sucesión anterior será tu salario mensual. ¿Cuál plan te conviene más?

5. 800 gr de sustancia radiactiva esta desintegrándose de tal manera que al final de cada año quedo 4/5 de la que había al inicio de cada año. ¿Qué cantidad quedara al final de 6 años?

Si el equipo obtuvo 5 “SÍ” merece el reconocimiento de todo el grupo por su gran aprovechamiento y aprendizaje.

Si el equipo obtuvo 4 “SÍ” merece una felicitación por su trabajo, donde deberá esforzarse un poco más para alcanzar su máximo aprovechamiento.

Si el equipo obtuvo 3 o menos “SÍ” merece se alentado a que estudie con más ahincó otra vez los conceptos abordados para que logre un aprendizaje pleno.

Quiero aprender más Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos Completa el siguiente cuadro donde aparecen las principales características de las progresiones

Progresiones

Aritmética Geometría

10

Definición: Elementos Expresión del termino n-enésimo Expresión de la suma n-termino Forma de su grafica

Definición: Elementos Expresión del termino n-enésimo Expresión de la suma n-termino Forma de su grafica

Quiero aprender más… Realiza sumas y sucesiones de números Al terminar elijan a uno de los equipos para que presente ante el resto del grupo sus resultados y procedimientos. Recuerda participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando.

1. En un rancho hay 1400 vacas y hay alimento para 10 días, si se compran 600 vacas más ¿Cuánto tiempo durara el alimento?

2. 35 de 50 estudiantes compraron chocolates en la cooperativa de la escuela ¿Qué porcentaje no compraron

chocolates? Quiero aprender más… Utiliza magnitudes y números reales 1. Contestar problemas del anexo 1 2. Forma equipos de 3 personas y resuelvan las siguientes operaciones, aplica lo que has aprendido hasta el

momento (jerarquía y propiedades de las operaciones, leyes de los signos, etc.)

a) 2+ (2-8) =

b) 3+(4+3)-2(6-3) =

c) 1-(-6+3)+2(5+5) =

d) 3 [3 2(6-5) - 4(8-6)] =

11

Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas .

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable.

Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable.

Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.

Comprende las diferentes técnicas de factorización, como, de extracción de factor común y agrupación; de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.

Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos. Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma a x2 bx + c o x2 + bx + c a ≠ 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas.

Desarrollando competencias Realiza transformaciones algebraicas I. La diferencia fundamental del álgebra con respecto a la aritmética es que esta última utiliza números concretos para efectuar sus operaciones, mientras que en el álgebra se utilizan además de números concretos las letras del alfabeto para representar cantidades conocidas o desconocidas, o sea, los símbolos que utiliza el algebra para representar cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto. Elabora de forma individual un resumen acerca de los polinomios de una variable en el que se identifiquen los elementos de un polinomio y cómo se llaman cada uno de ellos. Propongan una lista de cotejo para coevaluar los resúmenes que elaboren. Ante tu grupo se enunciarán problemas en los que se planteen situaciones hipotéticas o reales de tu entorno para hallar perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas que puedas encontrar en: • El salón de clases • El plantel • La comunidad Utilizarás suma, resta y multiplicación, para obtener la solución de problemas de tu entorno. Una vez resueltos los ejercicios intercámbienlos para poder llevar a cabo una coevaluación, misma que se integrará junto con los problemas resueltos a tu portafolios de evidencias. Al multiplicar algunos tipos de expresiones algebraicas se obtienen productos en que se distinguen algunos rasgos notables, los cuales nos permiten efectuar dichas operaciones en forma rápida al aplicar la regla correspondiente. Dichos productos reciben el nombre de Productos Notables. Por otro lado, factorizar una expresión algebraica es reescribirla como el producto de sus factores. La multiplicación algebraica consiste en encontrar el producto de dos o más factores. Ahora aprenderás el problema inverso; esto significa que dado un producto determinaremos sus factores. Efectúa las operaciones básicas con polinomios de una variable, productos notables y factorizaciones (VER ANEXO 1).

12

Utiliza tu creatividad, pertinencia, consistencia y formula en equipos de 3 personas problemas relacionados con problemas ecológicos de tu entorno, interpretando soluciones y argumentando cómo estás utilizando las formas de representación matemática. Realiza transformaciones algebraicas II

La factorización es uno de los tópicos más utilizados a través de todo el estudio de Matemáticas, forma parte del procedimiento de muchas aplicaciones. Es por esto que en este apartado extenderemos más este tópico. Anteriormente aprendiste los tipos de factorización de Factor Común, Agrupación, Diferencia de cuadrados y Trinomio Cuadrado Perfecto, estos pueden encontrarse de forma no perfecta, asimismo su forma de factorización cambia.

Escriban en parejas trinomios de la forma y/o como un producto de binomios con: a) factores enteros b) factores no enteros.

Existen muchos polinomios que para poder descomponerlos en todos sus factores debes aplicar varias de las técnicas de factorización que has aprendido. Elige entre varias técnicas posibles, la más apropiada para factorizar varias expresiones algebraicas (ver anexo 1). Has aprendido varias técnicas de factorización, y hay veces que necesitas combinar estas para poder factorizar polinomios más complejos. Plantea problemas relativos a fenómenos sociales u otros ámbitos que actualmente ocurren en tu entorno, en los que debes de interpretar las soluciones y argumentarlas, utilizando distintas formas que implican el uso y/o de transformaciones de expresiones algebraicas, las deberás incluir en tu portafolios de evidencias. Intercambia los problemas de la actividad anterior a fin de contrastar los resultados SITIOS EN INTERNET [consultadas: 28/01/2014]

Nueva Alejandría http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-004-htm

Rubistar http://www.rubistar.com

Sector matemática http://www.sectormatematica.cl/ppt.htm

Factorización www.math.com.mx/docs/sec/sec_0016_Factorizacion.pdf http://www.slideshare.net/victordancristiancen/factorizaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

Platea. http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

Fracciones algebraicas http://www.vitutor.net/1/38.html

¿Qué he aprendido? Realiza transformaciones algebraicas I.

1. Calcula el perímetro y el área del siguiente cuadro

2. Se desea construir una caja donde el cm3 cuesta $3, tomando en cuenta la siguiente la siguiente figura, obtén una expresión algebraica para calcular el volumen y el costo total de la caja.

X +3

3X

+ 2

2X + 5

(5X-1)

13

3. Durante una carrera tres amigos lograron las siguientes distancias en el mismo tiempo.

Carlos 5x3 + 2x metros

Jorge 6x2 + 5x

Luis 10x2 – x Determina una expresión algebraica para la suma de las distancias. Si x=2 metros ¿Cuántos metros recorrió cada uno? ¿Cuánto recorrieron juntos?

Realiza transformaciones algebraicas II La Factorización de trinomios y polinomios, así como las fracciones algebraicas son un tópico importante para el aprendizaje. Forma 6 equipos de manera equitativa con todo el grupo y seleccionen los ejercicios, correspondientes al equipo que les haya tocado. Resuélvanlos y presente al resto del grupo sus resultados y procedimientos.

14

Asigna un punto por cada respuesta correcta

9 Puntos 7 Puntos 5 Puntos.

¡Muy Bien! Continúa con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento.

¡Muy Bien! Continúa con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento.

¡Bien! Has conseguido un nivel de aprendizaje aceptable, esfuérzate un poco más y obtendrás el máximo de tu aprovechamiento.

