7/24/2019 COLOQUIO ALGEBRA II RESUELTO
1/3
FACULTAD DE INGENIERA - UBALGEBRA IISegundo cuatrimestre de
2014
EXAMEN INTEGRADOR 17 de diciembre de 2014 (Segunda fecha)
Respuestas
TEMA 1
EJERCICIO 1:
[] 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 3; ={; ; ; }
EJERCICIO 2:
=[] = (2 12 12 1
);+= 5 2 2 2 1 1 1; = 5 147EJERCICIO 3:
a)
Para cada autovalor de = existe un autovalor : = 1. Como
esdefinida positiva: > 0; por lo tanto 1 > 0.Para cada
autovalor de = 2existe un autovalor : = 2. Como 2esdefinida
negativa: < 0; por lo tanto 2 < 0.Luego, los autovalores de
la matriz cumplen: 1 < < 2.
b) Siendo
= VT, una descomposicin en valores singulares de la matriz A,
las columnas
, 1 , deson autovectores de, por construccin; esto es, = . Las
primeras columnas de la matriz , siendo el rango de, se calculan
como = , donde es el i-simo valor singular de, que ser no nulo para
1 . Multiplicando por ydividiendo por : = si y slo si = , 1 .Por lo
tanto es autovector de.Por otra parte, = 0es autovector dede
multiplicidad . Luego, las columnasrestantes de son autovectores
deasociadas al autovalor 0. En efecto: = 0,con 1 .
EJERCICIO 4:
a) Para que los conjuntos de nivel > 0sean curvas cerradas,
debe ser ||< 2.b) Con = 2, el mximo de la forma cuadrtica ,
sujeta a = 1, con =1 00 , es8,y se alcanza en = 1 00 2 11 =
1/22/2.
7/24/2019 COLOQUIO ALGEBRA II RESUELTO
2/3
FACULTAD DE INGENIERA - UBALGEBRA IISegundo cuatrimestre de
2014
EXAMEN INTEGRADOR 17 de diciembre de 2014 (Segunda fecha)
EJERCICIO 5:
: / = 110 31 310 13
TEMA 2
EJERCICIO 1:
[] 2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 4; ={; ; ; }EJERCICIO 2:
=[] = (1 11 11 1);+= 6 1 1 11 1 1;= 6 11EJERCICIO 3:
a) Para cada autovalor de = existe un autovalor : = 1. Como
esdefinida negativa: < 0; por lo tanto 1 < 0.Para cada
autovalor
de
= 2existe un autovalor
:
= 2. Como
2es
definida positiva:
> 0; por lo tanto
2 > 0.
Luego, los autovalores de la matriz cumplen: 2 < < 1.b)
Sea = VT, una descomposicin en valores singulares de la matriz
.
Entonces = VTes una descomposicin en valores singulares de la
matriz , yaque es ortogonal. En efecto: = = = y tambin == = .
Entonces, += += += +.
EJERCICIO 4:
a)
Para que los conjuntos de nivel 0sean hiprbolas, debe ser ||>
2.b) Con = 2, el mximo de la forma cuadrtica , sujeta a = 1, con =1
00 , es8,y se alcanza en = 1 00 2 11 = 1/22/2.EJERCICIO 5:
