COLEGIO DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA

CONALEP ESTADO DE MÉXICO

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FUNCIONES

CONTENIDO

HISTORIA DE LA GEOMETRIA PLANA

EMPLEO DE RELACIONES Y VARIABLES

IDENTIFICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA

PRECURSORES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

En la elaboración de tablas matemáticas trabajaron, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Para

hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos

desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el

papel fundamental lo jugaban determinadas

relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de

numerosas relaciones trigonométricas y

geométricas.

Nicolás Copérnico

Johannes Kepler

Otro contemporáneo, aunque no tan

excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius

(1237-¿?) a quien debemos la primera formulación

correcta del problema del plano inclinado.

El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó

a utilizar en una de sus obras coordenadas

rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.

Jordano Nemorarius

Nicole Oresmes

A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación

cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países

árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones

sucesivas.

A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades

del álgebra, y resolvió problemas tan complicados

como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + 

y2 = z2, y xz = y2.

Rene descartes, unifico el estudio simultaneo del algebra y de la geometría, que actualmente recibe el nombre de geometría analítica y que se basa en el uso de temas de coordenadas rectangulares

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial  y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Rene Descartes

Actualmente la geometría analítica

tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y

la ingeniería, pues forma parte ahora

del trabajo de administradores para

la planeación de estrategias y

logística en la toma de decisiones.

El término variable se puede definir como toda aquella característica o cualidad que identifica a una realidad y que se puede medir, controlar y estudiar mediante un proceso de investigación o bien proceso matemático.

La posibilidad de poder medir, controlar o estudiar una variable, es decir una característica de la realidad es por el hecho que esta característica  varía, y esa variación se puede observar, medir y estudiar. Por lo tanto, es importante, antes de iniciar una investigación, saber cuáles son las variables que se desean medir y la manera en que se hará.

VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

La variable dependiente; es aquella característica, propiedad  o cualidad de una realidad o evento que estamos investigando. Es el objeto de estudio, sobre la cual se centra la investigación en general. También la variable independiente es manipulada por el investigador, porque el investigador el puede variar los factores para determinar el comportamiento de la variable.

Del ejemplo antes mencionado ,se muestra “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.”En este caso la variable dependiente sería “aprenden a leer mas rápido”, pero aprenden a leer mas rápido como consecuencia de que “hacen tres año de educación preescolar”

La variable independiente; es aquella propiedad, cualidad o característica de una realidad, evento o fenómeno, que tiene la capacidad para influir, incidir o afectar a otras variables. Se llama independiente,  porque esta variable no depende de otros factores para estar presente en esa realidad en estudio.

Un ejemplo común de la variable independiente: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.” En este caso la variable independiente es “hacen tres años de educación preescolar.” Porque para que los niños de primer grado aprendan a leer más rápido, depende de que hagan tres años de educación preescolar.

Una variable dependiente como su nombre lo dice depende del valor de otra variable, por

ejemplo;

y = x+2

en esta expresión "y" se considera la variable dependiente ya que dependiendo del valor de

"x" es el resultado de "y“

Ahora con el mismo ejemplo "x" seria la variable independiente ya q no requiere de una variable

adicional para obtener su valor, si quisieras graficar esta expresión tu decidirías los valores

de "x“

En el siguiente ejemplo se muestra expresado cada unos de los conceptos antes mencionados,

RELACIONES EN GENERAL

El contacto entre los individuos , las naciones, los objetos materiales , los antes matemáticos , etc… establece relaciones. . Cuando formulamos una expresión que liga a dos objetos o personas entre si , postulamos una relación ejemplo;

Las siguientes frases establecen una relación;

• Juan es amigo de Luis • Estados unidos de América esta en guerra con

Vietnam• 8 es mayor que 5 • La calle Independencia cruza la calle victoria • Anita es novia de Héctor

Y así podemos continuar con una larga lista de ejemplos y en cada enunciado nombra una relación, tanto de amistad, noviazgo, guerra o simplemente una afirmación numérica .