¡Adelante! Necesitas dedicarle más tiempo de estudio a los tópicos presentados en el Bloque, concéntrate en los puntos básicos para que puedas desarrollar posteriormente los más complejos.

Quiero aprender más

Realiza transformaciones algebraicas I.

1. Calcula el área de la siguiente figura

2X

+6

X

15

2. Calcula el volumen de las siguientes figuras en función de las longitudes a y b, que en ocasiones coinciden con sus aristas. En este caso a es cuatro veces b. Después completa la tabla con las expresiones algebraicas correspondientes al volumen de cada figura.

FIGURA EXPRESION ALGEBRAICA

1

2

3

4

3. Completa los siguientes cuadros correspondientes a Factorización. Una vez finalizada la actividad anterior elaboren sus conclusiones, mismas que van a presentar al resto del grupo, comenten sus diferencias para enriquecer el tópico revisado.

Como lo reconozco Cuales son pasos para factorizarlo Ejemplo

Factor común

Factorización por agrupación

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de cuadros

Realiza transformaciones algebraicas II

4. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pesos Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peso en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

5. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

6. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calculen el área y perímetro del cuadrado inicial.

BLOQUE :III RESUELVE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas.

Reconoce a Y = mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal.

Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.

16

Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal.

Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales.

Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica como gráfica.

Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.

Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal.

Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:

Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa

Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa por la fórmula general

Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completas.

Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias.

Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas

Desarrollando competencias Resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas Probablemente ya has escuchado hablar sobre las ecuaciones en cursos anteriores, de hecho si nos remontamos a tu paso por la secundaria, en algún momento las estudiaste.

Una ecuación lineal es “una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas” De manera más sencilla una ecuación es: una expresión que indica que dos cantidades son iguales. Existen distintos tipos de ecuaciones que dependen del número de variables o del grado de las mismas, en este apartado estudiarás las ecuaciones de una variable de primer grado. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita puede ser planteada y utilizada para resolver múltiples problemas de tu vida diaria, en la escuela, en la industria, etc. Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación de primer grado, se requiera obtener una única solución, la cual, obviamente no puede determinarse con sólo una ecuación; es decir se requiere de dos o más ecuaciones, las cuales en su conjunto constituyen lo que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales. Las ecuaciones cuadráticas se conocen también como “ecuaciones de segundo grado” porque el máximo exponente de la incógnita es 2 y las soluciones que las resuelven también son dos.

Investiga las características y propiedades de un sistema de ecuaciones simultáneas de dos incógnitas y la forma o formas para solucionar problemas algebraicos de este tipo.

Realicen una investigación sobre las ecuaciones de segundo grado y entreguen en fichas de trabajo la información buscada.

Investiguen las características y propiedades de un sistema de ecuaciones simultáneas de dos incógnitas y la forma o formas para solucionar problemas algebraicos de este tipo.

El profesor presenta gráficos, cuadros, para se analizados e interpretados y extraer información, en lluvia de ideas socialización la información

Mediante una lista de cotejo evalúen las fichas de trabajo que elaboraron. SITIOS EN INTERNET [consultadas: 28/01/2014]

Sistema de ecuaciones http://jime-sistemasdeecuaciones.blogspot.mx/2011/05/para-agilizar-un-poco-la-mentevamos.html

Ecuaciones lineales y cuadráticas http://www.slideshare.net/Christiam3000/ecuacion-lineal-y-cuadratica

17

Tutorial matemáticas http://www.vitutor.net/algebra.html

¿Qué he aprendido? Ecuaciones lineales y cuadráticas Las siguientes actividades las realizarán de manera individual: 1. La Sra. Hernández va a una tienda departamental que está de promoción y pagó $3,400 por sombreros de $80 y

zapatos de $150. a) Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema b) Traza una gráfica con la expresión encontrada donde los zapatos dependan del número de sombreros. c) ¿Cuántas y cuáles soluciones son posibles? d) Pero la tienda tiene la restricción de vender como máximo 25 artículos de promoción. ¿Cuál sería la solución más

conveniente? 2. Una florista usa $640 para comprar ramos de rosas a $30 cada uno y ramos de gladiolas a $50 cada uno. (Solo

compra ramos enteros). a) Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema b) Traza una gráfica con la expresión encontrada donde las gladiolas dependan del número de rosas. c) ¿Cuántas y cuales soluciones son posibles? d) Si solo puede transportar 18 ramos en total, ¿Cuál sería la respuesta adecuada?

3. Un ganadero compro caballos y vacas por $ 410,000. Cada caballo costo $4600 y cada vaca $4400. a) Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema. b) Traza una gráfica con la expresión encontrada donde las vacas dependan del número de caballos. c) ¿Cuántas y cuales soluciones son posibles? d) Si sólo pueden transportarse máximo 92 animales, ¿Cuál sería la respuesta más adecuada?

4. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre

Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

5. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada

clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas)

6. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de trigo se vende por $4, el de la cebada por $2 y el de mijo por $0.5. a) Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta $100, ¿cuántos volúmenes de cada especie se

venden?

7. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo: • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre. • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre. • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

a) Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

8. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 2,200 m un automóvil si su desplazamiento está dado por la ecuación: d=50t + 3t2

donde t representa el tiempo en minutos y d la distancia en metros?

9. Calcula la longitud de los lados de un rectángulo de área 192 cm2 inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

18

10. Grafiquen las siguientes ecuaciones cuadráticas, y encuentren todos sus elementos soluciones, vértice, concavidad, punto máximo o mínimo y eje de simetría.

-2x2 - 27=0

-2x2 - 28=0

X2 = 6x

25x2 = 5x

X2 - 6 = 58

3X2-35 = 73

Quiero aprender más Ecuaciones lineales y cuadráticas

1. En la siguiente figura la balanza esta en equilibrio.

a) Pasar 4 kg del platillo. b) Añadir 5 kg a cada platillo. c) Quitar 6 kg de cada platillo. d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho. e) Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho. f) Quitar un bote de cada platillo. Pero y ¿Cuánto pesa cada bote? Para eso tendremos que plantear una ecuación

¿Qué puedes hacer para mantener el equilibrio de la balanza? Ten en cuenta las siguientes propuestas y determina en cada una si se mantiene la igualdad o no.

2. La suma de 3 números enteros positivos es igual a 66 ¿Cuál es el número mayor?

3. Manuel tiene el doble de la edad de Fabián. Si dentro de 12 años Fabián tendrá 9 años menos que Manuel ¿Qué edad tiene Manuel?

4. Dado el sistema al resolverlo se obtuvo la gráfica de la izquierda que puedes decir de su solución, es ¿Única, no tiene solución o tiene múltiples soluciones? ¿Por qué?_________________________________________________________________________ _______________________________________

5. En cartulinas, cartoncillo, papel cascaron, etc. Cualquier material que sea más rígido que el papel común y realicen la siguiente actividad.

CASO 1. En los rectángulos de 10x20 realiza un corte vertical, justo a la mitad como se ve en la figura.

Corta 2 rectángulos de 10x20 cm

Corta 1 rectángulo de 15 x25 cm de diferente color.

Al rectángulo de 15x25 hazle un corte en forma de cruz a la mitad de 10x20, como se muestra. ¡Cuidado de no cortar por completo los extremos!

19

Después únelos, por donde hiciste los cortes.

