Colegio José Hernández- Plan de Continuidad pedagógica

5ta parte

Matemática- 6to A/B

Sucesiones y series

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.

Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas.

Ejemplos

{1, 2, 3, 4, ...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es

una sucesión finita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando

cada término

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna ceros y unos.

Notación:

Una sucesión sigue una regla que indica cómo calcular el valor de cada

término. Podríamos pensar en una función que tiene dominio natural, y asigna

a cada número de ese conjunto, el término que ocupa esa posición.

Para poder comunicar la regla se utiliza una notación específica:

𝑎𝑛 generalmente se utiliza para indicar el término general (o fórmula)

Por ejemplo:

𝑎𝑛 = 2. 𝑛

Esa sucesión dada por su término general puede escribirse como lista

ordenada, reemplazando a la n por el lugar que ocupa cada término. Es decir:

Para obtener el primer término: reemplazo a la n por 1

𝑎1 = 2 . 1 𝑎1 = 2

Observemos que el subíndice 1 nos indica el orden del término

Para obtener el segundo término: reemplazo a la n por 2

𝑎2 = 2 . 2 𝑎2 = 4

Y así, podemos ir completando la lista de esta manera:

𝑎𝑛 = {2; 4; 6; 8; 10; …

Gráfico:

De la misma manera que realizamos los gráficos de funciones con dominio

real, podemos ubicar en un sistema de ejes cartesianos los puntos

correspondientes a la sucesión.

Entonces, según el ejemplo: el primer término tendrá como coordenadas (1; 2).

El 1, que indica que se trata del término número 1 y el 2, es el valor del primer

término.

Entonces...

En el caso de las sucesiones, como el dominio es natural, los puntos nunca se

deben unir.

Sucesiones convergentes.

Una sucesión es convergente si su límite es finito. Es decir, si los términos de

la sucesión se acercan a un número determinado. Utilizando el gráfico de la

misma, es posible observar dicho límite.

Por ejemplo:

Es una sucesión convergente, el

límite es 1.

Es convergente, su límite es 0.

Es una sucesión convergente, su

límite es 1.

Sucesiones divergentes.

Una sucesión es divergente si su límite no es finito. Es decir, los términos no se

acercan a un valor determinado, sino que crecen o decrecen indefinidamente.

Por ejemplo:

Es divergente.

Sucesiones oscilantes:

En este tipo de sucesiones, podemos observar que los signos de los términos

se alternan.

Por ejemplo:

Algunas sucesiones especiales:

Sucesiones aritméticas

En una sucesión aritmética la diferencia entre un término y el siguiente es

una constante. Es decir, que al restar un término con su anterior inmediato

siempre obtengo el mismo resultado.

Volviendo a nuestro ejemplo:

𝑎2 − 𝑎1 = 4 − 2 = 2 𝑎3 − 𝑎2 = 6 − 4 = 2 𝑎4 − 𝑎3 = 8 − 6 = 2

La diferencia es 2, también se denomina razón (r).

Para poder obtener el término general de una progresión aritmética, además de

la diferencia debemos conocer el primer término... en este caso, es 2.

Término general de una sucesión aritmética:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑟 . (𝑛 − 1)

Obtenemos, entonces, el término general de la progresión de nuestro ejemplo:

𝑎𝑛 = 2 + 2 . (𝑛 − 1)

Si quisiéramos obtener el término que está en la posición 20:

𝑎20 = 2 + 2 . (20 − 1) 𝑎20 = 2 + 2 . 19 𝑎20 = 2 + 38 𝑎20 = 40

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior

por una constante. Es decir, si dividimos cualquier término por su anterior

inmediato, obtenemos siempre el mismo resultado, llamado razón (q).

Ejemplo:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

𝑎2

𝑎1=

4

2= 2

𝑎3

𝑎2=

8

4= 2

𝑎4

𝑎3=

16

8= 2

Como podemos observar, la razón es 2.

Término general de una progresión geométrica:

𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞𝑛−1

Utilizando los datos de nuestro ejemplo:

𝑎𝑛 = 2 . 2𝑛−1

Como lo hicimos con el ejemplo de la sucesión aritmética, podemos obtener

cualquier término:

𝑎8 = 2 . 28−1

𝑎8 = 2 . 27

𝑎8 = 2 .128

𝑎8 = 256

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una

serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos del siguiente ejemplo: {3,5,7, 9, ...} = 3+5+7+9 = 24

Suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética:

Para obtener el resultado de una sumatoria de n primeros términos en una

progresión aritmética, podemos utilizar la siguiente fórmula:

∑ 𝑎𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛). 𝑛

2

𝑛

𝑖=1

Entonces, sin quisiéramos sumar los primeros 10 términos de la progresión

aritmética del ejemplo:

𝑎𝑛 = {2; 4; 6; 8; 10; … 𝑎𝑛 = 2 + 2. (𝑛 − 1)

∑ 𝑎𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛). 𝑛

2

𝑛

𝑖=1

∑ 𝑎𝑛 =(𝑎1 + 𝑎10). 10

2

10

𝑖=1

Para poder resolver, vamos a necesitar calcular el término número 10

𝑎𝑛 = 2 + 2 . (𝑛 − 1) 𝑎10 = 2 + 2 . (10 − 1) 𝑎10 = 2 + 2 . 9 𝑎10 = 2 + 18 𝑎10 = 20

Ahora, podemos resolver la suma...

