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Artículo Revista de Aplicaciones de la Ingenieria Diciembre 2016 Vol.3 No.9 160-169
Comparación de la solución analítica y numérica de la ecuación de difusión de
calor unidimensional en estado transitorio aplicado a un muro
RUIZ, Francisco†*, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y MACÍAS, Edgar.
Recibido Julio 11, 2016; Aceptado Agosto 12, 2016
___________________________________________________________________________________________________
Resumen
La simulación numérica computacional es una herramienta
empleada para modelar un fenómeno físico mediante la
resolución de las ecuaciones gobernantes con el fin de obtener
una solución sin la necesidad de construir un modelo real. En
este estudio la transferencia de calor en régimen no estacionario
fue simulada analíticamente y posteriormente se comparó con
una solución numérica utilizando tres criterios: implícito,
explícito y Cranck-Nicholson. La muestra estudiada fue un
muro de mampostería común expuesto a 48 horas de
transferencia de calor por conducción y convección en una
dirección. La transferencia de calor fue resuelta mediante el
método de volumen finito. Para tal fin, un código numérico en
MATLAB fue desarrollado para discretizar el medio, definir las
ecuaciones de equilibrio en cada nodo de la malla y
posteriormente resolver las ecuaciones de equilibrio de
temperaturas usando una matriz tridiagonal y el Algoritmo de
Thomas. El uso de cada esquema de cálculo depende de la
magnitud del diferencial de espacio de la malla de estudio y del
diferencial de tiempo. Las diferencias promedio en los puntos
de interés fueron desde 4% hasta 10% dependiendo del paso de
tiempo y espacio.
Transferencia de calor, Algoritmo de Thomas, solución
numérica
Abstract
At present the methods of construction have been evolving and
one seeks to obtain new materials of construction of housings
and buildings looking that are more amicable with the
environment and affecting positively the consumer's pocket,
knowing that already there exist enough products that are in use
for the construction of housings and buildings and knowing that
not they all strike favorably to the environment and the
economy, we seek to create a product that expires with the
requirements of contributing favorably to the environment on
having used material that already is a waste and to recycle it to
create a sustainable partition that favors the economy of the
consumer to the being an insulating product, besides the fact
that this partition does not need to be burned in ovens that
generate a great pollution. These sustainable partitions are
realized by a cellulose mixture in and other amicable materials
by the environment and do not damage the ecosystems to the
moment to process this product. In this project technology was
in use thermography as parameter of thermal efficiency, on tests
having fulfilled him and to compare it with other similar
products that are in use in the region northwest of the country,
giving as result that the insulating sustainable partition I
present better results.
Heat Transfer, Thomas Algorithm, numerical solution
___________________________________________________________________________________________________
Citación: RUIZ, Francisco, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y MACÍAS, Edgar. Comparación de la solución
analítica y numérica de la ecuación de difusión de calor unidimensional en estado transitorio aplicado a un muro. Revista de
Aplicaciones de la Ingeniería 2016, 3-9: 160-169
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* Correspondencia al Autor (Correo Electrónico: [email protected])
† Investigador contribuyendo como primer autor.
© ECORFAN-Bolivia www.ecorfan.org/bolivia
ISSN-2410-3454
ECORFAN® Todos los derechos reservados
RUIZ, Francisco, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y
MACÍAS, Edgar. Comparación de la solución analítica y numérica de
la ecuación de difusión de calor unidimensional en estado transitorio
aplicado a un muro. Revista de Aplicaciones de la Ingeniería 2016
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Artículo Revista de Aplicaciones de la Ingenieria Diciembre 2016 Vol.3 No.9 160-169
Introducción
Los muros de las edificaciones están expuestos a
los tres mecanismos de transferencia de calor:
conducción, debido a la diferencia de
temperaturas entre el interior y el exterior;
radiación, debido a la actividad solar; y
convección, debido al flujo de masas de aire
sobre las superficies del muro. Todos estos
mecanismos pueden ser representados por
modelos analíticos y numéricos para aproximar
y evaluar las diferentes variables del fenómeno.
Los métodos analíticos pretenden obtener
soluciones exactas de un experimento físico en
el cual la geometría es fácilmente descrita
usando un sistema de referencia. Este método
emplea la ecuación diferencial que describe el
problema y sus condiciones de frontera son
requeridas para solucionar el problema. Por el
otro lado, los métodos numéricos son requeridos
cuando la geometría del sistema es compleja, las
condiciones de frontera son dependientes del
tiempo y las propiedades del sistema son función
de la temperatura. Las diferencias entres estos
dos métodos en ocasiones son tan pequeñas que
no existen mayores implicaciones durante la
discusión de los resultados. Pero es necesario
asegurarse que todas las variables son
representadas de la manera adecuada en las
ecuaciones.