Ahora que ya tienes la intersección de tus planos._____________________________________________________

¿Qué tipo de solución representa? _______________________________

¿Cómo llegaste a esa conclusión? ______________________________

6. Resuelve 2x2 – 50 = 0

¿Es una ecuación cuadrática completa o incompleta? ______________________________________________________

¿De qué tipo es? ________________________________________

¿Cuál es el valor de los coeficientes a, b, c? a: _____, b:______ , c:_______

¿Qué método o métodos podrías aplicar para resolverla? ______________________________________________________

Resuelve la ecuación cuadrática por el método que hayas elegido ____________________________________________________

7. En forma individual, determina el valor de la discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas, la naturaleza

de sus raíces y sus respuestas si es que son reales.

20

8. Analiza las siguientes gráficas y ecuaciones en parejas, participa de manera activa para obtener las respuestas y

enriquecer el tópico.

¿Cuál es el eje de la parábola?

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?

¿Dónde tiene su punto mínimo?

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

¿Cómo determinas su concavidad?

¿Cuál es la naturaleza de sus ecuaciones?

21

¿Cuál es el eje de la parábola?

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?

¿Dónde tiene su punto mínimo?

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

¿Cómo determinas su concavidad?

¿Cuál es la naturaleza de sus ecuaciones?

22

BLOQUE :IV RESUELVE PROBLEMAS DE CONGRUENCIA,SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Utilizas los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí.

Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia.

Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza.

Aplica los teoremas de Tales y de Pitágoras.

Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando el teorema de Tales y Pitágoras.

DESARROLLANDO COMPETENCIAS Como primera actividad, el profesor presentará al grupo la clasificación de ángulos y triángulos (o tú puedes realizar una búsqueda en diversas fuentes) y deberás realizar una investigación sobre las características de los diferentes ángulos y triángulos. En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes La/el docente realizará una breve explicación sobre los criterios de congruencia (o tú puedes realizar una búsqueda en fuentes bibliográficas o electrónicas al respecto):

• L, L, L • L, A, L • A, L, A

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales. a ≡ a’ b ≡ b’ c ≡ c’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. b ≡ b’ c ≡ c’ α ≡ α’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado. b ≡ b’ α ≡ α’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes. a ≡ a’ b ≡ b’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

23

Comenzaremos con la siguiente actividad: El docente describirá brevemente los criterios de semejanza de triángulos (o tú puedes realizar una búsqueda en, al menos, dos fuentes bibliográficas y en dos páginas electrónicas sobre esta información). El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no necesariamente de igual tamaño. Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo. caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). En el Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Los ángulos están presentes en nuestra vida diaria, las manecillas de los relojes forman constantemente ángulos de todos los tipos, las paredes y el techo de tu casa forman ángulos variados, incluso en este mismo cuadernillo se encuentran en todas las hojas. De igual forma, los triángulos se ven cotidianamente en muchos de nuestros contextos. Como verás, el estudio de estos tópicos debe ser tratado por las matemáticas. Resuelven ejercicios de proporcionalidad. Por ejemplo, al comparar los lados de un triángulo con otro. Si es posible, entre todo el grupo, medir la altura de un árbol, edificio, en la ciudad, considerando la sombra que proyecta el sol. Asimismo, apliquen el teorema de Tales en ejercicios y/o problemas relacionados con situaciones relevantes de su entorno. En plenaria, comenten sobre esta experiencia y retroalimenten a los otros integrantes del grupo. Recuerda que es importante mencionar los aspectos positivos y de mejora. Realicen una investigación documental sobre los elementos y propiedades de un polígono, asimismo, recolecten recortes de polígonos y reconozcan los elementos y propiedades de diferentes polígonos, obteniendo el número de diagonales desde un vértice y el número total de diagonales (desde todos los vértices). Compartan con otra pareja cómo identificaron las propiedades y características de los diversos polígonos y evalúen con una guía de observación la identificación de las propiedades y características de los diversos polígonos. ELECTRÓNICA: http://triangulossemejantesycongruentes.blogspot.mx/ http://www.vitutor.com/geo/coni/gactividades.html http://www.geocities.com/geometriaanalitica/ http://www.geoan.com/ http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html http://geometriaparatodos.blogspot.com/2009/blog-post.html http://www.disfrutalasmatemeticas.com/geometria/parabola.html http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/geometria/diferencial/curvas/enelplano/conicas/elipse.htm ¿Qué he aprendido? Mauritis Cornelius Escher nació el 17 de junio de 1898, en Leeuwarden, Holanda. Ya desde pequeño se intuían sus especiales dotes para el arte. Comenzó los estudios de Arquitectura pero acabó especializándose en técnicas gráficas y trabajos sobre madera. Escher viajó por diversos países de Europa. Precisamente en España encontró una de sus mayores fuentes de inspiración: la Alhambra. Los preciosos e intrincados detalles ornamentales fueron la viva imagen de los esquemas geométricos que tanto le entusiasmaron. Se puede decir que a raíz de su visita a la Alhambra y a la mezquita de

24

Córdoba la obra de Escher, que hasta entonces se había basado en la representación de paisajes, varió su rumbo hacia los dibujos matemáticos que tan famoso le han hecho. Tras una larga estancia en Roma (1924 - 1934) se trasladó a Suiza, luego a Bruselas y más tarde a su país natal, donde residió hasta su muerte en 1972. Su prodigiosa visión abstracta nos legó una interesante y extensa obra en la que se conjugan el arte y las matemáticas de forma asombrosa. Su trabajo fue logrando reconocimiento, sobre todo durante sus últimos años de su vida. (Tomado de http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Ana%20Labate/Teselac_Escher.htm) Observa como Escher modificaba polígonos para hacer mosaicos complementarios. Toma esto de modelo, y diseña en equipos nuevos mosaicos de este tipo. Presenta tus diseños ante el grupo, tus compañeros y compañeras evaluarán su producto con una rúbrica diseñada entre todo el grupo.

En esta sección deberás hacer el dibujo de una botella del tamaño de una hoja carta. ¿Cuál es el mínimo de triángulos que caben dentro de la botella y qué tipos de triángulos son? Muestra ante el grupo tu dibujo y comenta tus conclusiones. Los ángulos se emplean en ámbitos diferentes a las matemáticas, por ejemplo se utilizan para determinar alturas, construir casas y edificios y hasta en pinturas artísticas. La perspectiva es la técnica usada por los pintores, arquitectos, ingenieros, entre otros, para simular la profundidad (tercera dimensión) en un solo plano, partiendo del principio de que los objetos más lejanos parecen ser más pequeños que los cercanos. Una forma para establecer la perspectiva en un plano es el “punto de fuga”, que es donde confluyen todas las líneas rectas proyectadas paralelas en una dirección. Esta ilusión de profundidad la puedes observar en fotos o dibujos de un camino recto, vías del tren u otros planos donde se muestre el horizonte. La perspectiva es una aplicación gráfica de los ángulos. Ahora investiga sobre el origen del uso de la perspectiva y cómo se utilizan los ángulos en la conformación de dicha técnica. Escribe los resultados de tu investigación y compártelos con tus compañeros en plenaria. Te recomendamos el siguiente sitio: http://www.worldofescher.com/gallery/ Los criterios para establecer si dos triángulos son congruentes, son las reglas que los matemáticos han deducido para saber si dos triángulos son iguales tanto en el grado de sus ángulos como en la medida de sus lados. Estos descubrimientos han pasado a nosotros a través de las generaciones, lo cual implica que los matemáticos nos han ahorrado mucho esfuerzo. Ahora, lo que nos toca es desarrollar competencias para aplicar lo aprendido a ejercicios y problemas relevantes para nosotros. Aquí encontrarás las herramientas para resolver ejercicios sobre la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de los triángulos, y emplearlas a situaciones reales. Tu profesor te proporcionará un plano cartesiano y solicitará que localices puntos donde se expresarán figuras

geométricas. deberás localizar los elementos de una pareja ordenada, a partir de una situación del mundo real,

expresada en una tabla, diagrama, gráfica o mapa.