En las matemáticas , lo que nos interesa es el conjunto de propiedades que puede tener una relación. Se analiza si entre dichas propiedades se encuentran o no la transitiva, la simétrica y la reflexiva, que estudiamos a propósito de la relación de igualdad y que también pudiera aplicarse a los otros tipos de relaciones .

Veamos , en general , tales propiedades :

1.- PROPIEDAD REFLEXIVA

Se dice que es una relación reflexiva cuando se puede aplicar a un objeto con respecto a el mismo .

Ejemplo :

Las siguientes relaciones son reflexivas

Todo numero es divisible entre si mismo y el valor como resultado es igual a 1

Toda línea es paralela si y solo si tiene n la misma dirección y sentido

2.-PROPIEDAD SIMÉTRICA

Las relaciones se llaman simétricas cuando sus miembros pueden intercambiar sus lugares .

Ejemplo:

“Raúl es hermano de Ernesto, y Ernesto es hermano de Raúl”

se nota que; solo el cambio fue simétrico o la posición del enunciado cambio, pero no afecto el esquema del resultado por que ambas afirmaciones son correctas

“El caballo es un animal vertebrado” “un ejemplo de animal vertebrado es el caballo “

haciendo referencia al enunciado se dice “que el caballo es un animal vertebrado” y en el segundo enunciado , se observa que es parte de un genero al cual se les denomina vertebrados por tanto ambas afirmaciones son correctas .

3.-PROPIEDAD TRANSITIVA

Las relaciones se llaman transitiva s cuando de la relación

Se puede decir deducir como consecuencia inevitable que debe ser “a R c”

Donde R simboliza que la relación cualquiera ; a, b, c, representen tres elementos cualesquiera a los que es

aplicable esa relación

Son ejemplos de relaciones transitivas

En la familia de matemáticos suizos de los Bernoulli , Juan es hermano de Jacobo y este es hermano de Jerónimo . Sin mas podemos deducir que juan es hermano de Jerónimo.

En este caso la relación que existe entre los tres hermanos cambia por que hay un tercer elementos y no puede ser simétrica pero si transitiva pues de los tres se deduce que pertenecen a un conjunto y a esta se le define como su familia propia de los Bernoulli .

Nota:Entre las relaciones , suelen presentarse una o dos de las propiedades mencionadas . Pero son de especial interés las que tiene las tres propiedades estas relaciones se llaman de equivalencia y son ejemplos de ellas

es igual a Es paralelo (//)Es coordinable a Es semejante

FUNCIONES

Frecuentemente , nos encontramos en la vida diaria con la noción de correspondencia. Por ejemplo , a cada libro le corresponde un cierto numero de paginas. A cada persona le corresponde un fecha de cumpleaños . Si se mide la temperatura ambiental durante un día , entonces, a cada instante le corresponde una temperatura.

En los ejemplos de correspondencia que hemos citado , hay dos conjuntos ; A y D. en el primero de los ejemplos , D denota el conjunto de libros , y E el conjunto de enteros positivos . A cada libro “x” en D le corresponde un entero positivo y en E , que es el numero de paginas .

La correspondencia se representa mediante diagramas de tipo Venn como se muestra en la figura en donde los conjuntos D y E se representan por medio de puntos dentro de las regiones de un plano .La flecha indica que al elemento x de D le corresponde el elemento y de E . Hemos considerado diferentes a los conjuntos X y Y. Sin embargo, los dos conjuntos pueden tener elementos en común, y mas aun, es factible que D = E .

Los ejemplos mencionados indican que a cada “x” en D le pertenece una y solo una “y” en E .

x y

Nota: Una función de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento un único

elemento

IDENTIFICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA

Desde hace muchos siglos , los geómetas empezaron a concebir formas geométricas, inspirándose en los cuerpos físicos que nos rodean. Las formas de los cuerpos físicos fueron depuradas , estilizándose , hasta llegar a abstracciones ideales, con las que se crearon los cuerpos geométricos como el cono , cilindros , esferas , pirámides , prismas y cuerpos irregulares .

