MatricesUna matriz es un arreglo rectangular de nmeros , que se utiliza en las matemticas y sus aplicaciones para almacenar y manipular informacin. Las dimensiones de un registro matriz cuntas filas y columnas que tiene . De hecho , es probable que haya visto ya matrices en la calculadora. En el Mdulo 9 , se utilizaron matrices de coeficientes para los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables , se necesitaba una matriz de 2 x 3 . En el Mdulo 4 , que utiliz listas para almacenar datos estadsticos. Usted puede pensar en una lista como una matriz con una columna , por lo que un conjunto de 20 lecturas de temperatura se puede almacenar en una matriz de 20 x 1 . Estadsticos menudo se refieren a sus " matrices de datos ", en la que se recogen los datos en bruto .En la calculadora , las matrices estn definidos ( es decir, sus dimensiones se establecen ) y las entradas de la matriz se introducen y editan en modo Run -Mat.Para definir una nueva matriz , use la tecla MAT (F3) para resaltar su nombre y escriba cada una de las dos dimensiones , seguido de (EXE)despus de cada uno. Es importante utilizar la orden: filas, columnas entonces .Despus de que las dimensiones se establecen , la calculadora mostrar una matriz con ceros en cada celda. Puede sobrescribir cualquiera de los ceros para introducir datos numricos en la matriz , seguidos de (EXE) cada vez. Tambin puede mover alrededor de una matriz con las teclas de cursor para cambiar ninguna entrada.La pantalla muestra una matriz de 2 x 2 , con el nombre A. ( En matemticas , los nombres de la matriz se escriben normalmente en negrita , como lo son en este mdulo. ) Pulse (EXIT) para volver a la lista de la matriz de una matriz. Cuando en la lista de la matriz , resalte una matriz y pulse (EXE) para llevarlo a la pantalla de edicin.Cuando se edita una matriz , se puede borrar, insertar o aadir una fila o una columna utilizando ROW ( F2 ) o COL ( F3) . Adicin y de insercin son un poco diferentes . Para ver la diferencia , observe que las pantallas siguientes muestran el efecto de insertar una nueva fila en A ( a la izquierda) y la adicin de una nueva fila a A ( a la derecha) . La fila aadido ( o columna ) est en el "afuera" de la matriz.

En cada caso , A se ha convertido en una matriz de 3 x 2 . Volver a la lista matriz con d para comprobar esto. A continuacin, regrese a la matriz y utilice el comando FILA eliminar la nueva fila de ceros , y restaurar la A a su estado anterior como una matriz de 2 x 2 . Volver a la lista matriz para definir e introducir B y C, as :

La lista de matriz le mostrar que las matrices han sido definidos , as como sus dimensiones:

Puede eliminar una matriz mediante la definicin de sus dimensiones de nuevo ( lo que har que todas las entradas igual a cero) . Tambin puede utilizar las teclas de funcin que se muestran arriba para borrar matrices . Aviso sobre todo que todas las matrices se pueden eliminar de una vez con DEL.A ( F2 ) .Las matrices tambin se pueden definir directamente en el modo Run -Mat , usando los corchetes [ ] en el teclado de la calculadora. Presione (SHIF) (+) y (SHIF)(-) para obtener estos. Cada fila de una matriz se introduce como un conjunto de valores separados por comas y rodeado de corchetes. Las filas se escriben directamente despus de la otra y todo el conjunto de filas est encerrado entre corchetes.As , las matrices

estn representados en la calculadora como

respectivamente. Tenga en cuenta que no hay comas entre filas ; las comas se utilizan nicamente para distintos elementos de una fila.Si solamente desea hacer un poco de aritmtica matriz , a veces es ms rpido usar este mtodo en lugar de definir y almacenar matrices en la lista matriz. Por ejemplo, la pantalla muestra el producto de las dos matrices arriba para obtener la matriz de 2 x 1 columna resultante .

Tambin puede definir una matriz por su nombre en el modo Run -Mat. Las siguientes pantallas muestran cmo el anterior 2 x 3 matriz se puede almacenar como una matriz de llamada desde el modo RUN, en mucho la misma manera que memorias de variables se definen . El comando Mat matriz (SHIF 2 ) est en el teclado.

