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COLEGIO JOSÉ HERNÁNDEZ
PLAN DE CONTINUIDAD PEDAGÓGICA 4º AÑO A Y B
PARTE 10: FUNCIONES
Función módulo es aquella que a cada elemento del dominio le hace
corresponder su valor absoluto, y su fórmula es:
𝑦 = |𝑥| = {−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre su imagen
Grafique los puntos en un plano coordenado y únalos.
Observe que la gráfica es de la forma V.
Se observa que la raíz y la ordenada es el origen de coordenadas
Además, cuando 𝑥 = 0, presenta el eje de simetría
Vértice en (0;0)
Veamos otro ejemplo:
A partir de la siguiente función con módulo, 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| − 4 se pide:
a) Indicar las coordenadas del vértice de la gráfica que representa a
la función.
b) Calcular analíticamente la raíz y la ordenada al origen.
c) Representar gráficamente la función.
d) Definir 0, C C y C .
e) Indicar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f) Definir el conjunto imagen.
Recordatorio:
Módulo es la distancia del cero a un
punto, ejemplo: |−3| = 3
|2| = 2 |0| = 0
|−4| = 4
Raíz y ordenada
al origen
a) Coordenadas del vértice: (𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
Para encontrar 𝑥𝑣 igualamos lo que está adentro del valor absoluto a cero, luego despejamos “𝑥”
𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2 ahora reemplazamos ese valor en la función para encontrar 𝑦𝑣
𝑓(−2) = |−2 + 2| − 4 = −4
Entonces el vértice es (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (−2; −4)
b) Raíz igualamos a la función a cero y despejamos “𝑥”
|𝑥 + 2| − 4 = 0
|𝑥 + 2| = 4
Tener en cuenta la definición de valor absoluto
𝑥 + 2 = 4 𝑥 + 2 = −4
𝑥 = 2 𝑥 = −6
Ordenada al origen reemplazamos a “𝑥” por cero
𝑓(0) = |0 + 2| − 4 = −2
c) Gráfico
para graficar unimos
d la semirrecta que va del
v vértice a una raíz (-6) y
l la otra semirrecta que
v va del vértice y pasa
p por la ordenada (-2) y
s sigue hasta la raíz (2)
d) 𝑐+ = (−∞; −6) ∪ (2; +∞)
𝑐− = (−6; 2)
𝑐0 = {−6; 2}
e) 𝐼𝑐 = (−2; +∞)
𝐼𝑑 = (−∞; −2)
f) 𝐼𝑚 = [−4; +∞)
raíces
ordenada
Eje de simetría
vértice
Ordenada al
origen
Eje de
simetría
Vértice
Otro ejemplo:
A partir de la siguiente función con módulo, 𝑔(𝑥) = 2|𝑥 − 1| + 3 se pide:
a) Indicar las coordenadas del vértice de la gráfica que representa a
la función.
b) Calcular analíticamente la raíz y la ordenada al origen.
c) Representar gráficamente la función.
d) Definir 0, C C y C .
e) Indicar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f) Definir el conjunto imagen.
a) Vértice (𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
𝑥𝑣 → 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1 entonces el vértice es (1; 3)
𝑦𝑣 → 2|1 − 1| + 3 = 3
b) Raíz
2|𝑥 − 1| + 3 = 0
|𝑥 − 1| = −3
2
∄ el valor absoluto nunca va a dar un número negativo
Ordenada al origen
𝑔(0) = 2|0 − 1| + 3 = 5
c) Gráfico
para graficar unimos la semirrecta
que va desde el vértice y pasa por la
ordenada. Para la otra rama de la
gráfica, tenemos que usar el eje de
simetría y la ordena que es el dato que
tenemos. Contamos las unidades que
hay desde la ordena hasta el eje de
simetría, y trasladamos es punto al otro
lado del eje, por último, trazamos la
semirrecta desde el vértice pasando por
el nuevo punto.
d) 𝑐+ = ℝ todos los números reales
𝑐− = ∅ vacío
𝑐0 = ∅
e) 𝐼𝑐 = (1; +∞)
𝐼𝑑 = (−∞; 1)
f) 𝐼𝑚 = [3; +∞)
1 1
ACTIVIDAD 01 Dadas las siguientes funciones con módulo definidas de reales en reales…
2( ) 4F x x 3( ) 3 4F x x 4( ) 2. 1 4F x x
5( ) 5 1F x x 7 ( ) 3. 2 6F x x 8
1( ) 3. 3 12
2F x x
…se pide:
a) Indicar las coordenadas del vértice de la gráfica que representa a la función.
b) Calcular analíticamente la raíz y la ordenada al origen.
c) Representar gráficamente la función.
d) Definir 0, C C y C
.
e) Indicar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f) Definir el conjunto imagen.
¿Qué significa factorizar? Factorizar un polinomio significa expresar
como el producto de dos o varios monomios, binomios, trinomios, etc.