Algunos cuerpos están limitados a cara s planas . Este tipo de cuerpos es el llamado poliedros.

VÉRTICES , ARISTAS , CARAS

Para estudiar a los cuerpos debemos distinguir en el espacio cuatro clases de conjuntos

1.-PUNTOS 2.-LINEAS 3.-SUPERFICIES 4.-CUERPOS

PUNTOS Los puntos son elementos indivisibles . Y las líneas con la representación de los conjuntos de puntos que suceden en un trazo continuo y pueden ser rectas y curvas

Las superficies pueden contener una multitud de líneas , puesto que tiene dos dimensiones.

También se clasifican en planas y curvas. Cuando una superficie es plana, al apoyar una regla en dos de sus puntos, toda la regla queda tocando la superficie. Para estudiar a los cuerpos ,

deben notar que en ellos están contenidos puntos, líneas y superficies. Esto es posible dado que los cuerpos tienen tres dimensiones.

Las superficies que limitan a un cuerpo se llaman caras

La intersección de dos caras es una línea, a la cual se le llama arista

La intersección de dos aristas es un punto llamado vértice

La figurada formada por dos aristas que concurren en un punto se llamaran ángulo plano

La figura formada por dos caras que concurren en una arista se llamara ángulo poliedro

IMPORTANTE

Conceptos generales de recta

Observemos que una pelota que rueda sobre un piso plano, en su recorrido traza una recta ; un hilo completamente tenso es una imagen de un segmento de recta; el borde de una mesa , el curso de un rayo de luz y la carretera en un llano , también suele ser rectas

Pero el concepto ideal de lo que es una recta aun no debe abstraerse varias irregularidades que suelen presentarse en los objetos físicos: una recta real no tiene anchura ni imperfecciones en su dirección La idea resultante , que adoptamos no como definición , si no como explicación es la siguiente ;

Línea recta es una figura geométrica, formada por un conjunto de todos los puntos que suceden de una misma dirección.

La geometría esta basada en una serie de conocimientos básicos cuya aplicación derivan de otros conocimientos mas complejos . A esos conocimientos básicos se les da el nombre de axiomas , algunos de los cuales vamos a exponer

INTERSECCIONES

Cuando dos líneas tiene n uno o varios puntos comunes , al conjunto de estos se le denominan intersección . Cuando las líneas carecen de puntos comunes, se dice que su intersección esta vacía

De acuerdo con la intersección, las líneas se clasifican en;

Secante s: un punto de

intersección

Tangente s: un punto de

intersección, sin atravesar

Incidentes : la intersección forma

línea

Coincidente : la intersección es toda extensión

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dos rectas del plano pueden encontrarse en cualquier a de las dos posiciones siguientes:

Paralelas

Secantes

RAYO O SEGMENTO

Semirrecta o rayo es una porción limitada de recta en una de sus direcciones. El punto limite se llama extremo.

Segmento es una porción de recta limitada en ambos sentidos . También se le define como la intersección de dos rayos.

MEDIDAS DE SEGMENTO

Cuando queremos medir un segmento , hacemos uso de una regla graduada en la cual se ha adoptado como una unidad determinada longitud

La escala métrica de dibujo tiene diferentes unidad de longitud que se van repitiendo a lo largo del segmento, es una forma fácil de obtener distancias pero no la mas idónea pues cuando son distancias extremadamente largas no serviría poder medir con escalas graduadas ya que implica demasiado trabajo y esfuerzo

A acusa de ello, se han desarrollado ciertos sistemas de medición, utilizado la geometría, como resultado las aplicaciones han sido empleadas en sistemas de navegación, el calculo de áreas de territorios e incluso para calcular la distancia de una carretera.

