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FUNCIONES Y MODELOS - Unidad 1: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES - A.PR.11.2.5 Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones (funciones algebraicas: polinómicas, racionales y funciones trascendentes: logarítmicas y trigonométricas).
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(POLINÓMICAS, RACIONALES,LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS)
CURSO: FUNCIONES Y MODELOSUNIDAD 1
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.2.5
J. POMALES OCTUBRE 2013Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos
COMPARAR Y CONTRASTAR CARACTERÍSTICAS DE
DIFERENTES FUNCIONES
¿Qué es... COMPARAR
Fijar la atención en dos o más objetos para descubrir sus relaciones o estimar sus diferencias o semejanzas.
CONTRASTAR Mostrar notable diferencia, o condiciones
opuestas, con otra, cuando se comparan ambas.
Sacadas de: http://rae.es
FUNCIONES ALGEBRAICASFUNCIONES:
POLINÓMICAS
RACIONALES
FUNCIONES POLINÓMICAS Son la suma de una o más
funciones de variación directa, f(x) = kxn, puede incluir una función constante.
Los coeficientes son reales y los exponentes números enteros.
FUNCIONES POLINÓMICAS Son continuas y derivables. El dominio es el conjunto de los
números reales. Puede tener tantas raíces como
indica su grado.
FUNCIONES POLINÓMICAS Se utilizan comúnmente para
modelar el cambio variable. Esto es cuando aumenta y
disminuye de forma diferente en un mismo intervalo.
Gráficas de funciones polinómicas
xxf
Lineal
)(
14)( 2 xxxf
Cuadrática
1)( 23 xxxxf
Cúbica
Tipo de función Algunos detalles
Dominio:
Recorrido:
Siempre Continua
),( ),(
Dominio:
Recorrido:Depende del valor máximo o mínimo
Siempre Continua
),( ),3[
Dominio:
Recorrido:
Siempre Continua
),( ),(
Gráficas de funciones polinómicas
xxf
Lineal
)(
14)( 2 xxxf
Cuadrática
1)( 23 xxxxf
Cúbica
Tipo de función Sus interceptos
Intercepto en x: Uno, ninguno o infinito
Intercepto en y: Uno, ninguno o infinito
Intercepto en x: Uno, dos o ninguno
Intercepto en y: Uno
Intercepto en x: Uno, dos o tres
Intercepto en y: Uno
FUNCIONES RACIONALES Están definidas por el cociente
de dos polinomios. La forma de su gráfica
dependerá de los grados de los polinomios del numerador y del denominador.
FUNCIONES RACIONALES Si el exponente es negativo realmente
tenemos una función racional Ejemplo:
Usadas principalmente en situaciones inversamente proporcionales A medida que una variable aumenta la
otra disminuye y viceversa
212
xx
Gráfica de funciones racionales
xxxf
negativoimparExponente
11)(
212)(x
xxf
negativoparExponente
Es no continua
Posee asíntota:
vertical y horizontal
Tipo de función Algunos detalles
Es no continua
Posee asíntota:
vertical y horizontal
FUNCIONES NO ALGEBRAICASFUNCIONES:
LOGARÍTMICAS
TRIGONOMÉTRICAS
(También se les llama Funciones Trascendentes)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Aquellas que genéricamente se expresan como
siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
Son inversas de la función exponencial.
xxf alog)(
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Usadas con regularidad para los cálculos y desarrollos matemáticos, las ciencias naturales y sociales.
Se utilizan para comprimir la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento o decrecimiento es demasiado rápido.
Relación entre la función exponencial y logarítmica
x = by y = logbx
Forma exponencial x = by
Se lee: “b a la y”Forma logarítmica y = logbx
Se lee: “logaritmo de base b de x”
6.1
121
3
5
2
416
101000
e
x
5ln6.1
log1
16log
1000log3 1000log3
21
2
4
10
x
ó
BASE
EXPONENTE
RESULTADO
Convierte de forma de exponencial a formalogarítmica o viceversa:
1) 64 = 82
2) 3 = log2 8
Ejemplos
2 = log864
8 = 23
3) 625 = 5x
4) x = log 100
x = log5625
100 = 10x
En casos típicos de funciones logarítmicas Su dominio:
Conjunto de todos los números reales positivos
Su recorrido (rango): Conjunto de todos los números
reales
Gráfica de función logarítmica
Dominio:
Recorrido:
Siempre continua
Posee asíntota vertical
),0( ),( xxf log)(
xxf ln)(
Tipo de función Algunos detalles
Dominio:
Recorrido:
Siempre continua
Posee asíntota vertical
),0( ),(
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Grupo de funciones que relacionan un
ángulo agudo en un triángulo rectángulo con las relaciones de sus lados.
Son funciones periódicas. fenómenos que tienen un patrón repetitivo o
ciclos Existen 6 clases:
Seno y su inversa (Cosecante) Coseno y su inversa (Secante) Tangente y su inversa (Cotangente)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Utilizadas principalmente para: representaciones de ondas
sonido y eléctricas
eventos con muelles o péndulos que oscilan rotaciones
planetas estrella en un parque de diversiones
ciclos latidos del corazón (electrocardiogramas, etc) fases de la luna, etc.
Gráficas de funciones trigonométricas
)()( xsenxf
Seno
)cos()( xxf
Coseno
)tan()( xxf
Tangente
Dominio:
Recorrido:
Siempre continua
),( ]1 ,1[
Dominio:
Recorrido:
Siempre continua
),( ]1 ,1[
Tipo de función Algunos detalles
Es no continua
Posee asíntota vertical
FUNCIONES CONTINUAS Funciones polinómicas: continuas en
todo el conjunto de los números reales (R).
Funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas: continuas en todo su dominio de definición.
Funciones trigonométricas más utilizadas: seno y coseno: continuas en todo el dominio
de los números reales
FUNCIONES NO CONTINUAS Funciones racionales: obtenidas como
cociente de dos polinomios, son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellas en los que se anula el denominador.
Funciones trigonométricas : tangente
¿Con cuál tipo de función relacionarías los siguientes casos de la vida real? Explica
1. ¿Cómo cambia la altura sobre el suelo cuando la rueda gira?
2. Cantidad de gasolina en el tanque en función del tiempo.
3. Cálculos para el crecimiento de bacterias.
Función Trigonométrica por que es un evento de rotación.
Función Racional por que es una situación inversamente proporcional.
Función Logarítmica por que es un evento de crecimiento muy rápido.
Ejemplos
PARA DUDAS O PREGUNTAS
AHORA REALIZA LA TAREA ASIGNADA
Convierte de forma exponencial a formalogarítmica o viceversa:
1) 81 = 92
2) 53 = 125
3) x2 = 9
4) 8 ≈ e2.1
5) 3 = log3 27
6) 5 = log7 16807
7) log2 8 = 3
8) ln 11 ≈ 2.40
¿Con cuál tipo de función relacionarías los siguientes casos de la vida real? Explica
1. La intensidad de un terremoto.2. El costo promedio por unidad para producir x
unidades es C(x) = C(x)/x , ¿a qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo?
3. ¿Cuál es la frecuencia de la corriente o cuántos ciclos se completarán en un segundo?
4. Teoría de vuelo de un cohete.5. ¿Qué cantidad se debe tener para crear una nueva
caja que tenga seis veces el volumen del anterior? Se discutirá en clase
