Colmenares - Simulación Numérica de Flujo Laminar No-newtoniano

7/25/2019 Colmenares - Simulacin Numrica de Flujo Laminar No-newtoniano

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Simulacin numrica de flujo laminar no-newtoniano en tuberas anulares excntricas

CONFERENCE PAPER JANUARY 2010

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4 AUTHORS, INCLUDING:

Pablo Guillen

University of Houston

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Carlos F Torres

University of the Andes (Venezuela)

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SIMULACIN NUMRICA DE FLUJO LAMINAR NO-NEWTONIANOEN TUBERAS ANULARES EXCNTRICAS

Jos B. [email protected]

Pablo [email protected], Universidad de Los Andes. Mrida, 5101 Venezuela.

Guillermo [email protected] de Procesamiento de Imgenes, Universidad de Carabobo. Valencia, 2003 Venezuela.

Carlos F. [email protected] de Turbomquinas, Facultad de Ingeniera, Universidad de Los Andes. Mrida, 5101

Venezuela.

Resumen. Se ha desarrollado un modelo numrico para simular flujo laminar no newtoniano entuberas anulares excntricas. El modelo utiliza el mtodo de los volmenes finitos ycoordenadas bipolares para la generacin de la malla. El uso de una viscosidad efectiva en laecuacin de momentum permite el estudio del comportamiento de cualquier fluido para el cual el

esfuerzo cortante es una funcin del gradiente de velocidad. Especficamente se modelaron

fluidos laminares newtoniano, ley potencial y Herschel-Bulkle. Esto debido a que el trabajo est

dirigido principalmente a simular el flujo anular de fluidos, usados en operaciones deperforacin y completacin en pozos de crudo y gas. El caso newtoniano fue usado para

verificar el modelo, comparando los resultados adimensionales, para diferentes excentricidades,

con la solucin analtica. Las predicciones de gradiente de presin para fluidos no newtonianosfueron comparadas con datos publicados en la literatura revelando una excelente concordancia.

Palabras Clave: Flujo no-newtoniano, Volmenes finitos, Tuberas excntricas.

1. INTRODUCCIN

Durante la perforacin de un pozo petrolero se inyecta en el pozo un lodo que ayuda a laestabilidad del pozo, su lubricacin, enfriamiento de la punta del taladro, y que arrastra los ripios

de perforacin hasta la superficie entre otras cosas.
mailto:[email protected]:[email protected]


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Como las condiciones de cada pozo son nicas, tambin cada lodo tiene propiedades

particulares. La mayora de los lodos utilizados son fluidos no newtonianos, contaminados porripios de la perforacin y contienen por lo menos dos fases (gas y el lodo). Como una primera

aproximacin en este trabajo se asumir que el lodo es no newtoniano monofsico, y que la

temperatura no juega un papel importante en el comportamiento del fluido. El objetivo de la

simulacin es el obtener el campo de velocidades, esfuerzos de corte y el gradiente de presin enla seccin anular. En este trabajo se utiliz el mtodo de los volmenes finitos por su buen

comportamiento en campos conservativos y su adaptabilidad en mallas complejas.

2. ECUACIONES FUNDAMENTALES

La ecuacin axial de momentum para flujo en estado estable, completamente desarrollado,

laminar e incompresible puede ser escrita como (Azouz et al [1]):

( ) ( )u u dp

x x y y d

+ = z

, (1)

donde es la velocidad axial (en la direccin ), es el gradiente de presin que incluye

el termino gravitacional,

u z /dp dz

x , y son las coordenadas cartesianas, yy z ( ) es la viscosidad

efectiva que depende del gradiente de velocidad . Para fluidos isotrpicos completamente

desarrollados donde u es la nica componente de la velocidad distinta de cero, el gradiente de

velocidad es:

0. 522

u u

x y

= +

(2)

2.1 Fluido newtoniano

Si se considera un fluido newtoniano, ( ) es constante y la Ec. (1) se simplifica a:

2 2

2 2

1u u dp

x y d

+ =

z, (3)

La Ec. (1) posee solucin analtica expresada en series de Fourier usando coordenadas

bipolares (Zinder y Goldstein [6]).

