UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN

FACULTAD POLITÉCNICA CIUDAD UNIVERSITARIA Matemática V – Año 2.010SAN LORENZO – PARAGUAY 1

Combinación Lineal de Vectores (C.L.)

Sean u1, u2, u3, . . . , un, vectores de un espacio vectorial Rn, se dice que un vector u es combinación lineal (C.L.) de u1, u2, u3, . . . , un si existen escalares c1, c2, c3, . . . , cn tal que:

u = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3+ . . . + cnun

Conjunto Generador de R n o Envolvente Lineal

Se dice que un conjunto de vectores de Rn es un conjunto generador de Rn si todo vector de Rn se puede expresar como combinación lineal de u1, u2, u3, . . . , uk , en cuyo caso diremos que estos vectores forman un conjunto de generadores de Rn, o bien que Rn está generado por dichos vectores. Usaremos la notación Rn = L para significar que el espacio vectorial Rn es engendrado por los vectores u1, u2, u3, . . . , uk,. La L indica que Rn está formado por todas las combinaciones lineales de los vectores u1, u2, u3, . . . , uk y se denomina “Envolvente Lineal”.

OBS.: 1. Un conjunto “generador” de vectores define, de alguna forma, el espacio vectorial, puesto que

cada vector del espacio se puede obtener a partir de este conjunto. 2. Aunque todo elemento de Rn se expresa como CL de un conjunto generador de Rn , dicha

representación no necesariamente es única. Ejercicios:

1. Expresar el vector (-2, 3, 27), si es posible, como una Combinación Lineal (C.L.) de los vectores u =(2 , - 1, 3), v = (4, 0, 6) y w = (8, - 2, -3)

2. Expresar el vector (8, 14) como combinación lineal de (6, - 1) y (5, 3)3. Demostrar que los vectores: (1, 2, 0) ; (0, 1, -1) y (1, 1, 2) generan R3 o V3.4. Determinar si (1, -3) y ( (2, - 5) generan R2 5. Demostrar que S = generan a R2

Dependencia e Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de vectores U = u1, u2, u3, . . . , un de un espacio vectorial Rn, es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares c1, c2, c3, . . . , cn, no todos iguales a cero, tales que:

c1 u1 + c2 u2 + c3 u3+ . . . + cnun = 0

Se dice que un conjunto de vectores U = u1, u2, u3, . . . , un de un espacio vectorial Rn, es linealmente independiente (L.I.) si c1 u1 + c2 u2 + c3 u3+ . . . + cnvn = 0 solo se satisface cuando c1 = c2 = … . cn = 0.Se dice también que un conjunto es L.I. si genera con unicidad el vector cero; es decir;

U = u1, u2, u3, . . . , un es L.I.

Ejercicios:1. Determinar si: a) U = b) U = son L.D. o L.I.2. Dados los vectores (1, - 4, 6); (1, 4, 4) y (0, - 4, x), determinar x, para que los vectores sean LD.3. Calcular el valor de k, que haga LD los vectores (1, 2, k); (0, 1, k – 1) y (3, 4, 3)

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Propiedad :

Un conjunto S = de vectores de Rn es linealmente independiente, si y solo sí

para cualquier vector u, si u = , entonces esta representación es única.

Un conjunto S = de vectores de Rn es linealmente dependiente si y solo sí por lo menos uno de los vectores del conjunto se puede expresar como CL de los otros. Decir que un conjunto de vectores es LD sugiere que los vectores dependen de cada uno de los otros de modo lineal.

Sea S = de vectores de Rn, donde k > n, entonces S es LD. Un conjunto S de vectores LI en Rn contiene a lo sumo “n” vectores.

Conjunto Ortogonal y Conjunto Ortonormal

Un conjunto de vectores U = u1, u2, u3, . . ., un se denomina conjunto ortogonal si = 0 con i j, dicho de otro modo, dos vectores distintos cualesquiera de un conjunto ortogonal son perpendiculares.

Ej.: de V3 son ortogonales.

Propiedad: todo conjunto ortogonal de vectores no nulo es L.I.

Ej.: Determinar si: , es Ortogonal.