Tenga cuidado de que no redefinir accidentalmente una matriz existente al hacer esto , sin embargo, como la calculadora reemplazar una matriz existente con una definida de esta manera. Aviso encima de esa matriz D ha sido retirado del mercado a la pantalla con el mando Mat para comprobar que se ha definido correctamente.aritmtica MatrixLas operaciones con matrices se pueden realizar en el modo Run -Mat. En la calculadora, A se refiere a la memoria una variable mientras Mat A se refiere a la matriz A. La variable A y la matriz A no necesariamente tienen nada que ver uno con el otro . El smbolo de la matriz es en el teclado con Mat ( SHIF 2 ) .

Mltiplos escalares de matrices y poderes de ( cuadrados) matrices se producen con los comandos que se muestran a continuacin. Note que A3 (a la derecha abajo) no significa que cada elemento de A es en cubos ; ms bien, significa que el producto matriz A x A x A.

Matrices con las mismas dimensiones se pueden sumar y restar . Se suman y se restan para obtener el resultado Los trminos en la misma posicin para cada matriz. As obtendr un error de dimensin si intenta sumar o restar matrices con diferentes dimensiones, como A + B:

Del mismo modo, la multiplicacin de matrices slo se define cuando el nmero de columnas de la primera matriz es el mismo que el nmero de filas de la segunda matriz. El primer elemento en el producto AB viene de multiplicar la primera fila de A por la primera columna de B, y la adicin de los resultados :5x2 + -2x0 = 10El nmero de elementos de la fila (es decir , el nmero de columnas de A) debe coincidir con el nmero de elementos en la columna (es decir , el nmero de filas de B ), o las matrices no se puede multiplicar en el orden AB. Esto explica por qu hay un error de dimensin para BA , pero no para AB , en este caso :

Utilice la calculadora como anterior para comprobar que AC no da el mismo resultado que CA , mostrando que la multiplicacin de matrices no es conmutativa . Observe que no es necesario utilizar un signo de multiplicacin para indicar la multiplicacin de matrices , como para otros tipos de multiplicacin en la calculadora , aunque todava es una buena idea hacerlo para mayor claridad. Al igual que con las variables , puede almacenar el resultado de una operacin de matriz directamente en una nueva matriz , usando la tecla( b) , incluso si la matriz an no ha sido definida . La siguiente pantalla muestra esto para definir F = AB.

Siempre se puede obtener la respuesta de matriz ms reciente con el comando. Por ejemplo , despus de la pantalla de arriba , notar el efecto de la siguiente orden :

Divisin Matrix no se define directamente . En su lugar, se utilizan inversas de matrices. La inversa de una matriz cuadrada , si tiene uno , puede ser obtenida con la tecla inversa habitual , x-1 (SHIF ) ) Las pantallas siguientes muestran que los elementos de la inversa estn dadas como fracciones cuando la matriz original tiene slo enteros para cada trmino :

Si se prefieren valores decimales , la clave x se puede utilizar , como se muestra arriba a la derecha.En general, la inversa de una matriz de 2 x 2 representa como es dado por ( D se refiere al determinante de la matriz , dado por anuncio - . C.)Puede comprobar que la calculadora como resultado de la inversa de la matriz A multiplicndolo por el original matriz. Tanto AA-1 y A-1 A deben dar la matriz de 2 x 2 de identidad, I2 , con aquellas en la diagonal y ceros en otros lugares. ( I representa la matriz identidad , que tiene los de los principales ceros diagonales y en cualquier otro sitio . ) Tenga en cuenta el uso automtico de Mat Ans siguientes para continuar con el clculo de la verificacin de esta relacin. En la pantalla siguiente , despus de calcular A-1 , la tecla de multiplicacin fue presionado primero :

Nmeros escalares se pueden dividir directamente , pero tambin pueden ser divididos mediante la multiplicacin por un inverso . Por ejemplo, para dividir 2 x 7 , es decir , para encontrar 2 7 , puede evaluar 2 x 7-1 . Usted puede pensar en el resultado de dividir 2 por 7 como un nmero que, cuando se multiplica por 7 , dar 2 :