En esta sección proponemos las siguientes actividades:

25

Busca 6 objetos que utilizas a diario que cumplan con las características para aplicarles el teorema de Pitágoras y otras 6 que no lo hagan. Comenten en plenaria sus hallazgos y compartan sus puntos de vista al respecto. Si es posible, lleven a la discusión los objetos para que puedan ejemplificar el teorema. Resuelva el siguiente problema: ¿A qué distancia deben estar dos espejos, de distinto tamaño y puestos uno frente al otro, para que no se haga el efecto de que la imagen es infinita? Comenten en plenaria sus conclusiones. Ahora que has revisado las características y propiedades de los ángulos y triángulos, estudiaremos figuras más complejas.

Los polígonos son básicamente figuras geométricas que se componen por muchos lados; incluso la palabra “polígono” se divide en dos raíces griegas que juntas significan “muchos ángulos”. Más aún, el número de lados que posee un polígono es lo que determina su nombre, sin importar si es regular o irregular. Por ejemplo: Pentágono.- Se refiere a un polígono de cinco lados. Hexágono.- Se refiere a un polígono de seis lados. Tetradecágono.- Se refiere a un polígono de catorce lados.

El decente solicitará al grupo que:

Obtengan la (sumatoria) Σ de los ángulos centrales, interiores y exteriores de polígonos (deberás buscar estos ejemplos en diversas fuentes).

Elaboren un dibujo, mural ,retrato o pintura relacionada con un hecho historico donde se muestren diferentes polígonos.

Presenten al grupo sus trabajos sobre utilización de polígonos.

Obtener el perímetro y área de diferentes polígonos regulares e irregulares, por diferentes técnicas, haciendo énfasis en los irregulares (triangulación del polígono).

Resolver los problemas (ver anexo 1)

Quiero aprender más Fuentes de información BÁSICA: BORNELL, C., (2000). La divina proporción, las formas geométricas. México: Alfa-Omega Grupo Editor. CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Pearson Prentice Hall. CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (2ª ed.). México: McGraw-Hill. GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y Trigonometría. (décima reimpresión). México: Publicaciones Cultural. JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª Ed.). México: Pearson Educación de México. MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: McGraw-Hill. MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.). México: Santillana. PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para preuniversitarios. (1ª ed.). México: Esfinge. SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ, A., A. Y. (2006) Matemáticas 2 (2ª ed.). México: Nueva Imagen. VELASCO, S., G. (2010). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Trillas. ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: ST Editorial.

ELECTRÓNICA: [CONSULTADAS 28-01-2014] Te recomendamos algunos sitios electrónicos en los cuales podrás continuar con el aprendizaje de este tópico:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=137527 http://www.matematica.laguia2000.com/general/congruencia-de-triangulos http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

http://www.132.248.17.238/geometria/t_2_002/t_2_002_m.html

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/3_poligonos.htm

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm

http://www.educaplus.org/play-177-Teorema-de-Pit%C3%A1goras.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_2.html http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Geometria/semejanza-de-triangulos.pdf

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mpyth.htm

http://www.disfrutalasMATEMÁTICAS.com/geometria/teorema-pitagoras.html http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Geometria/teoremadepitagoras.pdf http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

http://www.artamendi.es/GeoGebra_F/GG_Asturias/ES2/2eso11.pdf http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_semejanza_teorema_pitagoras/2esoquincena7.pdf

http://www.icg.edu.mx/mate_paco/mate_paco/TM20204-07.pdf

26

BLOQUE :V RESUELVE PROBLEMAS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y DE LA CIRCUNFERENCIA.

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma.

Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas

Emplea las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas.

Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia

En las unidades pasadas tuviste la oportunidad de iniciar el estudio de una relación algebraica-geométrica al identificar segmentos y rectas como el lugar geométrico, determinado por conjuntos de puntos cuyas coordenadas en el plano cartesiano se relacionan de manera especial. En este Bloque determinarás la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la medida de su radio, las coordenadas de su centro y un punto de la misma circunferencia o las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros. Asimismo podrás obtener los elementos de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación; trazarás la gráfica de una circunferencia y a partir de su ecuación explicarás la influencia de los parámetros más importantes de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma. Realizarás la transformación de una forma de la ecuación de la circunferencia a otra. Comprenderás las posibilidades analíticas y geométricas de determinar una circunferencia conocidos tres de sus puntos. Aplicarás las formas de la ecuación de la circunferencia como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas. Y por último, ejecutarás los cortes convenientes para obtener las cónicas y resolverás problemas teóricos o prácticos relativos a la circunferencia, a partir de su caracterización como lugar geométrico, aplicando e integrando sus propiedades y ecuaciones ordinaria y general, recuperando conceptos, técnicas y procedimientos, geométricos y analíticos, sobre puntos, rectas y segmentos. Desarrollando competencias

leer el siguiente párrafo y comentar Historia de un Círculo y un Cuadrado (Fragmento)

En la página de un libro de geometría que había firmado Comberousse se encontraban un cuadrado y un círculo. Como el libro era poco consultado, los dos se aburrían y generalmente disputaban. -Yo soy más grande –decía el primero-, pues un círculo es un cuadrado cuyos ángulos han sido recortados. -Es todo lo contrario justamente –replicaba el segundo-, pues un círculo es un cuadrado en el cual se ha soplado y así se ha hinchado. Como no podían ponerse de acuerdo sobre la superficie, pasaron a hablar de la belleza. -Yo soy el símbolo de la solidez –decía el Cuadrado. –La igualdad de mis cuatro lados y sobre todo mis ángulos, mis ángulos de ochenta grados (este cuadrado no era muy sabio), confieren a mi figura una armonía vigorosa y segura. El Círculo respondía: -En la solidez que tanto alabas, no veo sino vulgaridad. Tu vigor primario no me seduce nada. Te considero como una medida de superficie y nada más. En cuanto a mí, de todas las curvas soy la que mejor está hecha. Los astros adoptaron mi contorno, los artistas siempre recurrieron a mi curvatura y los hombres andan alrededor…-

http://lacasadelpoio.wordpress.com/2008/06/08/historia-de-un-circulo-y-un-cuadrado/ A través del tiempo, la figura del círculo ha representado más que un lugar geométrico; la gente le ha asignado propiedades de perfección, ha formado parte de un sinnúmero de logotipos y hasta se han nombrado sociedades con su nombre.

27

En esta actividad, es necesario que el asesor presente conos hechos con papel (pueden ser con material reciclado), y realizar cortes a los diferentes conos de papel para que obtengas diversas secciones cónicas. El asesor mostrara:

Como determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia a partir de su ecuación.

