Como abordar la dinmica de un sistema
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ING. MONICA ANDRADE CONTROL DE PROCESOS I
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La transformada de La Place como herramienta til
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La funcin de transferencia. lgebra de funciones
detransferencia
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Transformadas de algunas funciones singulares
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Transformadas de La Place
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Inversin de transformadas. De vuelta al tiempo real
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Transformada inversa de Laplace de funciones seleccionadas.
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Expansin en fracciones parciales
Un mtodo de inversin de transformadas de Laplace es la expansin
en fracciones parciales.
Para invertir la funcin F(s) se reordena como una suma de
funciones simples:
F(s)= F1(s)+ F2(s)+.+ FS(s)
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SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTEEL USO DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la solucin
de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, considrese la
siguiente ecuacin diferencial de segundo orden:
El problema de resolver esta ecuacin se puede plantear como
sigue: dados los coeficientes a0, a1, a2 y b, las condiciones
iniciales apropiadas y la funcin x(t), encuntrese la funcin y(t)
que satisface la ecuacin.
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La funcin x(t) se conoce generalmente como funcin de forzamiento
o variable de entrada, y y(t) como la funcin de salida o variable
dependiente; la variable t, tiempo, es la variable independiente.
Generalmente, en el diseo de los sistemas de control una ecuacin
diferencial representa la forma en que se relaciona la seal de
salida, y(t), con la seal de entrada, x(t), en un proceso
particular.
La solucin de una ecuacin diferencial mediante el uso de la
transformada de Laplace implica bsicamente tres pasos:
Paso 1. Transformacin de la ecuacin diferencial en una ecuacin
algebraica con la variable s de la transformada de Laplace, lo cual
se logra al obtener la transformada de Laplace de cada miembro de
la ecuacin:
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Entonces, al usar la propiedad distributiva de la transformada,
y el teorema de la diferenciacin real se ve que
Posteriormente se substituyen estos trminos en la ecuacin
anterior y se reordena:
Ntese que sta es una ecuacin algebraica y que la variable s de
la transformada de Laplace se puede tratar como cualquier otra
cantidad algebraica.
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Paso 2. Se emplea la ecuacin algebraica que se resuelve para la
variable de salida Y(s), en trminos de la variable de entrada y de
las condiciones iniciales:
Paso 3. Inversin de la ecuacin resultante para obtener la
variable de salida en funcin del tiempo y(t):
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En este procedimiento los dos primeros pasos son relativamente
fciles y directos, todas las dificultades se concentran en el
tercer paso.
La utilidad de la transformada de Laplace en el diseo de
sistemas de control tiene como fundamento el hecho de que rara vez
es necesario el paso de inversin, debido a que todas las
caractersticas de la respuesta en tiempo y(t) se pueden reconocer
en los trminos de Y(s); en otras palabras, el anlisis completo se
puede hacer en el dominio de Laplace o en el dominio s, sin
invertir la transformada en el dominio del tiempo.
En la clusula precedente se usa el trmino dominio para designar
a la variable independiente del campo en el que se realiza el
anlisis y diseo
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