A diferencia de los nmeros , la divisin directa no est definida para matrices , sin embargo. Pero se utiliza la misma idea que implica inversas . Para encontrar A C , es necesario encontrar A x C-1 . Usted puede hacer esto directamente en la calculadora con un solo comando :

El resultado es la matriz que, multiplicado por C , dar matriz A de nuevo. La calculadora puede verificar esta propiedad para usted :

De nuevo, observe que las multiplicaciones se deben realizar en el orden correcto, ya que la multiplicacin no es conmutativa. En este caso, debe publicar-multiplicar AC-1 por C: AC-1 C = AI = A. El otro orden, antes de multiplicar AC-1 por C para obtener CAC-1 , no se traduce en A, como se muestra a la derecha arriba.El men MatrixVarios otros comandos de matriz tiles estn disponibles en el men Matrix, accede a travs de la tecla (OPTN) con MAT ((OPTN)(F2)). Observe en este men que la tecla (F1) le permite acceder al mando Mat con una sola tecla (en lugar de la (SHIF)(2) que hemos utilizado hasta ahora.) Si usted trabaja mucho con matrices, puede ser conveniente mantener el men Matrix en el pantalla por esta razn conveniente.El determinante de una matriz cuadrada se puede encontrar con Det (F3) En el caso de A, el inverso sugiere que el factor determinante es 43, como de hecho lo es, se muestra en la pantalla de abajo. (Observe que cada elemento de la inversa es una fraccin con 43 en el denominador.) Como se muestra en la pgina anterior, el determinante se utiliza para construir la inversa de una matriz de 2 x 2; una matriz con cero determinante no tiene una inversa. (Es ms difcil de ver las conexiones con matrices ms grandes.)

La transpuesta de una matriz es una nueva matriz con las filas y columnas conmutada . El comando Trn (F4 ) se puede utilizar para encontrar una transposicin. En la pantalla del medio abajo , observe que para la traspuesta de B , a veces representado por B ' , cada fila es la misma que una de las columnas anteriores. Cuando B es una matriz 2 x 3 , B ' es una matriz 3 x 2 . La tercera pantalla muestra esto con el comando dimensin , Dim ( F2) que est en la segunda pantalla del men Matrix.

transformacin de matriceslas Matrices son especialmente tiles para describir las transformaciones en el plano. Por ejemplo, considere la matriz de 2 x 2 a continuacin se utiliza para encontrar las imgenes de los tres puntos (2,5 ) , ( 3 , -1) y ( -4 , -2 ) :

Estos ejemplos demuestran un patrn consistente . En cada caso, el valor de x de la imagen es sin cambios, mientras que el valor de y se invierte en la seal. Estos ejemplos muestran que esta matriz tiene el efecto de reflejar puntos sobre el eje x .En este caso , las cifras son bastante fcil de hacer la multiplicacin de matrices en la cabeza , pero otras situaciones pueden implicar nmeros ms difciles, y por lo tanto requiere una calculadora.Una forma de hacer esto sera definir la matriz de transformacin como 2 x 2 matriz A en la calculadora, y luego para definir un vector columna ( una matriz de 2 x 1 ) para cada uno de los tres puntos , como anteriormente. Una forma ms fcil es combinar los tres vectores columna en una sola matriz 2 x 3 , B, con una columna para cada uno de los tres puntos. Entonces , la multiplicacin de la matriz AB da los tres resultados simultneamente. Las pantallas siguientes muestran A, B y AB , respectivamente :

Si usted tiene una sucesin de transformaciones de este tipo para hacer , las funciones de edicin calculadora sern muy tiles . Por ejemplo, para efectuar la misma transformacin reflexin de los tres puntos , (2,6 ) , (6,7) y ( -5,1 ) , utilice en primer lugar la tecla MAT ( F3) para editar B. Luego pulse (EXIT) (dos veces ) para volver a la pantalla de resultados. Utilice la tecla para resaltar el resultado original utilizado para mostrar la matriz B, y luego toque la tecla (EXE) . La calculadora luego repetir la secuencia anterior de comandos , incluyendo el comando de transformacin , con la nueva matriz B, como se muestra en la pantalla de la derecha arriba.