Se han publicado muchas
comparaciones entre estas dos maneras de
obtener resultados, Wang et al, (2014) 1
determinó que las diferencias más grandes entre
ambos métodos se presentan durante el inicio
del experimento, pero que después de un
tiempo los modelos convergen a soluciones
similares.
También, fue determinado que las
diferencias son mayores cuando los valores de
las propiedades del sistema tienen una magnitud
elevada, caso análogo cuando las propiedades
son pequeñas. Missoum et al, (2013) 2 obtuvo
datos para ambos métodos, mostrando gran
diferencia entre ellos por no tener en cuenta
muchas variables en el método analítico, se
sugiere emplear una cámara caliente con guarda
con el fin de conocer que método es el más
preciso.
Antes de la construcción de cualquier
diseño experimental es necesario representar el
matemácio con el objetivo de tener el
conocimiento necesario para valorar los
resultados obtenidos mediante le trabajo
experimental y determinar cuáles son
los parámetros más sensibles para tener en
cuenta. El objetivo de éste estudio es
representar el diseño numérico y analítico de un
proceso de transferencia de calor en una
dirección, bajo condiciones no estacionarias, a
través de un muro con condiciones de frontera
de tercera clase en ambos lados del mismo.
Éste trabajo forma parte del diseño,
construcción y calibración de una Cámara
Caliente con Guarda que se emplea para
determinar los coeficientes de transferencia de
calor y masa en muros de edificios con el fin de
obtener la información necesaria para realizar
un diseño adecuado de los edificios.
Descripción del método numérico
Considérese una pared aislada en sus extremos
superior e inferior, como se muestra en el
Gráfico 1. Las otras dos caras de la pared se
encuentran a temperaturas diferentes.
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Propiedad Magnitud
Grosor, cm 10 Conductividad Térmica, W/ (m°C)
0.8
Calor específico, J/kg º C 900
Densidad, kg/m³ 1400
La temperatura exterior varía de forma
sinusoidal y la temperatura en la parte interior
permanece constante. Las fronteras en ambos
lados de la muestra son convectivas y las
fronteras restantes son adiabáticas. La
distribución inicial de temperaturas es uniforme
con el mismo valor que la temperatura interior.
El proceso de transferencia de calor en
régimen no estacionario se describe mediante la
ecuación diferencial:
= ( ) (1)
Las propiedades físicas de los materiales
que componen el muro se describen en la Tabla
1.
Grafico 1 Configuración del muro
Tabla 1 Propiedades físicas de la mampostería.
Gráfico 2 Condiciones de frontera.
La transferencia de calor se realiza en
una sóla dirección, horizontal; y bajo régimen
no estacionario. Las condiciones de frontera
que se presentan son en ambos lados de Tercera
Clase o de convección. En el Gráfico 2 se
presentan las condiciones de frontera a ambos
lados de la pared. Para la transferencia
de calor unidimensional en la dirección x, en
una placa de espesor L, las condiciones de
frontera sobre ambas superficies se pueden
expresar como:
Donde: h es el Coeficiente convectivo
operante en cada superficie expuesta y T∞ es
la Temperatura ambiente a cada lado del muro.
Para el lado interno del muro se
definen los parámetros iniciales mostrados en
la Tabla 2. Mientras que para el lado exterior
del muro, los parámetros iniciales son los
mostrados en la Tabla 3.
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Tabla 2 Condiciones interiores de temperatura
Tabla 3 Condiciones externas de temperatura.
Como la temperatura externa es
dependiente del tiempo, se tiene un proceso de
transferencia de calor en régimen transitorio.
La temperatura externa está definida por la
Ecuación (4), que define la temperatura
ambiente externa para un periodo de 24 horas.