Un conjunto de vectores ortogonales en la cual cada uno de los vectores tiene norma 1 se denomina conjunto ortonormal.

Ej.: Determinar si: , es Ortonormal,

Bases

Definición: Un conjunto de vectores U = u1, u2, u3, . . . , vn se llama Base para Rn, si U genera con unidad todo vector de Rn

, es decir, si todo elemento de Rn, se puede expresar como una CL de en una sólo una forma.

Un conjunto U es una base de Rn si y solo si es un conjunto generador de Rn linealmente independiente.Un subconjunto de Rn que pueda usarse para formar un sistema de coordenadas en Rn se llama “base de Rn”.OBS.:

Como es también base de R3 esto implica que una base de Rn no es única. Una base es un conjunto L.I. que genera todo el espacio Rn. Si U es ortogonal se llama base ortogonal.

En = es una base ortogonal, y como = 1, esta base llama “base ortonormal” o “base canónica” para Vn o Rn.

Propiedad: en un espacio vectorial Vn, las bases tienen las siguientes propiedades:

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a. Toda base tiene exactamente n vectores para Vn

b. Cualquier conjunto de n vectores L.I. es una base.c. Cualquier conjunto de vectores L.I. es un subconjunto de una cierta base.

Definición de dimensión de la base o del espacio : el nro. “n” de vectores L.I. que genera el espacio se llama dimensión del espacio y se denota como dim (V), El nro. de elementos de cualquier base de Rn se llama dimensión de la base.

Ejercicios:1. Demostrar que los vectores (2, - 1, 3); (4, 0, 6) y (8, - 2, -3).forman una base en R3

2. Probar si el conjunto es una base para R3

3. Sin calcular, explique porque los siguientes conjuntos no pueden ser bases para los espacios vectoriales indicados:

a. para R2

b. para R2

c. para R3

Subespacio de R n y Dimensión

El conjunto de todas las CL de S = de vectores de Rn llamado espacio generado por S, satisface dos propiedades importantes, que son:

Si u y w pertenecen al espacio generado por S, y si, ci y bi son escalares cualesquiera, entonces como: y se tiene que:

y , esto implica que y pertenecen al espacio generado por S, y cualquier subconjunto que satisfaga estas dos propiedades se llama Subespacio de Rn.

Definición: Un subconjunto S no vacío de Rn, es un Subespacio de Rn si satisface las siguientes propiedades:

a. 0 pertenece a Sb. Si u y v pertenecen a S, entonces u + v pertenecen a S.c. Si u pertenece a S, entonces cu pertenece a S, siendo c cualquier escalar.

OBS.: El espacio generado por un subconjunto no vacío S de Rn es un Subespacio de Rn, además, Rn es un Subespacio de si mismo.El subconjunto de Rn también es un Subespacio de Rn . Estos dos Subespacios se llaman “subespacios triviales” de Rn y todos los demás subespacios se denominan “Subespacios Propios”. Por convención la dimensión del Subespacio trivial es 0. La dimensión de Rn es n, ya que es una base de Rn .

Propiedad 1: Sea una base de un Subespacio de Rn, entonces todo subconjunto de que contenga mas de “p” elementos es Linealmente Dependiente.

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Propiedad 2: Sean y dos bases de un Subespacio de Rn , entonces m = p

PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN – GRAM-SCHMIDT

Sea una base para Rn, el conjunto de vectores definido de la siguiente manera, es ortogonal.1)

2)

3) .

4) generalizando

tenemos: =

Para obtener una base ortonormal de V, se normaliza cada uno de los vectores Ejercicios:1. Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt, para construir un conjunto ortogonal a

partir del conjunto V = .2. Sea V = un conjunto del espacio vectorial V3, aplicar el proceso de

ortogonalización de Gram – Schmidt, para construir una base ortonormal.3. Sea A el conjunto de todos los vectores de la forma , B el conjunto de todos los vectores de

la forma y C el conjunto de todos los vectores de la forma . Determinar si A, B y C son subespacios de R2

4. Determine si todos los vectores de la forma (a, b, c) tales que a2 +2b – c = 0 es un subespacio de R3.