Como desarrollar la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos (o tú también puedes buscar en diversas fuentes).

El alumno debe:

Resolver ejercicios para obtener la ecuación de una circunferencia conocidos tres de sus puntos, por distintos métodos.

Buscar información y ejercicios para obtener la ecuación general de una circunferencia a partir de la ecuación ordinaria o viceversa.

Expongan los resultados de los ejercicios ante el grupo (por ejemplo: de monumentos locales, iglesias, puentes, casas, kioscos, entre otros).

Fuentes de información BÁSICA: BORNELL, C., (2000). La divina proporción, las formas geométricas. México: Alfa-Omega Grupo Editor. CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Pearson Prentice Hall. CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (2ª ed.). México: McGraw-Hill. GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y Trigonometría. (décima reimpresión). México: Publicaciones Cultural. JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª Ed.). México: Pearson Educación de México. MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: McGraw-Hill. MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.). México: Santillana. PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para preuniversitarios. (1ª ed.). México: Esfinge. SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ, A., A. Y. (2006) Matemáticas 2 (2ª ed.). México: Nueva Imagen. VELASCO, S., G. (2010). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Trillas. ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: ST Editorial.

ELECTRÓNICA: [CONSULTADAS 28-01-2014] http://www.geolay.com/circuloycircunf.htm http://www.ditutor.com/geometria/circunferencia.html http://www.redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/conciencia/fisica/medicion/meteratostenes.htm http://www.aaamatematicas.com/geo612x4.htm http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm

¿Qué he aprendido? Continuamos con la siguiente actividad; investiguen en diversas fuentes de consulta.

Concepto y elementos asociados a una circunferencia.

Invento de la rueda y sus consecuencias.

Características y propiedades de los ángulos asociados a una circunferencia

Socialicen la información a través de lluvia de ideas.

28

Aplicar las propiedades de los elementos de la circunferencia en la formulación de ejercicios y/o teóricos o prácticos relacionados con problemáticas reales que se presentan en su comunidad.

1. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias

x2 + y2 – 4x -6y – 12 = 0 x2 + y2 +3x +y +10 = 0 4x2 + 4y2 – 4x + 12 y – 6 = 0 4x2 + 4y2 – 4x - 8y – 11 = 0

Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro. Obtener el perímetro y área de la circunferencia

1º A partir del diámetro 2º A partir del radio

2. Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales, el terreno del cual dispone se presta para construir el corral de distintas formas, él analiza las siguientes con las medidas que se adjuntan considerando que cuenta con 60 m de alambre y en cuál se cubre mayor superficie y por lo mismo cuál puede albergar a mayor cantidad de animales, en cuál se podría aprovechar más la superficie de acuerdo a la forma.

Todas las formas tienen de perímetro 60 metros

De 20 m en cada lado

Con lados de 15 m

El lado menor de 10 m y el mayor de 20 m

De perímetro aproximado a 60 m

Analiza las posibilidades de cada corral de acuerdo a los criterios entregados y agregan otra posibilidad a la forma del corral.

Propón la forma que puede tener el corral y fundamenten tu elección

29

3. Completa la siguiente tabla:

radio perímetro área

1 cm

2 cm

16p

4 cm

9p

6 cm

10 cm

24p

4. La tierra está a una distancia del sol de 155 millones de km. aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular.

¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año? Para realizar los cálculos ¿Qué valor es conveniente usar para p ? ¿Por qué? ¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita? Contrastar los resultados de los ejercicios, aplicando una lista de cotejo

Quiero aprender más Te sugerimos los siguientes links para que continúes con los aprendizajes del presente bloque: [consultadas: 28/01/2014] http://www.educarm.es/cnice/descartes/Esp/Geometria/rectas_angulos_circunferencia/UD1JLR.htm http://filemon.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=%C3%81ngulos_en_las_circunferencias

30

BLOQUE :VI APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL Y EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE LA PROBABILIDAD

Desempeño del estudiante al concluir el bloque

Identifica el significado de población y muestra.

Reconoce las medidas de tendencia central y de dispersión.

Aplica las medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y no agrupados

Distingue entre eventos deterministas y aleatorios.

Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades

Para describir de mejor manera las características de un conjunto de elementos y tomar decisiones sobre ellas, las personas que estudian las matemáticas han desarrollado herramientas que nos brindan información de manera válida y resumida. Supongamos que queremos brindar un servicio de transporte para el alumnado, pero no sabemos cuál es el tamaño del vehículo que tenemos que comprar, y por lo tanto, tampoco conocemos el gasto de gasolina que tendríamos que considerar. A primera instancia es una cuestión que no genera muchas dificultades, sin embargo, debemos tomar en cuenta varios elementos. Una forma de llegar a la conclusión para tomar una decisión, sería saber el número y las características de los alumnos y alumnas que estarían interesados en acceder a dicho servicio; asimismo, deberíamos conocer la distancia entre la escuela y la vivienda, el costo que estarían dispuestos a pagar por el servicio, incluso el peso y estatura de los interesados, entre otras cuestiones. Finalmente, tendríamos que idear un método para recabar dicha información y sistematizar los datos. Así, para estar un poco más seguros de que nuestras decisiones serán las correctas, debemos basarnos en conclusiones de datos veraces y relevantes. Generalmente estos datos están representados en términos estadísticos, las medidas de tendencia central y de dispersión son parámetros que nos ayudan a conocer mejor los fenómenos. Al final del bloque podrás establecer dichos parámetros y aplicarlos a problemas cada vez más complejos. Seguramente tú haces uso del concepto de probabilidad o al menos, lo has oído mencionar. Por ejemplo “¿qué probabilidad hay de que me caiga un rayo?”, o “es probable que nos vaya mal en el partido de futbol”. Sin embargo podemos decir que, en términos generales, es menos probable que te caiga un rayo a que te vaya mal en un partido de futbol.

Desarrollando competencias Como primera actividad deberás investigar :

Población

Muestra

medidas de tendencia central y de dispersión de datos agrupados y no agrupados.

También será necesario que describas 5 ejemplos de cada uno. Procuren que sean situaciones contextualizadas;

asimismo, interpreten y contrasten los datos con la realidad.

Entonces la probabilidad nos ayudaría a representar en términos numéricos la ocurrencia o no de un evento. Por ejemplo, si en tu escuela hubiera 100 personas y a cada una le preguntaras por su preferencia entre las asignaturas de Matemáticas II y Taller de Lectura y Redacción II, podrías obtener el siguiente resultado:

• 20 personas prefieren la asignatura de Taller de Lectura y Redacción II • 80 personas prefieren la asignatura de Matemáticas II

Es decir, tendrías una probabilidad de 0.8 de que la primera persona que entrevistaras en tu escuela tuviera una preferencia para Matemáticas II. Esto podría ayudarte a tomar decisiones futuras en temas escolares. Asimismo, verás que tendrás que aplicar procedimientos distintos según la naturaleza de los eventos, por ejemplo, si hay acontecimientos que tengan que ver unos con otros o si son independientes. lo aprendido te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