2.2

Fluido no-newtoniano

En este estudio, los modelos reolgicos considerados son (Brodkey [2]):

Fluido ley potencial donde la viscosidad efectiva es 1( ) nk =

Fluido Herschel-Bulkley donde la viscosidad efectiva es 1( ) nk

= + si >
https://www.researchgate.net/publication/273565203_Numerical_Simulation_of_Laminar_Flow_of_Yield-Power-Law_Fluids_in_Conduits_of_Arbitrary_Cross-Section?el=1_x_8&enrichId=rgreq-35ccf6cb-090c-410e-b421-00e784111953&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI3MjgzMDYyNTtBUzozMTU3MTYzNjI4MDExNTJAMTQ1MjI4NDA1NDQxNA==https://www.researchgate.net/publication/227634587_An_Analysis_of_Fully_Developed_Laminar_Flow_in_an_Eccentric_Annulus?el=1_x_8&enrichId=rgreq-35ccf6cb-090c-410e-b421-00e784111953&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI3MjgzMDYyNTtBUzozMTU3MTYzNjI4MDExNTJAMTQ1MjI4NDA1NDQxNA==https://www.researchgate.net/publication/227634587_An_Analysis_of_Fully_Developed_Laminar_Flow_in_an_Eccentric_Annulus?el=1_x_8&enrichId=rgreq-35ccf6cb-090c-410e-b421-00e784111953&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI3MjgzMDYyNTtBUzozMTU3MTYzNjI4MDExNTJAMTQ1MjI4NDA1NDQxNA==https://www.researchgate.net/publication/273565203_Numerical_Simulation_of_Laminar_Flow_of_Yield-Power-Law_Fluids_in_Conduits_of_Arbitrary_Cross-Section?el=1_x_8&enrichId=rgreq-35ccf6cb-090c-410e-b421-00e784111953&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI3MjgzMDYyNTtBUzozMTU3MTYzNjI4MDExNTJAMTQ1MjI4NDA1NDQxNA==


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Cuando se analizan fluidos no-newtonianos la viscosidad efectiva, ( ) es una funcin del

gradiente de velocidad , y para calcular la velocidad del fluido y su gradiente es necesario

conocer

( ) . Para resolver este problema se realiza un ciclo externo al clculo del campo de

velocidades y progresivamente se incluye la variacin de viscosidad efectiva con el gradiente develocidad Este lazo finaliza cuando la variacin de los parmetros entre una iteracin y la

siguiente sea menor que cierta tolerancia pre-establecida.

3. DISCRETIZACIN USANDO EL MTODO DE VOLMENES FINITOS

La ecuacin gobernante Ec. (1), es resuelta numricamente usando el mtodo de losvolmenes finitos (Ferziger & Peri[3]). Este mtodo permite la discretizacin de la solucin en

un nmero finito de trapezoide de cuatro lados cuyas caras coinciden con las lneas del sistema

coordenado (Fig. 1). Los valores de todas las variables calculadas son almacenados en el centrode cada trapezoide. Integrando la Ec. (1) en un trapezoide se obtiene:

( ) ( )

u u dp dp

dxdy dxdyx x y y dz dz

+ = =

, (4)

donde es el rea de del trapezoide y su permetro. Del teorema de Green, la integralizquierda es posible escribirla como:

( ) ( ) ( ) ( )u u u

dxdy dy dxx x y y x y

+ =

u

)

. (5)

Detalles de la discretizacin de las Ec. (4) y Ec. (5) pueden ser encontrados en Ferziger &

Peri[3]. La discretizacin final resulta en:

(P P E E W W N N S S u Pa u a u a u a u a u S = + + + + . (6)

Para resolver el sistema de ecuaciones definido por la Ec. (5) se uso el SIP de Stone [7], con

condiciones de borde simtricas en el eje formado por los dos centros de tuberas y velocidadigual a cero en las paredes de la de la tubera interior y exterior.

Figura 1 Celda computacional tpica.


5/7

4. GENERACIN DE LA MALLA

Para generar la malla en el espacio anular, se uso el sistema de coordenadas bipolar definido

por:

cotan2

ix iy ic ++ =

, (7)

donde ( , )y y ( ), son las coordenadas cartesianas y bipolares respectivamente. Las

relaciones entre ( , )x y y (, ) estn dadas por:

s inh( )

cosh( ) cos( )

cx

=

, (8)

s in( )

cosh( ) cos( )

c y

=

, (9)

donde s in( )/ 2 sin( )/ 2i o e ic d d = = , y son los dimetros externos e interno del espacio

anular, y

ed id

o y i definen las curvas internas y externas que conforman el espacio anular en

coordenadas bipolares, y vienen dados segn las ecuaciones:

2 2(1 ) (1 )cosh( )

2o

k e e

ke

+ + = , (10)