Antes de empezar a estudiar como se factorizan los polinomios repasemos
como se factorizan los números naturales:
24 2 Luego escribimos:
12 2
6 2 24 = 23. 3
3 3
1
¿CÓMO SE FACTORIZA UN POLINOMIO? Hay varias maneras básicas de
factorizar y vamos a ver la mayoría de ellas. Para empezar, veamos como
llamaremos a cada manera de factorizar un polinomio
1º caso: Factor común.
2º caso: Factor común por grupos.
3º caso: Trinomio cuadrado perfecto.
4º caso: Cuatrinomio cubo perfecto.
5º caso: Diferencia de cuadrados.
6º caso: Suma y resta de potencias de igual exponente.
7º caso: Trinomio de segundo grado.
Algunas de ellas les parecerá conocidas ya que lo aplicamos durante el año.
Cuadrado y cubo de un binomio, cuando multiplicamos por el conjugado
En realidad, lo que hicimos fue escribir como
producto de “divisores”. Cuando factorizamos
un polinomio lo que hacemos es escribirlo como
el producto de polinomios “divisores”
Casos de factoreo 1º caso: Factor común, para factorear un polinomio usando este caso, tiene que haber algo en común en todos los términos del polinomio, ya sea un
número o una letra o la combinación de ella.
Ejemplo: 𝐼) 𝑃(𝑥) = 16𝑥3 + 8𝑥2 − 2𝑥 + 4 todos los números son múltiplos de 2
𝑃(𝑥) = 2(8 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 2) 𝐼𝐼) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 − 𝑥 en todos los términos aparece la letra x
𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 6𝑥 − 1) entonces se saca factor común la letra de menor potencia
𝐼𝐼𝐼) 𝑃(𝑥) = 15𝑥2 − 21𝑥4 + 12𝑥3 − 6𝑥5 todos los números son múltiplos 3, y además aparece en todos los términos la letra x
t 𝑃(𝑥) = 3𝑥2(5 − 7𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑥3) (se saca de factor común la letra de menor potencia) 2º caso: Factor común por grupos, para poder hacer este método el polinomio tiene que tener una cantidad par de términos
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 25𝑥𝑦 − 10𝑥3 + 15𝑦 − 6𝑥2 agrupamos los primeros dos términos y sacamos factor común,
𝑃(𝑥) = 5𝑥(5𝑦 − 2𝑥2) + 3(5𝑦 − 2𝑥2) como los términos que están en el paréntesis son iguales, aplicamos
𝑃(𝑥) = (5𝑦 − 2𝑥2). (5𝑥 + 3) otra vez el primer caso.
3º caso: trinomio cuadrado perfecto, tiene que tener 3 términos y tiene que ser de grado 2.
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 9𝑥2 + 30𝑥 + 25 primero buscamos las bases de los extremos (con la raíz cuadrada)
√9𝑥2 √25
3𝑥 5
2.3𝑥. 5 = 30𝑥 para que sea tercer caso tiene que tener una condición: el doble producto de las bases tiene que ser igual al término del
medio. Entonces el polinomio queda 𝑃(𝑥) = (3𝑥 + 5)2 el signo depende del término del medio, en este caso es positivo. Si fuese 𝑃(𝑥) = 9𝑥2 − 30𝑥 + 25
el polinomio quedaría 𝑃(𝑥) = (3𝑥 − 5)2
4º caso: cuatrinomio cubo perfecto, tiene que tener cuatro términos
Ejemplo: 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27 primero buscamos las bases de los extremos (con la raíz cubica)
√8𝑥33 √27
3
2𝑥 3
3. (2𝑥)2. 3 = 36𝑥2 como el caso anterior, este tiene como condición, multiplicar por 3 y elevar una de las bases al cuadrado y
3.2𝑥. (3)2 = 54𝑥 después se eleva la otra, si dan como resultado los 2 términos del medio el polinomio queda 𝑃(𝑥) = (2𝑥 + 3)3,
el signo depende de la raíz cubica 27.
5º caso: diferencia de cuadrados, tiene que tener 2 términos elevados a potencia par separados por una resta
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 4 buscamos las bases (con la raíz cuadrada)
√𝑥2 √4
𝑋 2 entonces el polinomio queda 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2). (𝑥 + 2) OJO que 1 siempre esta elevado a cualquier potencia.
6º caso: suma o resta de potencias de igual exponente, para utilizar este método dicho polinomio debe tener 2 términos sumados o restados,
elevados a la misma potencia. Debe tener la misma forma xk±bk, donde k y b pertenece a los números reales. Lo que se hace para factorizar un
polinomio de este tipo es dividirlo usando el método de Ruffini. El polinomio lo vamos a dividir por un binomio teniendo en cuenta que:
Cuando k es *Si el signo es un menos dividimos al polinomio por (x-b)
Un nº impar *Si el signo es un más dividimos al polinomio por (x+b)
Cuando k es *Si el signo es un menos podemos dividir por (x-b) o por (x+b)
Un nº par *Si el signo es un más no podemos dividir al polinomio por nada
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 8 entonces, lo primero que hacemos es ver si cumple con la forma xk±bk
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 23 este polinomio cumple con la forma, como es de exponente impar y el signo es un menos, vamos a dividir al polinomio por (x-2).