31

Seguramente tú haces uso del concepto de probabilidad o al menos, lo has oído mencionar. Por ejemplo “¿qué probabilidad hay de que me caiga un rayo?”, o “es probable que nos vaya mal en el partido de futbol”. Sin embargo podemos decir que, en términos generales, es menos probable que te caiga un rayo a que te vaya mal en un partido de futbol. Fuentes de información BÁSICA: BORNELL, C. (2000). La divina proporción, las formas geométricas. México: Alfa-Omega Grupo Editor. CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Pearson Prentice Hall. CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (2ª ed.). México: McGraw-Hill. FUENLABRADA, De la Vega., S. (2008) Probabilidad y Estadística. (3ª ed.). México: McGraw-Hill. GAMIZ, E., B. (2008). Probabilidad y Estadística con Prácticas con Excel (2ª ed.). México: Just in Time Press. GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y Trigonometría. (décima reimpresión). México: Publicaciones Cultural. JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª Ed.). México: Pearson Educación de México. MAGAÑA, C., L. (1995) Probabilidad y Estadística (2ª ed.). México: Nueva Imagen. MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: McGraw-Hill. MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.). México: Santillana. PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para preuniversitarios. (1ª ed.). México: Esfinge. PORTA DE BRESSAN, A., M. (2008) Probabilidad Y Estadística Como Trabajar Con Niños Y Jóvenes (1ª ed.). México: EDC Novedades Educativas. SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ, A., A. Y. (2006) Matemáticas 2 (2ª ed.). México: Nueva Imagen. SANCHEZ, E. (2010). Probabilidad y Estadística con CD (3ª ed.). México: McGraw-Hill Interamericana. VELASCO, S., G. (2010). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Trillas. ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: ST Editorial.

ELECTRÓNICA: [consultadas: 28/01/2014] http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario/def_poblacion.html Probabilidad http://www2.uiah.fi/projekti/metodi/280.htm#keskil http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_4.htm http://www.eumed.net/libros/2007a/239/4a.htm http://www.mitecnologico.com/Main/ProbabilidadYEstadistica http://www.lc.fie.umich.mx/~camarena/ClasesProbEst.pdf

¿Qué he aprendido?

1. Organiza grupos y elaboren una caja que contenga: 8 bolas rojas, 5 bolas amarillas y 7 verdes (recuerda que puedes utilizar diferentes materiales reciclados para elaborar la caja y las bolas). Si se extrae una bola al azar, calculen la probabilidad de que:

• Sea roja • Sea verde • Sea amarilla • No sea roja • No sea amarilla • Habiendo sacado una bola roja, la siguiente sea una verde • Habiendo sacado una bola amarilla, la siguiente sea una amarilla • Habiendo sacado una bola roja, la siguiente sea una amarilla

Elaboren una bitácora grupal donde plasmen el desarrollo de la actividad. Al finalizar comenten en plenaria los resultados y los ámbitos de la vida cotidiana donde tiene implicaciones la probabilidad.

32

2. Los países que se mencionan a continuación pertenecen a las diez principales economías del Mundo:

a) Ordene los países de menor a mayor cantidad de población. b) Calcule el porcentaje de población para cada uno de los países c) Determine cuál es la población promedio para los mismos. d) Determine cuál es el país hasta donde se ubica el 25 % menos de población y el país a partir del cual está el

25 % de mayor cantidad de población. e) ¿Cuál es el país más poblado?

3. 95 personas fueron pesadas, los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg.

6 0 ; 6 6 ; 7 7 ; 7 0 ; 6 6 ; 6 8 ; 5 7 ; 7 0 ; 6 6 ; 5 2 ; 7 5 ; 6 5 ; 69 ; 7 1 ; 5 8 ; 6 6 ; 6 7 ; 7 4 ; 6 1 ;

6 3 ; 6 9 ; 8 0 ; 5 9 ; 6 6 ; 7 0 ; 6 7 ; 7 8 ; 7 5 ; 6 4 ; 7 1 ; 8 1 ; 62 ; 6 4 ; 6 9 ; 6 8 ; 7 2 ; 8 3 ; 5 6 ;

6 5 ; 7 4 ; 6 7 ; 5 4 ; 6 5 ; 6 5 ; 6 9 ; 6 1 ; 6 7 ; 7 3 ; 5 7 ; 6 2 ; 67 ; 6 8 ; 6 3 ; 6 7 ; 7 1 ; 6 8 ; 7 6 ;

6 1 ; 6 2 ; 6 3 ; 7 6 ; 6 1 ; 6 7 ; 6 7 ; 6 4 ; 7 2 ; 6 4 ; 7 3 ; 7 9 ; 58 ; 6 7 ; 7 1 ; 6 8 ; 5 9 ; 6 9 ; 7 0 ;

6 6 ; 6 2 ; 6 3 ; 6 6; 7 5; 87: 9 0; 9 2; 9 3; 8 7; 7 4; 54; 52; 5 9; 6 0; 7 2; 6 3; 5 6; 5 2;

a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55].

b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg.

c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?

Quiero aprender más Te proporcionamos los siguientes sitios electrónicos para que continúes con los aprendizajes del presente bloque: www.matematicas.reduaz.mx/home/Docentes/ltrueba/.../Probabilidad1.ppt http://www.eumed.net/libros/2007a/239/4a.htm http://www.ucm.es/info/socivmyt/paginas/profesorado/benitacompostela/apuntes_estadistica1/Estadistica_Tema%206_probydist_08.pdf http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp http://www.mitecnologico.com/Main/TeoriaElementalProbabilidad

Orden Países Población (millones.)

3 Alemania 82

8 Brasil 166

9 Canadá 31

7 China 960

10 España 39

1 Estados Unidos 270

4 Francia 59

6 Italia 58

2 Japón 126

5 Reino Unido 59

Fuente: Elaboración propia a partir de BANCO MUNDIAL (1999), “Informe

sobre el desarrollo mundial 1999-2000”, Washington D.C.

33

ANEXO 1: GUIA DE EJERCICIOS

Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.

Objetos de Aprendizaje Descripción

Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas.(enteros, fracciones, porcentajes)

Ejemplo. El número decimal 0.20 equivale a una quinta parte (1/5 ) o sea el 20% es la quinta parte de un entero. ¾ = 0.75 o al 75%

Jerarquiza operaciones numéricas Es el resultado de la siguiente operación ⟦(3 − 2) + 3 (4 − 2) − 2( 4 − 1)⟧

Se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis, se realizan las multiplicaciones que indican los paréntesis y se suman los números. [ 1 +3(2) -2(3)] = 1+6 -6 = 1

Calcula porcentajes descuentos e intereses

En una tienda se da el 25% de descuento en toda la ropa. Si María compra una blusa de $350 y un pantalón de $230 pesos. ¿Cuánto le se ahorró en la compra? Su compra fue de $350 + $230 = $580(.25) = $145 fue el descuento

Utiliza magnitudes y números reales.

Ubica en la recta numérica números reales y sus simétricos

Identifica el valor de los números representados con letras en la recta numérica.