Se empleó el método del elemento finito
(MEF) para resolver el problema [3]. El MEF
es un método numérico para la resolución de
ecuaciones diferenciales, el cual se basa en
dividir el cuerpo, estructura o dominio (medio
continuo) sobre el que están definidas ciertas
ecuaciones integrales que caracterizan el
comportamiento físico del problema, en una
serie de subdominios no intersectantes entre sí
denominados elementos finitos. El conjunto de
elementos finitos forma una partición del
dominio también llamada discretización. Dentro
de cada elemento se distinguen una serie de
puntos representativos llamados nodos. El
conjunto de nodos considerando sus relaciones
de adyacencia se conoce como malla. De
acuerdo con estas relaciones de adyacencia o
conectividad se relaciona el valor de un
conjunto de variables incógnitas definidas en
cada nodo y denominadas grados de libertad.
El conjunto de relaciones entre el valor
de una determinada variable entre los nodos se
puede escribir en forma de sistema de
ecuaciones lineales, la matriz de dicho sistema
de ecuaciones se llama matriz de riguidez del
sistema. El número de ecuaciones de dicho
sistema es proporcional al número de nodos.
La solución numérica de una ecuación
diferencial de transferencia de calor consiste en
fijar un numéro de puntos del sistema del cual se
obtendrán valores de temperatura y se construirá
una distribución de temperaturas. Esta
distribución de temperaturas debe ser definida
mediante una discretiación del dominio físico en
el que se desarrolla la transferencia de calor en
subdominios que conformarán una malla de
nodos interconectados. Una discretización típica
del dominio se representa en el Gráfico 3.
Grafico 3 Discretización del medio físico.
Las ecuaciones de
discretización se citan a continuación:
La Ecuación (6) describe el
fenómeno físico mediante la ecuación de
equilibrio.
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Factor de peso
Para ciertos valores de factor de peso f, la
discretización de la ecuación se reduce a un
esquema de ecuaciones conocidas, las cuales se
describen a continuación:
Método explícito (f=0), asume que los
valores en el instante de tiempo anterior
prevalecen a lo largo del intervalo de tiempo de
análisis t+Δt.
Método implícito (f=1), postula que
en el tiempo t, Tp pasa de y
posteriormente permanece en durante
todo el intervalo de análisis, por lo que el
nuevo valor de tempertura está
caracterizado por 1
Método de Crank-Nicholson (f=0.5),
indica una variación lineal de Tp. A primera
vista, la variación lineal parecería más sensible
que los otros dos esquemas, por considerar por
igual valores adelantados y retrasados.
Con los coeficientes obtenidos con las
ecuaciones descritas anteriormente se procede a
construir una matriz tridiagonal, en la cual su
diagonal principal contiene los valores
relacionados al nodo P, la matriz inferior a la
diagonal contiene los coeficientes del nodo W y
la diagonal superior a la principal representa los
coeficientes del nodo E. En la Ecuación (12) se
muestran las matrices y vectores resultantes para
un mallado de 5 nodos. El vector de resultados
contiene las temperaturas en cada nodo
delmallado del sistema. La multiplicación de la
matriz de coeficientes por el vector de resultados
da como resultado el vector de constantes, para
el cual el primer valor y el último dependen de
las condiciones de frontera definidas, para el
caso de condiciones de tercera clase, se
considera el producto del coeficiente convectivo,
la conductividad térmica, el diferencial de
longitud y la temperatura ambiental de ese lado
de la frontera [4].
Descripción del método analítico
Considerando la pared descrita en el Gráfico 1
se plantea un modelo matemático bajo las
siguientes consideraciones:
- La distribución inicial de temperaturas y las
propiedades físicas de la pared son homogéneas.
- Los coeficientes convectivos y la temperatura ambiente son uniformes sobre
la muestra, es decir, no dependen de la posición.
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Con las consideraciones anteriores el problema
puede ser reducido a un modelo
unidimensional [5]. La ecuación gobernante
que rige el fenómeno es la siguiente:
Ecuación gobernante
Condiciones de frontera:
Mismas condiciones de frontera que en el
planteamiento del método analítico. Consultar
ecuaciones (2) y (3).
Variación transitoria de la temperatura
ambiente externa:
Solución del modelo matemático
Para la solución del modelo matemático se
sigue el siguiente procedimiento:
Paso 1 se realiza un cambio de variable para
reducir el número de fronteras no homogéneas
de la siguiente forma:
Paso 2.- Resolver para el problema auxiliar en
estado transitorio para una función con
excitación unitaria.
Paso 2.1- Resolver la parte permanente del
problema auxiliar.
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Paso 2.2- Solución de la parte transitoria del
problema auxiliar.