SISTEMAS COORDENADOS, LUGARES GEOMÉTRICOS Y EJERCICIOS DE GRAFICACION

Sistemas de coordenadas; son los pares de números reales que se utilizan para determinar un punto en un sistema o plano cartesiano. El sistema cartesiano son dos rectas que se cortan formando ángulos rectos. La recta horizontal es “eje x” y la recta vertical es el “eje y”, y la intersección de estas dos rectas es el origen, dividiendo en cuatro planos definidos como cuadrantes..

Cada cuadrante tiene un par ordenado de números reales son llamados coordenadas del punto. La primera coordenada de “x” se le llama también abscisa y la segunda coordenada “y” u también ordenadas.

SUBCONJUNTO Y REGIONES DE UN PLANO

Los subconjuntos son todos aquellos pares ordenados que surgen del conjunto universo de los números reales o conjuntos solución de una ecuación.

Ejemplo;

Mientras en las regiones de un plano cartesiano se dividen en cuatro cuadrantes (I, II, III, IV) de la siguiente manera

Dadas las coordenadas en el plano ubicar los siguientes puntos

A(2,3) B(-2,5) C(-1,4) y D(5,-2)

Primero se determina en que

cuadrante del plano se encuentra cada uno de los puntos y

se localizan los valores en el plano.

A(2,3) cuadrante I

C(-1,4) cuadrante II

B(-2,5) cuadrante III

D(5,-2) cuadrante IV

ActividadUbique los siguientes puntos en el plano cartesiano y esquematiza

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

Si se requiere calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano es preciso que se utilice la siguiente formula

Ejercicio

Hallar la distancia entre los dos puntos siguientes

 

 Actividad

Encuentre la distancia entre los puntos dados y esquematiza con el plano ubicando

los puntos y las coordenadas

 

COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO DE

ACUERDO A UNA RAZÓN DADA Un segmento se puede dividir en varias partes o segmentos por varios puntos. Esos puntos tienen diferentes distancias con respeto a los extremos por lo que se establece una razón. La división interior de un segmento se calcula con la siguiente formula. Calculo de ordenada en un punto P.

Hallar las coordenadas del punto p que divide al segmento en la razón 2/3 considerando que los

puntos son:

 

LA LÍNEA RECTA

La recta como una curva de pendiente constante; es una recta en el plano cartesiano es la unión de todos los puntos de solución de una ecuación de la forma

En donde los valores de “y” dependen de los valores de “x” además, de dos valores constantes; uno que será igual al valor de inclinación de la recta con respecto a la abscisa llamado pendiente y otro llamado ordenada del origen.

Condiciones que determina una recta

• Que la ecuación o función que representan sea de primer grado, ejemplo

• Que la pendiente de la ecuación o función sea constante, ejemplo

• Que los valores de los miembros de la ecuación sean números reales y que la relación entre y no sean inversamente proporcional, ejemplo (no es una recta )

Es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje . Y esta a su vez se obtiene se obtiene con la siguiente formula

Donde “m” es la pendiente de una recta

La pendiente de una recta podría calcularse si;

• Se conoce cuando menos dos puntos por donde pasa recta

• Si conoce el ángulo se puede establecer . La inclinación de una recta L (que no sea paralela al eje x), es el menor de dos ángulos que dicha recta forma con el eje x a la recta L. en el sentido contrario a las manecillas del reloj

Ejemplo

Calcular el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos

Nota: Para este caso el ángulo se observa con símbolo negativo se realiza la siguiente operación para poder cambiar la dirección del ángulo de α

PUNTO PENDIENTE DE UNA RECTA

Cuando recta pasa por el punto y con pendiente , queda;

Esta es la relación para obtener la ecuación de la recta, dadas las coordenadas de un punto y el valor de la pendiente. Ejemplo determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto cuya pendiente es =

Y la ecuación de la recta; haciendo los cálculos anteriores queda de la siguiente forma;

Es importante que desarrolles todas las actividades de esta unidad pues esto te

ayudara a reforzar tus conocimientos de

geometría