Guía para el segundo examen parcial de Cálculo Diferencial e Integral II.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL ORIENTE ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUÍA PARA EL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO II. Abril de 2016 PROBLEMAS GEOMETRICOS CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

1. Encuentra una ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = !" (!)!

, en los puntos (1,0) y 𝑒, !!

.

2. a) ¿Sobre qué intervalo la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥), es creciente?

b) ¿En cuál intervalo 𝑓 es cóncava hacia arriba? 3. Encuentra el entero positivo 𝑁 tal que cuando 𝑥 se restringe al intervalo 0,𝑁 , la función

tiene una función invertible? 4. Obten una ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = ln (𝑥) en el punto cuya abscisa es 2. 5. Obtenga una ecuación de la recta normal a la curva 𝑦 = ln (𝑥) que es paralela a la recta 𝑥 + 2𝑦 = 1.

6. Encuentra la ecuación de la recta normal a la gráfica de en el punto (0,1).

7. Encuentra el punto de la gráfica de 𝑦 = 2 𝑒!!! − 𝑥 en el que la recta normal a la curva pasa por el origen.

8. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 tendrá la función 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑏 𝑙𝑛 𝑥 ) un mínimo local en el punto 2,5 ?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta y a loa 𝑡 segundos la velocidad 𝑣 𝑚/𝑠 donde 𝑣 = 𝑒! − 𝑒!! Calcula la distancia recorrida por la partícula mientras 𝑣 > 0 después de que 𝑡 = 0.

2. ¿En qué intervalos las funciones siguientes son crecientes?

a) 𝑓 𝑥 = ln (1 − ln 𝑥 ) b) 𝑓 𝑥 = !!

!!!! c) 𝑓 𝑥 = ln (𝑡𝑎𝑛! 𝑥 )

3. Encuentra el máximo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥! 𝑒!!. 4. Para el periodo de 1980 – 1994 se ha modelado el porcentaje de hogares con una videocasetera por

medio de la función.

𝑓 𝑡 =75

1 + 74 𝑒!!.!!

donde el tiempo 𝑡 se mide en años desde julio de 1980, de modo que 0 ≤ 𝑡 ≤ 14. Traza su gráfica y usala para estimar el momento en que 𝑓(𝑡) crecia con mayor rapidez. Después encuentra el máximo.

5. La familia de curvas con forma de campana

xx eexf 6)( 2 −=

xey −=

Guía para el segundo examen parcial de Cálculo Diferencial e Integral II.

𝑓 𝑥 =1

𝜎 2𝜋 𝑒! !!! !/ !!!

ocurre en la teoría de probabilidades y estadística donde recibe el nombre de función de densidad normal. La constante 𝜇 se llama la media y la constante positiva 𝜎 es llamada la desviación estándar. Para

simplificar, cambiamos la escala para desaparecer el factor !

! !! y analizamos el caso especial 𝜇 = 0. De

modo que estudiamos la función

𝑓 𝑥 = 𝑒!!!/ !!! a) Encuentra las asíntotas, el valor máximo y los puntos de inflexión. b) ¿Qué papel desempeña 𝜎 en la forma de la curva? c) Muestre mediante gráficas 4 miembros de la familia en un mismo plano.

INTEGRALES INMEDIATAS. Realiza las integrales siguientes:

1. 2(3 5 3)x x dx− +∫ 2. ( 2)x x dx+∫ 3. 2 4

2

x x dxx+

∫ 4. 3 11

x dxx++∫

5. 2 2 1

1x x dxx+ ++∫ 6.

3 11

x dxx−−∫ 7. 2 2( 1)x dx−∫ 8. 3

45

dxx−∫ 9. 3x dx+∫

10. 2 x dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 11. 2 6 9x x dx− +∫ 12. 3/2x dx∫

Hay integrales también sencillas, pero ya no algebraicass, sólo se debe de recordar las derivadas de algunas funciones. Por ejemplo, como la función 𝑓 𝑥 = cos (𝑥) tiene derivada 𝑓´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥), Entonces

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐

Calcula las integrales siguientes:

1. 𝑒! 𝑑𝑥 2. !!

𝑑𝑥 3. 5! 𝑑𝑥 4. 7 𝑒! 𝑑𝑥 5. 4 7!! 𝑑𝑥 6. cos 𝑥 𝑑𝑥

7. 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 8. 2 𝑠𝑒𝑐! 𝑥 𝑑𝑥 9. 4 𝑐𝑠𝑐! 𝑥 𝑑𝑥 10. 𝑠𝑒𝑛! 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!(𝑥) 𝑑𝑥 CAMBIO DE VARIABLE. Realiza las integrales siguientes

Guía para el segundo examen parcial de Cálculo Diferencial e Integral II.

1. 3 2x dx+∫ 2. 2 3 7( 5)x x dx+∫ 3. 2 3cos( 3)x x dx−∫ 4. 3( 2)x dx

x+

∫

5. 2

2

1 12 dxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ 6. 2( 2)x sen x dx+∫ 7. 3

( )cos ( )sen x dx

x∫ 8. 4(4 2)x dx−∫

9. ( )cos(cos( ))sen x x dx∫ 10. 3 2 2cos ( ) ( )x x sen x dx∫ 11. 1

x

x

e dxe+∫

12. 1 ( ) cos( )sen x x dx+∫ 13. 2sec ( )

1 tan( )x dxx+∫ 14. (3 ln( )) dxx

x+∫

15. 3

4 1/ 2

7(2 )

x dxx−∫ 16.

(2 ln( ))dx

x x+∫ 17. 2

tan( )

sec ( )x

x dxe∫

INTEGRACIÓN POR PARTES. Como se ha visto en clase la fórmula de integración por partes es:

udv uv vdu= −∫ ∫

Esta fórmula expresa u dv∫ en términos de otra integral, a saber, vdu∫ y sabiendo elegir apropiadamente

a u y dv , esperamos que la segunda integral sea más sencillas que la original. Encuentra las integrales indefinidas siguientes.

1. ( )x sen x dx∫ 2. 2 xx e dx∫ 3. 2 ( )x sen x dx∫ 4. ( )xe sen x dx∫

5. ( )cos( )sen x x dx∫ 6. cos(2 )x x dx∫ 7. 4xxe dx∫ 8. 2sec ( )x x dx∫

9. (ln( ))sen x dx∫ 10. ( )xe cos x dx∫ 11. 2 ln( )x x dx∫ 12. 2 xx e dx∫

13. ∫ − dxxe x 14. lnx x dx∫ 15. ∫ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ dxxsenx2

16. ∫ dxxx cos217.

x2 1− x dx∫ 18. ∫ dxxx 2sec 19. ( )∫ − dxexx x52 20. ∫ dxx2cos

En los ejercicios 21 al 23, aplica a la integral las integraciones que sean necesarias. 21. 𝑥!𝑒!!! 𝑑𝑥 22. 𝑥! 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 23. 𝑥! 𝑒! 𝑑𝑥

Guía para el segundo examen parcial de Cálculo Diferencial e Integral II.