COLEGIO LOS AROMOS 4◦ MEDIO ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

Guía: Variaciones - Permutaciones - Combinatoria

Nombre: Fecha: /Noviembre/15

De�nciones:

1. Población

Es el conjunto de elementos que estamos estudiando.

Denominaremos con n al número de elementos de este conjunto.

2. Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con r al número de elementos que componen lamuestra.

Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

• Orden, es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

• Repetición, es decir, la posibilidad de repetición o no de los elementos.

Profesora Tamara Grandón 1 Profesor Gonzalo Curihuentro

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TÉCNICAS DE CONTEO

Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes yotro suceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A y B”puede ocurrir de (a ∙ b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicar también a más dedos sucesos.

Principio Aditivo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes y otrosuceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A o B” puedeocurrir de (a + b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicar también a más de dossucesos.

EJEMPLOS

1. Si Pedro dispone de 5 lápices de pasta, 4 de tinta y 3 de grafito, entonces ¿de cuántasmaneras diferentes puede elegir un lápiz para hacer una tarea?

A) 12B) 17C) 23D) 27E) 60

2. Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

A) 4B) 6C) 8D) 12E) 36

3. En un local de comida rápida, Patricio puede escoger un combo que contiene una de5 hamburguesas distintas y una bebida entre 4 sabores distintos ó bien un jugo entre 2sabores distintos y todo esto acompañado de papas fritas. ¿Cuántos combos distintospuede armar Patricio?

A) 11B) 13C) 18D) 30E) 40

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FACTORIALES

Definición: Sea n un número natural, se llama factorial de n o n factorial, al producto delos n primeros números naturales y se denota por n!.

Se define:

1! = 1 n! = n ∙ (n – 1)!

Se deduce de lo anterior, que

n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1

OBSERVACIÓN: 0! = 1

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 4!?

I) 2! ∙ 2!II) 1! + 1! + 1! + 1!

III) 12 ∙ 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

2. Sea p el sucesor de q. Entonces, p! es

A) (q – 1)!B) (pq + p)!C) (q + 1) ∙ q!D) (p + q + 1)!E) (p + q – 1)!

3. ¿Cuál de los siguientes números no es divisor de 6!?

A) 8B) 9C) 10D) 14E) 18

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PERMUTACIONES

Definición: Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que sepueden realizar con todos los elementos de un conjunto.

Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con loselementos de un conjunto, sin repetirlos.

Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos, de loscuales, k1 son iguales, k2 son iguales,…. kr son iguales, está dada por

Permutaciones circulares: El número de maneras diferentes en que se pueden ordenar nelementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por:

EJEMPLO

1. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 autos en fila en un estacionamiento?

A) 5B) 10C) 25D) 120E) 125

2. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabraELEMENTO?

A) 3!B) 5!C) 8!

D)8!5!

E)8!3!

3. ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededorde una mesa circular?

A) 3! + 4!B) 3! ∙ 4!C) 6!D) 7!E) 7! – 1!

P(n) = n!

Pcircul = (n – 1)!

rep1 2 r

n!P =

k ! · k ! · ... k !

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VARIACIONES O ARREGLOS

Definición: En un conjunto de n elementos, se denominan variaciones o arreglos a losdiferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con sólo r elementos (r < n).

Variaciones sin repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos der elementos que se pueden obtener, sin repetir ninguno de ellos, está dada por (r < n):

Variaciones con repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntosde r elementos que se pueden obtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos,está dada por (r<n):

EJEMPLOS

1. Si en una micro hay disponibles sólo 3 asientos y 7 personas están de pie, ¿de cuántasmaneras distintas podrían ocupar esos asientos?

A) 7! – 3!B) (7 – 3)!

C)7!3!

D)7!4!

E) 73

2. Si se lanza un dado 3 veces consecutivas y en cada ocasión se anota el resultado, lacantidad de combinaciones posibles es

A) 6!B) (3 + 6)!C) 18!D) 36

E) 63

3. En un campeonato de fútbol participan 8 equipos locales. ¿De cuántas manerasdistintas pueden ser ocupados los tres primeros lugares?

A) 6B) 21C) 56D) 336E) 512

Vrn = nr

nr

n!V =

(n r)!

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COMBINACIONES

Son los diferentes grupos que se pueden formar con un total de n elementos de modo quecada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de estos.

El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula:

CUADRO RESUMEN

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es el valor de 4 62 3C + C ?

A) 26B) 72C) 136D) 252E) Ninguna de las anteriores

nr

n!C =

(n r)! · r!

¿Importael orden?

¿Intervienentodos los

elementos?

Permutación

Variación

Combinación

¿Se puedenrepetir loselementos?

¿Se puedenrepetir loselementos?

nr

n!C =

(n r)! · r!

P(n) = n!

Vrn = nr

nr

n!V =

(n r)!

si

si

si

no

no

no

si

no

Prep =1 2

n!k ! · k ! · ... · kr!

¿Se puedenrepetir loselementos?

si

no

Combinación con Repetición

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2. Para el mundial de fútbol de Brasil clasificaron 32 países. Si este torneo se jugara conla modalidad “todos contra todos”, ¿cuántos partidos de tendrían que jugar?

A) 322

B) 232

C) 32!D) 72E) 496

3. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saludauna vez a cada una de las otras?

A) 11B) 12C) 24D) 66E) 144

4. En un jardín infantil hay 5 cupos para 8 niños que postulan, ¿de cuántas formas sepuede ocupar esas vacantes?

A) 13B) 40C) 56D) 168E) 336

5. Una señora tiene 9 amigos de confianza, ¿de cuántas maneras puede invitar a comer a5 de sus amigos?A) 5!B) 9!C) 45D) 105E) 126

6. Con los elementos de los conjuntos A = {b, c, d, f, g, h} y B = {a, e, i, o}, debenformarse grupos de 5 letras cada uno, con 3 elementos de A y 2 de B. ¿Cuántos gruposdistintos podrán crearse?A) 4B) 26C) 120D) 1.440E) 3.456

7. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas.¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

A) 50B) 60C) 70D) 80E) N.A.

8. En una florería hay 7 clases de flores, ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 flores?

A) 210B) 48C) 100D) 1000E) 200