En una recta numérica los número a la derecha del cero son positivos y a la izquierda son negativos. Los simétricos serán los del mismo valor pero de signo contrario:

a. está a la izquierda del cero pero no llega al -2 por lo que puede ser un -1.7.

b. está ligeramente a la izquierda del cero pero no llega a la mitad de entre o y -1 por lo que puede valer aproximadamente -0.2.

c . Está a la derecha en medio del 0 y 1 por lo que puede ser ½ o 0.5. d. está en 2 o puede ser un equivalente como 4/2 o +√4

Utiliza tasas razones, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa

La variación directa es cuando ambas variables suben o bajan su valor; por ejemplo : Un auto a la velocidad de 40 km/h en una hora avanza 40 kilómetros en 3 horas. avanza 120 kilómetros es proporción directa X 3 horas 40 km ( 3 Horas) 40 km 1 hora 1 hora Tres albañiles construyen una casa en doce días. 6 albañiles la construirán en 6 días porque es una variación inversa X 6 albañiles 12días( 3 albañiles) = 6 días 12 días 6 albañiles

Combina cálculos de porcentaje, descuentos intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, usando distintas

El Banco Serafín cobra un 4% anual de comisión por cada tarjeta de crédito. Si este año tubo 230 000. ¿Cuánto dinero ganó el banco? 230 000 (0.04) = $ 920 pesos ganó por comisión de tarjetas.

34

representaciones.

Realizas sumas y sucesiones de números.

Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en una sucesión aritmética y geométrica tanto mediante las fórmulas correspondientes.

Encuentra los tres primeros número se la sucesión cuyo enésimo número sea 2n + 3 La solución es 5,7,9 porque siempre se empieza sustituyendo el número 1 2(1) +3 = 5, 2(2)+3= 7 2(3) + 3 = 9

Determina patrones de series y sucesiones Emplea la calculadora para verificación de resultados en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones.

Son los números que faltan en la siguiente serie. 2,4 _, __ 32 La correcta es 8, 16 porque el factor es 2 2, 2(2), 2(2)(2) ,(2)(2)(2)2), (2)(2)(2)(2)(2) Se debe utilizar la calculadora para verificar los valores de las series.

Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas .

Identifica las operaciones de suma resta multiplicación de polinomios de una variable

Es el valor que satisface la siguiente ecuación 2x -10 = 0 El resultado es 5 porque 2(5) – 10 = 0; 10-10 = 0 La suma de 3x3 –x2 +4x – 2 con -2x2+x +8 equivale a: 3x3-3x2+5x +6 Porque los términos semejantes (misma variable y mismo exponente) se suman algebraicamente. 3x3–x2-2x2+4x +x – 2 +8 La regla es: signos iguales se suman y queda el mismo signo Signos diferentes se restan y queda el signo del de mayor valor.

Comprende las diferentes técnicas de factorización, como factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados.

Ejemplo. Relaciona ambas columnas según sea la factorización del producto. 1.- y2 +5y +6 a) (x-4 ) ( x + 4) 2.- 6x3-4x2 +2x b) (2x-3) ( 2x – 3) 3.- (x2- 16) c) ( x +2) ( x +3) 4.- 4x2-12x +9 d) 2x (3x2-2x +1 ) Resultado 1.c ; 2d, 3a, 4 b 1 Factorización dos números que sumados den el número 5 y multiplicados el 6. 2.- Factor común 2x. Cada término se divide entre 2x y queda lo que está dentro del paréntesis. 3.-Ambos términos tienen raíz cuadrada, por lo tanto diferencia de cuadrados. 4.-Los términos de los extremos tienen raíz cuadrada 2x y 3 y su multiplicación 6x es la mitad del término de en medio, por lo que es un trinomio cuadrado perfecto.

Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios

Sea la base de un rectángulo su valor 3x-2 y el valor de su altura x+1. Determina el área de esta figura. Resultado: 3x2+x -2 Se multiplica 3x(x) = 3x2; 3x (1) = 3x; -2(x) = -2x; -2(1)= -2 3x2+3x-2x-2 = 3x2+x-2

Soluciona problemas algebraicos y aritméticos

Un triángulo que tiene sus tres lados iguales, uno de sus lados mide x+2. Identifica la ecuación de su perímetro. Resultado: 3x+6 porque x+2 es un lado, perímetro son tres veces lo mismo 3(x+2) = 3x + 6

35

BLOQUE III Resuelves ecuaciones lineales y cuadráticas

Resuelve ecuaciones lineales

Usa diferentes técnicas para resolver ecuación lineal en una variable

Juana y Ana van a comprar un arreglo de flores por 480. Pero Ana tiene 24 pesos menos que Juana. ¿Qué expresión representa el dinero de cada una? Resultado: x +x-24 = 480 Es una ecuación de primer grado de una variable porque la cantidad de dinero de Ana se puede relacionar con la de Juana y juntas compran las flores, lo que indica que suman su dinero.

Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones.

Un sistema como y = 5x -3 y= -6x+9 Se grafican , en el punto donde se intercepten es la solución Si son paralelas no tienen solución Si son concurrentes tienen infinidad de soluciones.

Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones de tres incógnitas

Si se compran tres tipos de frutas. Lo que costó la primera y la segunda excedió 18 pesos a la tercera. La suma de la primera con la tercera exceden 50 a la segunda y la tercera con la segunda exceden 102 al primero X Primera fruta x+ y = z + 18 Y segunda fruta x+ z = y + 50 Z tercera fruta y + z = x + 102

Resuelve ecuaciones cuadráticas.

Identifica que toda función cuadrática es una parábola que puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo

Y= x2 El término x2 cuando es positivo en una función cuadrática , grafica una parábola cóncava hacia arriba Y= - x2 El término cuadrático negativo en una función cuadrática, grafica una curva cóncava hacia abajo.

Bloque IV. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras.

Utiliza triángulos: ángulos y relaciones métricas.

Construye e interpreta modelos geométricos de ángulos y triángulos, al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas Cuantifica y representa magnitudes angulares y de longitud en ángulos y triángulos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas

Clasifica los ángulos:

Por la posición de sus lados

·Opuestos por el vértice

Adyacentes

Formados por dos rectas secantes o paralelas y una secante

Por la medida de sus ángulos: Complementarios, Suplementarios

Visualizar distintos tipos de ángulos y triángulos en objetos y figuras

Interpreta las propiedades de los ángulos de cualquier triangulo como son la suma de ángulos interiores y exteriores

Clasifica los triángulos por la medida de los sus ángulos y de sus lados

Ejemplo:

36

Reconoce lugares geométricos.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico

¿Cuál es el área del triángulo formado por los puntos de coordenadas A (-4,0), B (0,5) Y (0,0)? Respuesta: 10 Al ubicar los puntos en un plano cartesiano, el alumno puede distinguir un triángulo rectángulo de base 4 y 5 de altura, con los que puede sustituir en la fórmula de área de un triángulo A= bh 2

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico

Indica las coordenadas de los puntos A, B, C

Reconoce parejas ordenadas, la igualdad entre ellas y su representación gráfica.

Determina y selecciona la función algebráica que representa la siguiente relación de pares ordenados, {(1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13) y (5, 16}, Resultado: f(x) = 3x + 1 Al sustituir el valor x se obtiene el valor y f(x) = 3(1) + 1=4 (1,4) f(x) = 3(2) + 1= 7 (2,7) f(x) = 3 (3) +1= 10 (3,10)

Identifica las características de un sistema de ejes coordenados

En un plano cartesiano, la distancia entre los puntos A (1, 0) y B (-6, 0) es: A) 7 B) 3 C) 5 D) 9

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico

De acuerdo con la figura, relaciona la función que le corresponda y señala el orden correcto. a b c d

( ) f(x) = x2 – 1 A) a, b, c, d ( ) f(x) = x2 + 1 B) b, a, c, d ( ) f(x) = x2 C) d, c, a, b ( ) f(x) = x2 – 0.5 D) c, b, d, a

A

B

C

A) A (-4, 1), B (5, 0), C (2, -3)

El alumno sabe ubicar las coordenadas

de un punto. Abscisa (valor sobre el

eje x. Ordenada valor sobre el eje y).