∑ 𝑎𝑛 =(2 + 20). 10

2

10

𝑖=1

∑ 𝑎𝑛 =22 . 10

2

10

𝑖=1

∑ 𝑎𝑛 =220

2

10

𝑖=1

∑ 𝑎𝑛 = 110

10

𝑖=1

Suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica:

Para hallar la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica,

utilizamos la siguiente fórmula. Simbolizando a la suma con una S

𝑆 =𝑎1(𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1

Podemos observar que, para obtener el resultado, sólo necesitamos conocer el

primer término, la razón y la cantidad de elementos.

Si volvemos al ejemplo utilizado en sucesiones geométricas:

𝑎𝑛 = {2; 4; 8; 16; ….

𝑎𝑛 = 2 . 2𝑛−1

Vamos a sumar los primeros 9 términos:

𝑆 =𝑎1(𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑆 =2 . (29 − 1)

9 − 1

𝑆 =2 . (512 − 1)

2 − 1

𝑆 =2 . 511

1

𝑆 = 1022

ACTIVIDADES

ACTIVIDAD 001

Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término

general y para el conjunto de los números naturales, escriba

los primeros 10 términos de cada una de ellas.

2

.....

na n

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

2

.....

nb n

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

1

2

.....

n

nc

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

1

2

.....

n

nd

n

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

1

.....

n

ne

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

12

.....

nfn

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

ACTIVIDAD 002

Para cada una de las siguientes sucesiones, represente los

primeros 10 términos de cada una de ellas en los respectivos

sistemas de ejes coordenados. Luego, clasifique cada sucesión

(DIVERGENTE – CONVERGENTE – OSCILANTE).

4na

n

1nb n

1 3n

nc

6 1n

nd

n

11

n

nen

ACTIVIDAD 003

A partir de lo visto para SUCESIONES ARITMÉTICAS, se pide:

a. Escribir una sucesión sabiendo que el primer elemento es 2 ; la razón es 1

2, y el número

de elementos

es 6 .

b. Encuentra en cada caso el dato que falta.

1 3

0 5

6

n

a

r ,A )

n

a ?

1

19

4

7

na

rB )

n

a ?

1 2 1

6 1

6

n

a ,

a ,C )

n

r ?

1 0 5

9 5

2 5

n

a ,

a ,D )

r ,

n ?

ACTIVIDAD 004

Escribe las siguientes sucesiones:

a. …de 6 términos siendo 1 4a y 5r

b. …de 3 términos siendo 1 7a y 2r

c. …de 8 términos siendo 1 20a y 2r

d. …de 5 términos siendo 1 6a y 3r

ACTIVIDAD 005

Para cada uno de las siguientes sucesiones, se pide calcular 10

1

i

i

a

a. na n

b. 2na n

c. 2 1na n

d. 5na n

e. 100 10na .n

ACTIVIDAD 006

A partir de lo visto para SUCESIONES GEOMÉTRICAS, se pide:

a. El primer término de una sucesión geométrica es 4 y la razón es 1

2, calcular: 3a , 4a y el

valor de n , si 1

16na

b. El primer término de una sucesión geométrica es 1 y la razón es 2 , calcular: 3a , 6a y el

valor de n , si 8na

c. El sexto término de una sucesión geométrica es 80 y la razón es 2 , calcular el primer

término.

d. El primer término de una sucesión geométrica es 27 y el cuarto término es 27 ;

calcular la razón.

ACTIVIDAD 007

Encuentre en cada caso el dato que falta.

1

5

1

4

8

5

a

q

A )

n

a ?

4

1

1

36

1

3

a

B ) q

a ?

1

4

3

8

192

a

C ) a

q ?

1 8

512

4

n

a

a

D )

q

n ?

ACTIVIDAD 008

Hallar en cada caso el dato que falta.

1

1

9

3

4

a

q

A )

n

S ?

1

3

13

3

2

4

a

q

B )

n

S ?

1

1

8

6

1

8

a

n

C )

q

S ?

6to A:

Fecha de entrega: Acts. 1 a 4, 15/05.

Acts. 5 a 8 22/05.

e-mail del profesor: josue14_paes@hotmail.com

Código de Classroom: 5q65nux

6to B:

Fecha de entrega: Acts. 1 a 4, 15/05.

Acts. 5 a 8 22/05.

e-mail del profesor: natalialozano85@gmail.com

Código de Classroom: cdvzgtc

ZOOM: Consultar Id y contraseña o link por Classroom