Otra forma de utilizar la calculadora para determinar las imgenes de varios puntos bajo una transformacin definida por A se muestra a continuacin, usando [ [ 2 ] [ 6 ] ] en la calculadora para definir un vector columna que el primer punto a ser transformado . ( Recuerde que los corchetes necesitan aqu estn disponibles con (SHIF)(+) y (SHIF)(-) . )

Para entrar en el siguiente punto , edite el comando , a partir de para entrar en el siguiente punto y presione (EXE) para transformar el punto. La ventaja de esta forma de encontrar imgenes bajo transformaciones es que usted puede seguir hacindolo hasta que haya suficiente informacin sobre la transformacin de entender su efecto.Matrices y ecuacionesUn uso importante de las matrices es representar y luego para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Usted ya ha visto ejemplos de esto en el mdulo sobre ecuaciones, donde incorporado resolucin de ecuaciones de la calculadora se puede utilizar para resolver un sistema lineal , una vez que se proporciona la matriz de coeficientes. Precisamente la misma tarea se puede realizar utilizando matrices . Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales :2x + 6y = 103x + 7y = 11Esto se puede representar como una ecuacin matricial :BX = C

A continuacin, la ecuacin puede resolverse mediante pre- multiplicando la ecuacin por la inversa de la matriz de coeficientes , B-1 :B-1BX = B-1CX = B-1CDespus de B y C se introducen en la calculadora , el resultado se puede obtener directamente :

La solucin x = -1 y y = 2 se puede leer a partir del resultado de la matriz X anteriormente. Puede comprobar esta solucin por sustitucin en las ecuaciones originales.Con esta calculadora , no es necesario utilizar matrices para este propsito , sin embargo , como un sistema de hasta seis ecuaciones lineales en seis incgnitas pueden resolverse ms fcilmente en el modo EQUA , descrito en el Mdulo 9. Slo es necesario utilizar mtodos de matriz a resolver ecuaciones lineales cuando hay ms de seis ecuaciones o cuando no hay una solucin nica.Para resolver un sistema de ecuaciones lineales , tambin se puede utilizar un mtodo de eliminacin , lo que implica operaciones de fila ( Este es el mtodo utilizado normalmente , cuando las calculadoras u ordenadores no estn disponibles. ) El mtodo se basa en el hecho de que la solucin de un sistema de ecuaciones no se cambia si:( i) una ecuacin se multiplica por una constante ; o( ii ) se aade un mltiplo de una ecuacin a otra ecuacin.Cuando ecuaciones estn representados por sus coeficientes en matrices , las operaciones de fila permisibles son equivalentes a los siguientes:( i) una fila se multiplica por una constante ; o( ii ) se aade un mltiplo de una fila a otra fila.Estas operaciones elementales de rengln se pueden realizar en el modo Run -Mat. Para ilustrar , considere el sistema de dos ecuaciones lineales :

Introduzca el matriz de 2 x 3 de todos los coeficientes en la calculadora (es decir , incluyendo los nmeros de la derecha del signo igual como otra columna de la matriz . ) . A continuacin, toque R.OP ( F1 ) para obtener el men de operaciones elementales de rengln .

El objetivo es transformar la matriz usando operaciones de fila de modo que slo hay una variable en cada fila correspondiente de ecuaciones y el coeficiente de la variable es 1. En este caso , comenzar restando 2 veces Fila 1 Fila de 2 para cambiar la primera coeficiente 0 .Utilice XRW + ( F3) En las pantallas de abajo, introduzca k = -2 , m =1 y n = 2 para tener este efecto . ( . Pulse (EXE) despus de introducir cada valor ) Verificar los resultados : Fila 1 no se modifica , y cada elemento de la fila 2 se ha cambiado restando dos veces el elemento correspondiente de la fila 1 de la misma.