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Paso 3. Aplicando el teorema de Duhamel la
solución obtenida tiene la forma:
Resultados
Debido a la gran cantidad de resultados
obtenidos, se ha obtenido un promedio de las
temperaturas entre los tres esquemas numéricos
de cálculo y la diferencia promedio entre el
método numérico y el analítico en los tres puntos
de interés del muro de mampostería. El Gráfico
4 muestra el proceso de 48 horas para el esquema
explícito numérico, estableciendo un paso de
tiempo de 1 segundo y 7 nodos de análisis.
Mientras que en el Gráfico 5 se representan los
la comparación de los tres esquemas de cálculo
para un intervalor pequeño, en donde se muestra
que no hay variaciones significativas y se podría
considerar que para este caso de estudio los tres
esquemas proporcionan resultados iguales.
Por otra parte, los resultados obtenidos
mediante la simulación analítica se presentan en
el Grafico 6.
Gráfico 4 Resultado
Gráfico 5 Resultado para dt=30 y 7 nodos.
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Gráfico 6 Resultado método analítico
Gráfico 7 Diferencias entre método analítico y numérico.
El gráfico 6 muestra las diferencias
entre el promedio de temperaturas de los tres
esquemas numéricos en comparación con el
método analítico. Como se mustra, las
temperaturas tienden a varias en los primeros
momentos del análisis para después tomar
comportamientos relativamente estables.
Ambos métodos convergieron a una
solución muy aproximada entre sí, con valores
absolutos de diferencia de sólo 2.34 °C, lo cual
para los fines de cálculo que se pretenden
realizar se considera una incertidumbre
tolerable.
La Tabla 4 resume las diferencias
obtenidas entre los promedios de las
temperaturas obtenidas en el punto interno,
central y externo con respecto a los resultados
obtenidos en el método analítico. En éste caso
se presentan los resultados obtenidos para el
paso de tiempo de 1 segundo con las cantidades
de nodos de discretización del medio de 7, 11,
15, 19 y 23 nodos.
En éste estudio el paso de tiempo y
cantidad de nodos de la discretización del
medio no jugaron un papel trascendete como
para marcar fuerte diferencias de resultados.
Esto debido a que en sólo 2 simulaciones no se
cumplió la igualdad que requiere el esquema
explícito para poder calcular temperaturas,
mientras que en el resto de las
simulaciones, el valor que relaciona el paso
de tiempo y de espacio se encontró muy lejos
del valor crítico.
La Tabla 5 muestra las desviaciones
estándares de los promedios de diferencias
entre los esquemas del método numérico y el
método analítico
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Agradecimiento
Se agradece al CONACYT por el
financiamiento otorgado para el desarrollo de
este proyecto, y a la Universidad Juárez
Autónoma de Tabasco por las facilidades para
la ejcución del mismo.
Conclusiones
Los resultados obtenidos mediante la
simulación numérica en los tres esquemas
para las mismas magnitudes de paso de
tiempo y número de nodos difieren de manera
insignificativa entre sí, se cuantficaron
variaciones del orden de 0.003%. Por lo que, se
concluye que los tres esquemas de cálculo
proporcionan resultados prácticamente iguales.
Por otro lado, las diferencias entre
métodos analíticos y numéricos fueron
cuantificadas con valores promedio en el punto
interior de 4.45%, en el punto central de 6.96%
y en el nodo externo de 9.84%. Las notables
diferencias de variaciones de temperatura entre
los nodos analizados se atribuye a que en el
nodo externo, que es donde opera una
temperatura externa transitoria, se presentan
mayores rangos de temperatura máxima y
mínima.
Por lo tanto, estos resultados son mas
susceptibles de variar fuertemente, cosa que se
confirma con la desviación estándar de 3.85%
calculada en tal punto, mientras que en el nodo
interno fue únicamente de 1.54%.
Referencias
[1] Sushas V. Patankar . (1980). Numerical Heat
Transfer and Fluid Flow. Minesota: Hemisphere
Publishing Coorporation.
[2] A Missoum. (2013). Numerical Simulation
of Heat Transfer through a Double-walled
Facade Building in Arid Zone . Energy
Procedia, 36, 834-843.
[3] Sushas V. Patankar . (1980). Numerical Heat
Transfer and Fluid Flow. Minesota: Hemisphere
Publishing Coorporation.
[4] David Incropera. (2011). Fundamentals of
Heat and Mass Transfer. New Jersey: John
Wiley & Sons.
[5] David W. Hahn. (2012). Heat
Conduction. John Wiley & Sons: New
Jersey.