Para dividir por Ruffini, tenemos que completar el polinomio y ordenarlo
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 8
1 0 0 -8
2 2 4 8
1 2 4 0 resto El resultado de la división (cociente)= 𝑥2 + 2𝑥 + 4. El polinomio queda 𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥 + 4). (𝑥 − 2)
7º caso: trinomio de segundo grado, el polinomio tiene que tener 3 términos y no debe cumplir con la condición del tercer caso. Para este método
debe emplearse la formula resolvente x1,2= −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2 donde a,b,c son los coeficientes del polinomio
𝑎 = −2 𝑏 = 5 𝑐 = −2 hay que respetar los signos que tienen los coeficientes, ahora reemplazamos en la fórmula
𝑥1,2 =−5±√(5)2−4.−2.−2
2.−2 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒
𝑥1,2 =−5±√25−16
−4 Como la fórmula general es 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2),
𝑥1,2 =−5±√9
−4 𝑥1 =
−5−3
−4=
−8
−4= 2 entonces el polinomio queda expresado como
𝑥2 =−5+3
−4=
−2
−4= 1/2 𝑃(𝑥) = −2(𝑥 − 2). (𝑥 − 0,5)
ACTIVIDAD 02 Factoriza los siguientes polinomios, aplicando en cada caso el método
indicado.
Primer caso: Factor común
1) 15𝑏 − 25𝑐 + 10𝑑 2) 2𝑎𝑏 + 3𝑎𝑐 − 4𝑎𝑑 3) 6𝑎𝑏 + 14𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑
4) 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐2 − 𝑎2𝑑2 5) 𝑏4𝑎 + 𝑏5 − 𝑏6 − 𝑏7 6) 16𝑎8𝑏𝑡4 + 64𝑎𝑏9𝑡7 + 8𝑎5𝑏3𝑡 + 40𝑎4𝑏𝑡5
Segundo caso: Factor común por grupos
1) 𝑎𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 + 𝑏𝑞 2) 𝑎𝑏 + 3𝑏 + 5𝑎 + 15 3) 𝑎2𝑐3 + 𝑏2𝑐3 + 𝑎2𝑑3 + 𝑏2𝑑3
4) 𝑐𝑑 − 4𝑑 + 5𝑐 − 20 5) 𝑦 − 𝑧 + 𝑦2 − 𝑦𝑧 6) 65𝑎𝑐 + 26𝑐𝑥 − 14𝑥𝑦 − 35𝑎𝑦
Tercer caso: Trinomios cuadrado perfecto
1) 𝑎2 − 𝑎𝑐 + 𝑐2 2) 𝑎2 + 6𝑎 + 9 3) 81 − 18𝑥 + 𝑥2
4) 𝑦2 − 16𝑦 + 64 5) 9𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 4𝑏2 6)4𝑎2𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 𝑎2𝑏6
Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto
1) 27𝑏3 + 108𝑎𝑏3 + 144𝑎2𝑏3 + 64𝑎3𝑏3 2) 𝑥3 − 9𝑥2𝑦 + 27𝑥𝑦2 − 27𝑦3 3) 64𝑥3𝑦3 − 24𝑥2𝑦2 + 3𝑥𝑦 −1
8
4) 1
8𝑏3 +
3
16𝑏2𝑐 +
3
32𝑏𝑐2 +
1
64𝑐3 5 )8𝑥3𝑦3 + 48𝑦4𝑥5 + 96𝑥7𝑦5 + 64𝑥9𝑦6 6)𝑥3 − 12𝑏3𝑥2 + 48𝑏6𝑥 − 64𝑏9
Quinto caso: Diferencia de cuadrados
1) 𝑧4 − 25 2) 100 − 𝑎8 3) 𝑥6 − 𝑏2 4) 9𝑧2 − 1
5) 1 − 4𝑥4 6) 16𝑦2 − 64𝑧8 7) 49𝑎6𝑥10 − 121 8) 81𝑗8𝑚2 − 144ℎ2𝑛4
Séptimo caso: Trinomio de segundo caso
1) 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 2) 2𝑦2 + 29𝑦 + 90 3) 2𝑚2 + 11𝑚 + 5
4) 2𝑎2 + 𝑎 − 3 5) 2𝑛2 + 5𝑛 + 2 6) 2𝑎2 − 7𝑎 + 3
LINK DE APOYO:
FUNCIÓN MÓDULO: https://www.youtube.com/watch?v=K6z9Il-xaN0
FUNCIÓN MÓDULO: https://www.youtube.com/watch?v=5fBoB5OjEPo&t=201s
CASOS DE FACTOREO: https://www.youtube.com/watch?v=i0lKQNiLVsM
FECHA DE ENTREGA
ACTIVIDAD 1 ACTIVIDAD 2
13 DE OCTUBRE 26 DE OCTUBRE
CONTACTO DEL PROFESOR
4ºA 4ºB