El siguiente paso es dividir Fila 2 por 3 , para cambiar el segundo coeficiente a 1. Este es el mismo que multiplicar por un tercio (es decir , k = 1/3 ) . XRw ( F2 ) se utiliza :

Por ltimo (slo para la integridad, ya que podra resolver fcilmente el sistema de aqu en tu cabeza ) , agregue -1 tiempos de fila 2 a la fila 1 para cambiar el segundo coeficiente a cero:

La matriz resultante le permite leer las soluciones de x = 7 y y = -2 directamente en la columna final . La matriz final muestra que un sistema equivalente de ecuaciones para el sistema original es:X=7Y=-2Este tipo de procedimiento es una duda demasiado tedioso para utilizar cuando hay un Sin embargo , a veces hay mucha alternativa ms rpida disponible en el modo Equa , descrito en el Mdulo 9. otra alternativa. Por ejemplo, considere el sistema a continuacin:

Una solucin obvia es x = 0 , y = 0 , z = 0 , pero hay otras soluciones ? En este caso, la matriz de coeficientes no tiene una inversa ( por lo que la matriz se llama no singular ), que indica que al menos una de las filas es linealmente dependiente de las otras filas .Por la misma razn , la calculadora le dar un ERROR Ma si intenta resolver el sistema en modo de Equa . As , puede parecer en un primer momento que la calculadora no es de mucha ayuda.Sin embargo , si utiliza las operaciones elementales de fila en el sistema, una solucin completa todava puede ser encontrado. Las pantallas siguientes muestran algunos pasos en el camino , comenzando con la matriz de 3 x 4 de los coeficientes :

Despus de la fila 1 se utiliza para eliminar el primer coeficiente de la fila 2 y la fila 3 , con dos operaciones sucesivas fila , la siguiente matriz se deja :

Observe que la fila 3 es el doble de la fila 2 , lo que indica la dependencia lineal. Despus de restar dos veces la fila 2 de la fila 3 ( y por lo tanto la creacin de una fila de ceros ) y revertir los signos en la fila 2 , obtenemos:

Por ltimo , resta Fila 2 de la fila 1 para dar el resultado a continuacin :

Las dos primeras lneas de la matriz demuestran que el sistema es equivalente al sistema de

La solucin a este sistema se ve fcilmente a ser x = z y y = 2z . Siempre que z tiene un valor , se puede trabajar los valores correspondientes de x e y. Es decir, hay un nmero infinito de soluciones al sistema de ecuaciones. En lugar de describir las soluciones en trminos de una de las variables , puede ser mejor para describirlos en trminos de otro parmetro , t dicen .As que la solucin al sistema original se puede dar como x = t, y = 2t y z = t. Una de las soluciones es ( 0,0,0 ) , cuando t = 0. Otra es ( 3,6,3 ) cuando t = 3

EJERCICIOS1 Introduzca estos dos matrices en tu calculadora :

Utilice estas dos matrices en las preguntas que siguen .2 Busque 5A y B2.3 Cul de AB y BA no se define ? Evaluar el producto que se define .4 Encuentre el determinante de B.5 Encuentra B-1 . Compruebe que B-1 B = BB-1 = I2, la matriz de identidad 2 x 2 .6 Edite B de manera que

y editar A de manera que

7 Encuentra A ', la transpuesta de A y luego encontrar A'A . Compruebe que A'A es simtrica matriz de 3 x 38 Utilice la matriz de transformacin

para encontrar las imgenes de los cuatro puntos ( 0,3 ) , (3,6) , ( 5 , -2 ) y (7,7 ) .Describir el efecto geomtrico de esta transformacin .9 Expresar el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial , BX = C:

Resolver el sistema con X = B-1 C .10 Use las operaciones elementales de rengln en la calculadora para resolver el sistema lineal :

ActividadesEl principal objetivo de las actividades es ayudar a que usted use su calculadora para aprender matemticas . Es posible que algunos de ellos estn demasiado avanzado para ti. No haga caso de las actividades que todava no entendemos .1 Usted ya ha visto que la multiplicacin de matrices no es conmutativa . Esto es, en general, AB BA .Tenga en cuenta que la multiplicacin de matrices slo puede definirse en pares : el smbolo ABC significa A x B x C ; pero esto puede significar AB x C o A x BC .Definir algunas matrices A , B y C y comprobar en la calculadora o no ( AB ) C = A (BC ) . Es decir, comprobar si es o no la multiplicacin de matrices es asociativa .2 matrices de transformacin transforman puntos en el plano . Comience con el rectngulo definido por (1,0) , ( 4,0) , (4,2) y (1,2) para determinar el efecto geomtrico de multiplicar por las siguientes matrices.