2 2(1 ) (1 )

cosh( ) 2ik e e

e

+ +

= , (11)

donde es la relacin de dimetros (k /i ek d d= ), es la excentricidad ( ), y la

distancia entre los centros de la tubera externa e interna. Detalles de la implementacin delmtodo de los volmenes finitos en coordenadas bipolares se encuentran en Meknassi et al [5].

e 2 / ( )e ie h d d = h

5. RESULTADOS

Para verificar el modelo numrico fueron desarrolladas comparaciones con dos casos donde

la solucin analtica est disponible. Tambin, la convergencia numrica fue estudiada definiendo

refinamientos independientes en las direcciones radial y circunferencial, consiguiendo excelentesresultados con 50 elementos en la direccin radial y 100 elementos en la direccin

circunferencial.

5.1 Comparacin con la solucin analtica para fluido newtoniano

Los gradientes de presin y perfiles de velocidad adimensionales predichos en este trabajo

para tuberas concntricas y excntricas, fueron comparados con la solucin analtica en tubos


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excntricos desarrollada por Snyder & Goldstein [6], presentando excelente acuerdo. La Fig. 2

muestra la comparacin de la velocidad adimensional ( ) en funcin de la

excentricidad para las soluciones analtica y numrica. La Fig. 3 muestra un perfil de velocidades

adimensional para una excentricidad de 0.75.

24 / ( /eu u d dz dp= )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Solucin analtica

Solucin numrica

Excentricidad

Velocidadadimensional

Figura 2 Comparacin de las soluciones analtica y numrica

Figura 3 Campo de velocidades adimensional para flujo laminar con .0.75e=

5.2 Comparacin para fluido no-newtoniano

Fredrickson & Bird [4] obtuvieron la solucin para un fluido ley potencial en tubos

concntricos. Esta solucin fue comparada con el modelo presentado para una excentricidad muy

pequea mostrando un excelente acuerdo. La Fig. 4 presenta los resultados numricos para un

fluido no-newtoniano tipo ley potencial con k=0.748 y varias , en una tubera con

dimetro externo de 12.7 cm, dimetro interno de 6.045 cm, y una excentricidad de 0.62.

nPa s n


7/7

100

1000

10000

0.001 0.010 0.100 1.000

Caudal [m3/s]

Gradientedep

resin[Pa/m]

n = 0.5

n = 0.6

n = 0.8

Figura 4 Gradiente de presin calculado versus caudal para un fluido no-newtoniano tipo ley

potencial

6. CONCLUSIONES

Un modelo numrico que resuelve la ecuacin general de difusin, en coordenadas bipolares

usando el mtodo de volmenes finitos, fue desarrollado para simular flujo de fluidos no-

newtonianos en tuberas excntricas. El modelo fue aplicado a fluidos laminar newtoniano, leypotencial y Herschel-Bulkley presentado un buenos resultados al ser comparado con soluciones

analticas y data experimental. Otros modelos reolgicos pueden ser incorporados en el modelo a

travs de la sustitucin de expresin apropiada de la viscosidad efectiva.

REFERENCIAS

[1]Azouz, I., Shirazi, S., Pilehvari, A., & Azar, J. Numerical Simulation of Laminar Flow of

Yiel-Power-Law Fluids in Conduits of Arbitrary Cross-Section. ASME J. of Fluids

Engineering, vol. 115, pp. 710-716, 1993.

[2]Brodkey, R.S. The Phenomena of Fluid Motions. Addison-Wesley, 1967.

[3]Ferziger, J.H. & Peri, M. Computational Methods for Fluid Dynamics. 3rd edition,Springer-Verlag, 2002.

[4]Fredrickson, A.G., & Bird, R. B. Non-Newtonian Flow in Annuli. Ind. & Eng. Chem.,vol. 50, pp. 347-352, 1958.

[5]

Meknassi, F., Benkirane, R., Lin, A. & Masbernat, L.: Numerical Modeling of WavyStratified Two-Phase Flow in Pipes. Chem. Eng. Sci., vol. 55, pp. 4682-4697, 2000.

[6]Snyder, W.T., & Goldstein, G.A. An Analysis of Fully Developed Laminar Flow in an

Eccentric Annulus.AIChe Journal, vol. 11, pp. 462-467, 1965.

[7]Stone, H.L. Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial

Differential Equations. SIAM J. Numer. Anal., vol. 5, pp. 530-558, 1968.
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Colmenares - Simulación Numérica de Flujo Laminar No-newtoniano