37

Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.

¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) de la recta que se muestra en la gráfica? Resultado: m = - ½, b = 2 La pendiente = tangente del ángulo que forma la recta 2/4 negativo porque es decreciente la recta. B es el punto que corta la recta en el eje y que es 2.

Transforma ecuaciones de una forma a otra

Dada la ecuación general 3x +5y -15 = 0, identifica su forma simétrica

A x

5+

y

3= 1

El alumno identificará las diferentes formas de ecuación de la recta. General : Ax + B y + C Punto pendiente: x-x1= m( y – y1) Simétrica: x + y = 1 a b Pendiente ordenada al origen : y = mx +b Ecuación de recta con 2 puntos: y-y1= ( y2-y1) (x – x1) ( x2 –x1)

Aplicación de los diversos criterios de semejanza, el teorema de Tales o el teorema de Pitágoras, así como la justificación de los elementos necesarios para su utilidad en la resolución de problemas de su entorno.

Enuncia y comprende los criterios de semejanza de triángulos: Dos ángulos iguales A = A Tres lados proporcionales a/à = b /`b = c /`c Dos lados proporcionales y el ángulos comprendido igual a /à = b /`b y C = `C

Enuncia y comprende el teorema de Tales

Aplica los criterios de semejanza de triángulos para la resolución de problemas

Aprecia la utilidad del teorema de Tales y de Pitágoras

Describe las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos.

Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos en representaciones en dos y tres dimensiones al aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de problemas que se derivan en situaciones relacionadas con estas funciones.

Obtener los valores de las funciones trigonométricas empleando tablas o calculadora para ángulos entre 0º y 90º.

Obtiene los valores de funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º y múltiplos de 15º sin ayuda de calculadora o tablas matemáticas.

Aplica las funciones trigonométricas directas y reciprocas en la solución de problemas

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Identifica las unidades de medida de ángulos y describe las

38

diferencias conceptuales entre ellas: Angulares Cíclicas

Realiza conversiones de medidas de ángulos, de grados a radianes y viceversa

Aplica las funciones trigonométricas.

Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en el plano cartesiano empleando las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida en la resolución de problemas que derivan en situaciones relacionadas con funciones trigonométricas Cuantifica y representa magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de funciones trigonométricas

Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

Ubica el ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III, IV.

Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones en un segmento.

Establece el comportamiento de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente en los cuatro cuadrantes.

Construye las identidades pitagóricas de las funciones en el plano cartesiano o en el círculo trigonométrico

Aplica las leyes de los senos y cosenos.

Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos oblicuángulos a partir de las aplicaciones de las leyes de senos y cosenos en la resolución de problemas que se derivan en situaciones relacionadas con la aplicación de estas leyes Cuantifica y representa magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de las leyes de senos y cosenos

Identifica las leyes de senos y cosenos así como los elementos necesarios para la aplicación de una u otra.

Distingue las situaciones en las que es posible aplicar las ley de seno y coseno identificando los requerimientos de cada una

BLOQUE V Resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la circunferencia

Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de los polígonos, mediante la aplicación de sus propiedades, en la resolución de problemas que se derivan de situaciones reales, hipotéticas o teóricas

Clasifica los polígonos: Regulares Irregulares Cóncavos Convexos

Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos: Radio Apotema Diagonales Numero de diagonales desde un vértice Numero de diagonales totales

Reconoce las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares:

Central Interior

39

Exterior Suma de ángulos centrales Suma de ángulos interiores Suma de ángulos exteriores

Utiliza las propiedades y relaciones de los polígonos para calcular la medida de ángulos o suma de ángulos así como la cantidad de segmentos relevantes en la resolución de problemas

Emplea la circunferencia.

Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de la circunferencia, mediante la aplicación de las propiedades de la circunferencia a partir de la resolución de problemas que se derivan en situaciones reales, hipotéticas o teóricas

Describe la propiedades de los elementos asociados a una circunferencia Radio Diámetro Cuerda Arco Tangente Secante

Identifica las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia:

Central Inscrito Semiinscrito

Reconoce las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano

De acuerdo con la figura, relaciona la sección cónica que le corresponda según el corte realizado en ella. d parábola b elipse a circunferencia c hipérbola

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola.

Reconoce la ecuación ordinaria y general de la parábola

Son caracteristicas de la siguiente ecuación de la parábola (y -3 )2 = 12(x-2) I vértice fuera del origen II El eje de la parábola es el eje Y III la parábola abre hacia arriba IV El eje de la parábola es paralelo al eje X V La parábola abre hacia la derecha

A) I, IV, V

El alumno conoce los elementos que caracterizan a una parábola con vértice fuera del origen para reconocer su ecuación.

BLOQUE VI Aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la probabilidad

a b

c d

40

Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera estadística, aplicando las medidas de tendencia central y de dispersión

Conceptos básicos estadísticos: Población Muestra Variable Dato Experimento Parámetro Estadístico Distribución de frecuencia

Uso de las técnicas de conteo Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

En Un Centro Educativo Hay 150 Alumnos( 45 De Ingeniería Química, 30 De Biología Y 75 Medicina)

¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si se desea formar comisiones de ocho alumnos?

¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería

Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?. c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos?

Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas en información proveniente de diversas fuentes

Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

Construir la tabla de frecuencias.

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias

41

Dadas las series estadísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular:

La moda, la mediana y la media.

La desviación media, la varianza y la desviación típica.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 2º y 7º.

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

a) Formar la tabla de la distribución. b) Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él? c) Calcular la moda. d) Hallar la mediana. e) ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más

pesados

Bibliografía García Juárez marco Antonio. Matemáticas I. 2011 Editorial Esfinge

García Juárez marco Antonio. Matemáticas II. 2011 Editorial Esfinge

García Juárez marco Antonio. Matemáticas III. 2012 Editorial Esfinge

Guerra Tejada Manuel Geometría Analítica para Bachillerato. Editorial Mc Graw Hill.

Guerra Tejada Manuel Geometría Analítica para Bachillerato. Editorial Mc Graw Hill.

Cuellar Carvajal Juan Antonio. Matemáticas IV. 2007 Editorial Mc Graw Hill

Patricia Ibáñez Carrasco,2009, Matemáticas III Geometría Analítica. Ed. Thomson, México,

Méndez Hinojosa,Arturo,2010,Matemáticas III Ed. Santillana, México

García Silvia (2011) Matemáticas I, México. Editorial Mac Millan

López Monroy Rebeca Yolanda 2008 Matemáticas I. México, Editorial Book Mart.

Baldor Aurelio (2008) Algebra, México, Grupo Editorial Patria.

Ibáñez Carrasco Patricia (2006), Matemáticas I, México, Editorial Thomson.

Basurto, Castillo. Matemáticas IV. 2012 Editorial Pearson

Sandoval, Meléndez, Romero. Matemáticas III. 2012. ESITORIAL Macmillan

Lezama Rojas Mario, Matemáticas III,2008, ED. Book Mart, México

Escalante Pérez Lorenzo, Matemáticas III, Ed. Book Mart.

Mata Holguín Patricia. Matemáticas III.2012 Editorial Steditorial

Estadística Y Probabilidad http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_18.html