Pruebe algunas otras matrices de transformacin y comenzando con algunas otras formas de su propia eleccin.Cmo las reas de las imgenes se comparan con las reas de las formas originales ?3 El determinante de una matriz de transformacin proporciona informacin acerca de las reas de las formas y sus imgenes. Utilice las respuestas de la actividad 2 para ayudarle a entender esta relacin.4 Investigar los efectos del uso de una matriz de transformacin que es el producto de otros dos matrices de transformacin .Por ejemplo, consideremos de nuevo las matrices en Actividad 2. Cul es el efecto de la matriz de transformacin AB ? CA ? BA ? A2 ? D2 ?Usa tu calculadora para revisar sus predicciones.5 Determinar si estos sistemas de ecuaciones tienen soluciones nicas , infinitas soluciones o ninguna solucin .

Encuentra las soluciones para aquellos sistemas que tienen soluciones .6 Examine cuidadosamente las filas de esta matriz para explicar por qu tiene un Determina cero

Inventar otras 3 x 3 matrices con determinante cero . Inventar una matriz de 4 x 4 con cero determinante .Revise sus inventos con su calculadora.

Notas para los profesoresEste mdulo ilustra varias formas en las que la calculadora se puede utilizar para explorar diversos aspectos de las matrices , para ayudar a los estudiantes a entender lo que son y cmo utilizarlos de manera eficiente. El texto del mdulo est pensado para ser ledo por los estudiantes y les ayudar a empezar a ver cmo la calculadora se puede utilizar de manera eficiente para los diversos tipos de exploraciones. Las actividades son apropiadas para los estudiantes para completar con un compaero o en un grupo pequeo , de modo que puedan discutir sus observaciones y justificar sus conclusiones.Respuestas a los ejercicios

Actividades1. El propsito de esta actividad es animar a los estudiantes a utilizar algunos ejemplos para ver por s mismos que la multiplicacin de matrices no es conmutativa, aunque es asociativa. Es mucho ms fcil hacer esto en una calculadora de mano y los estudiantes pueden editar matrices y realizar clculos ms eficiente para generar una serie de ejemplos.2. Anime a los estudiantes para trazar el rectngulo original sobre papel cuadriculado y luego trazar su imagen bajo varias transformaciones, tal vez en un color diferente. Para utilizar la calculadora de manera eficiente, lo mejor es definir el rectngulo con una matriz de 4 2 u almacenado en la calculadora. Los estudiantes trabajan en parejas pueden probar las transformaciones con diferentes objetos de partida y comparar notas. El concepto de rea (en relacin con los determinantes) se aborda tambin en la Actividad 3. [Respuestas: A es una reflexin sobre el eje y; B es un tramo vertical con factor de 3; C es un tramo horizontal con un factor de 5 y un tramo vertical con factor de 2; D es un reflejo sobre el eje x.]3. Anime a los estudiantes a estudiar sus ejemplos de la Actividad 2 y generar algunos ejemplos adicionales para comparar las reas de formas antes y despus de las transformaciones se han aplicado. El determinante de las matrices de transformacin refleja el grado en que una zona se ve afectada por la transformacin.4. En esta actividad, los estudiantes pueden usar la calculadora para explorar combinaciones de transformaciones, y debe encontrar que los productos de la matriz de los tipos sugeridos describir composiciones de transformaciones. Los estudiantes deben notar que, como las transformaciones se utilizan para pre-multiplicacin, que la segunda transformacin se efecta primero.5. Los estudiantes pueden optar por utilizar el modo EQUA aqu, as como operaciones de fila. [Respuestas: el primer sistema no tiene solucin; el segundo sistema tiene un nmero infinito de soluciones; la tercera sistema tiene la solucin nica, x = 0, y = 1, z = -5.]6. Los estudiantes deben experimentar con operaciones de fila aqu para ver que la segunda fila aade a dos veces la primera fila da la tercera fila. Esta dependencia lineal significa que la matriz tiene rango 2 y no tiene inversa. Dependencias similares permitir a los estudiantes para crear otras matrices con determinante cero.